Je bent in je dagelijks leven waarschijnlijk al honderden keren eenzijdige voorwerpen tegengekomen – zoals het universele symbool voor recycling, dat op de achterkant van aluminium blikjes en plastic flessen staat afgedrukt.
Dit wiskundige object wordt een Mobius-strip genoemd. Het heeft milieudeskundigen, kunstenaars, ingenieurs, wiskundigen en vele anderen gefascineerd sinds de ontdekking ervan in 1858 door August Möbius, een Duitse wiskundige die 150 jaar geleden stierf, op 26 september 1868.
Möbius ontdekte de eenzijdige strook in 1858 terwijl hij de leerstoel voor astronomie en hogere mechanica aan de Universiteit van Leipzig bekleedde. (Een andere wiskundige, Listing genaamd, beschreef hem een paar maanden eerder, maar publiceerde zijn werk pas in 1861). Möbius schijnt de Möbiusstrook te zijn tegengekomen toen hij werkte aan de meetkundige theorie van de veelvlakken, massieve figuren die zijn samengesteld uit hoekpunten, randen en platte vlakken.
Een Möbiusstrook kan worden gemaakt door een strook papier te nemen, deze een oneven aantal keren half te draaien, en dan de uiteinden weer aan elkaar te plakken om een lus te vormen. Als je met een potlood een lijn trekt langs het midden van de strook, zie je dat de lijn blijkbaar langs beide kanten van de lus loopt.
Het concept van een eenzijdig object inspireerde kunstenaars als de Nederlandse graficus M.C. Escher, wiens houtsnede “Möbius Strip II” rode mieren toont die achter elkaar langs een Möbius strip kruipen.
De Möbius-strook heeft meer dan slechts één verrassende eigenschap. Probeer bijvoorbeeld eens met een schaar de strook in tweeën te knippen langs de lijn die je zojuist hebt getrokken. Je zult verbaasd zijn dat je niet twee kleinere eenzijdige Möbiusstroken overhoudt, maar in plaats daarvan één lange tweezijdige lus. Als je geen stuk papier bij de hand hebt, laat Eschers houtsnede “Möbius Strook I” zien wat er gebeurt als je een Möbiusstrook over de middellijn doorsnijdt.
Hoewel de strook een visuele aantrekkingskracht heeft, is zijn grootste invloed in de wiskunde geweest, waar het heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van een heel gebied dat topologie heet.
Een topoloog bestudeert eigenschappen van voorwerpen die behouden blijven als ze worden verplaatst, gebogen, uitgerekt of gedraaid, zonder dat delen worden doorgesneden of aan elkaar worden gelijmd. Bijvoorbeeld, een in de knoop geraakt paar oordopjes is in topologische zin hetzelfde als een niet in de knoop geraakt paar oordopjes, omdat het veranderen van het een in het ander alleen maar verplaatsen, buigen en draaien vereist. Er is geen snijden of lijmen nodig om van het ene in het andere te veranderen.
Een ander paar voorwerpen dat topologisch hetzelfde is, is een koffiekopje en een donut. Omdat beide objecten slechts één gat hebben, kan het ene object in het andere worden vervormd door het gewoon uit te rekken en te buigen.
Het aantal gaten in een voorwerp is een eigenschap die alleen kan worden veranderd door te snijden of te lijmen. Deze eigenschap – die het “geslacht” van een voorwerp wordt genoemd – stelt ons in staat om te zeggen dat een paar oordopjes en een donut topologisch verschillend zijn, aangezien een donut één gat heeft, terwijl een paar oordopjes geen gaten heeft.
Helaas lijken een Möbiusstrip en een tweezijdige lus, zoals een typische siliconen bewustzijnspolsband, beide één gat te hebben, zodat deze eigenschap onvoldoende is om ze uit elkaar te houden – althans vanuit het oogpunt van een topoloog.
In plaats daarvan wordt de eigenschap die een Möbius-strip onderscheidt van een tweezijdige lus oriënteerbaarheid genoemd. Net als het aantal gaten, kan de oriënteerbaarheid van een object alleen worden veranderd door knippen of lijmen.
Stelt u zich eens voor dat u een briefje schrijft op een doorschijnend oppervlak, en dat u dan een rondje loopt op dat oppervlak. Het oppervlak is oriënteerbaar als u, wanneer u terugkomt van uw wandeling, het briefje altijd kunt lezen. Op een niet-oriënteerbaar oppervlak kan het gebeuren dat je na je wandeling ontdekt dat de woorden die je schreef blijkbaar in hun spiegelbeeld zijn veranderd en alleen van rechts naar links kunnen worden gelezen. Op de tweezijdige lus, zal het briefje altijd van links naar rechts gelezen worden, ongeacht waar uw reis u bracht.
Omdat de Möbiusstrook niet-oriënteerbaar is, terwijl de tweezijdige lus wel oriënteerbaar is, betekent dit dat de Möbiusstrook en de tweezijdige lus topologisch verschillend zijn.
Het concept van oriënteerbaarheid heeft belangrijke implicaties. Neem nu enantiomeren. Deze chemische verbindingen hebben dezelfde chemische structuur, op één belangrijk verschil na: Ze zijn spiegelbeelden van elkaar. Bijvoorbeeld, de chemische stof L-methamfetamine is een ingrediënt in Vicks Vapor Inhalers. Het spiegelbeeld ervan, D-methamfetamine, is een klasse A illegale drug. Als we in een niet-oriënteerbare wereld leefden, zouden deze chemicaliën niet te onderscheiden zijn.
August Möbius’ ontdekking opende nieuwe wegen om de natuurlijke wereld te bestuderen. De studie van topologie blijft verbluffende resultaten opleveren. Vorig jaar bijvoorbeeld ontdekten wetenschappers dankzij topologie vreemde nieuwe toestanden in de materie. De Fields Medal, de hoogste eer in de wiskunde, werd dit jaar toegekend aan Akshay Venkatesh, een wiskundige die topologie heeft helpen integreren met andere gebieden zoals getaltheorie.