Principiële traagheidsmomenten
Zoals getoond in Traagheidstensor, wordt het impulsmoment van een star lichaam ten opzichte van de oorsprong van het lokale referentiekader uitgedrukt als
Als, toevallig, alle off-diagonale termen van de inertietensor nul worden, kan verder worden vereenvoudigd tot
Dit kan gebeuren wanneer men de assen van het lokale referentiekader zodanig uitlijnt dat de massa van het lichaam zich gelijkmatig rond de assen verdeelt, zodat de product-van-traagheidstermen allemaal ophouden te bestaan. De niet-nul diagonale termen van de traagheidstensor getoond in worden de hoofdtraagheidsmomenten van het voorwerp genoemd.
Top
Principale Assen
Zoals getoond in , is er geen garantie dat de vector van het impulsmoment dezelfde richting heeft als die van de vector van de hoeksnelheid. Dit veroorzaakt een probleem: als de richting van het impulsmoment blijft veranderen, ontwikkelt zich een koppel dat uiteindelijk de rotatie-as dwingt te bewegen. Dit is de belangrijkste oorzaak van slijtage en trillingen in machines met draaiende delen.
Maar in sommige speciale gevallen kan de volgende voorwaarde gelden, zodat het impulsmoment en de snelheidsvectoren dezelfde richting hebben:
waar I = het equivalente scalaire traagheidsmoment van het lichaam om de draaias. Elke rotatie-as van het lichaam die voldoet, wordt hoofdas genoemd. Er is een groep hoofdassen (theoretisch 3) in een driedimensionaal lichaam. Zo zijn er drie loodrechte hoofdassen voor het systeem in figuur 1.
Figuur 1
zegt in feite dat de traagheidstensor kan worden vervangen door een enkel scalair traagheidsmoment wanneer de rotatie-as een hoofdas is.
Top
Diagonalisatie van de traagheidstensor
Van :
Of kan worden vereenvoudigd tot
waar 1 = de identiteitsmatrix. I in heet een eigenwaarde terwijl w de eigenvector is. is de eigenwaardevergelijking.
Om een niet-triviale oplossing te hebben moet de determinant van de coëfficiënten verdwijnen:
leidt tot de seculiere vergelijking die in principe kubisch is en dus drie wortels (eigenwaarden) geeft: I1, I2 & I3. Elke wortel komt overeen met een traagheidsmoment om een hoofdas. In feite zijn de drie wortels de voornaamste traagheidsmomenten van het stijve lichaam, ingevoerd in :
Zodra de eigenwaarden bekend zijn, kunnen de hoofdassen worden berekend. Laat
waar n = de eenheidsvector van de hoofdas, dus,
Van & :
Voor elke eigenwaarde kan men uit & de overeenkomstige nx, ny & nz berekenen. Men moet hierbij letten op de richting van de eigenvector.
In de bewegingsanalyse kan men de belangrijkste traagheidsmomenten uit de traagheidseigenschappen van de lichaamssegmenten verkrijgen. I1, I2 & I3 van elk segment zijn over het algemeen bekend. De gegevens zijn beschikbaar in de vorm van de radius-van-gyratieverhoudingen (verhouding van de gyratiestraal tot de segmentlengte), regressievergelijkingen en schalingscoëfficiënten. Men kan ook de voornaamste traagheidsmomenten van de lichaamssegmenten berekenen door modellering met behulp van bepaalde geometrische vormen. Zie geïndividualiseerde BSP-schatting voor de details.
Top