Identificatie van flutterparameters voor een vleugelmodel

TECHNISCHE PAPERS

Identificatie van flutterparameters voor een vleugelmodel

Carlos De Marqui JuniorI; Daniela C. RebolhoII; Eduardo M. BeloIII; Flávio D. MarquesIV

IEngineering School van Sao Carlos; Universiteit van Sao Paulo; Laboratorium voor Aero-elasticiteit; Vluchtdynamica en Controle; Av. Trabalhador Sancarlense 400; 13566- 590 Sao Carlos, SP. Brazilië; [email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]

ABSTRACT

Een flexibel montagesysteem werd ontwikkeld voor fluttertesten met stijve vleugels in windtunnel. De twee-graden-van-freedom flutter verkregen met dit experimentele systeem kan worden beschreven als de combinatie van structurele buiging en torsie trillingsmodes. Actieve regelsystemen voor flutteronderdrukking, die een klep aan de achterrand als actuator gebruiken, kunnen met deze experimentele opstelling worden getest. Voorafgaand aan de ontwikkeling van het regelsysteem moeten de dynamische en aero-elastische karakteristieken van het systeem worden onderzocht. Experimentele modale analyse wordt uitgevoerd en de modi vorm en frequenties worden bepaald. Vervolgens worden windtunnelproeven uitgevoerd om het flutterfenomeen te karakteriseren, waarbij de kritische fluttersnelheid en -frequentie worden bepaald. Frequentie-responsiefuncties worden ook verkregen voor het bereik van snelheden onder de kritische snelheid en tonen de evolutie van de pitch- en plunge-modi en de koppelingstendens bij toenemende snelheid. De pitch- en plunjegegevens die tijdens deze tests in het tijdsdomein zijn verkregen, worden gebruikt om te evalueren in hoeverre het uitgebreide algoritme voor de realisatie van het eigensysteem in staat is flutterparameters met toenemende snelheid te identificeren. De resultaten van het identificatieproces worden gedemonstreerd in termen van de evolutie van frequentie en demping van de modi betrokken bij flutter.

Keywords: Identificatie, flutter, EERA, aero-elasticiteit

Inleiding

Aero-elastische verschijnselen zijn het gevolg van de interactie van elastische, traagheids- en aërodynamische belastingen op aëronautische constructies. Wanneer elastische lichamen aan de luchtstroom worden blootgesteld, induceren structurele vervormingen bijkomende aërodynamische krachten en deze krachten produceren bijkomende structurele vervormingen, die opnieuw grotere aërodynamische krachten zullen induceren. Deze interactie kan leiden tot aero-elastische instabiliteiten zoals flutter, zie bijvoorbeeld Försching (1979). Na de Tweede Wereldoorlog werden aero-elastische problemen belangrijker door de toename van de vliegsnelheid en door structurele wijzigingen. De veranderingen en historische evolutie van aero-elasticiteit door de geschiedenis heen worden beschreven in Ashley (1970), Collar (1959), Garrick and Reed (1981), en Garrick (1976).

Flutter is een van de meest representatieve onderwerpen van aero-elasticiteit. Flutter is een complex verschijnsel waarbij structurele modes gelijktijdig worden gekoppeld en opgewekt door aerodynamische belastingen. Formeler gezegd is flutter de toestand waarbij een vliegtuigonderdeel een zichzelf in stand houdend oscillerend gedrag vertoont bij snelheden hoger dan de kritische (Wright, 1991). In het algemeen treedt flutter op bij liftoppervlakken die aan grote aërodynamische belastingen worden blootgesteld, zoals vleugels en staartvlakken.

Flight flutter testing (Kehoe, 1995) is een zeer belangrijk onderdeel bij de certificering van een vliegtuig. Tijdens deze tijdrovende en kostbare tests moet het vliegbereik veilig worden uitgebreid om aan te tonen dat het vliegtuig fluttervrij is onder de gewenste omstandigheden. De procedure bestaat uit drie fasen (Cooper and Crowther, 1999):

1. Het vliegtuig wordt op een bepaalde manier opgewonden en de reacties worden gemeten bij een bepaalde snelheid;
2. Flutterparameters worden geschat met behulp van systeemidentificatiemethoden;
3. Er wordt besloten om al dan niet door te gaan naar het volgende vliegtestpunt.

De belangrijkste taak van deze vliegproeven is het met vertrouwen voorspellen van de stabiliteit bij de volgende testsnelheid, toegestaan door het schatten van aero-elastische parameters (fase twee). De ontwikkeling van methoden om uit de gemeten testgegevens, of een andere aero-elastische instabiliteit, nauwkeurig de snelheid te voorspellen die gerelateerd is aan het begin van de flutter, is een belangrijke manier om de veiligheid te verhogen en zelfs de kosten van deze tests te verlagen (Lind, 2003). Er zijn verschillende methoden ontwikkeld om dit doel te bereiken. In het algemeen worden deze methoden ontwikkeld en getest met behulp van gegevens uit simulaties, maar evaluaties die gegevens uit vliegproeven omvatten, moeten worden uitgevoerd voordat een benadering betrouwbaar kan worden gebruikt voor een envelope uitbreiding.

Van sommige methoden is aangetoond dat ze theoretisch geldig zijn om fluttersnelheden te voorspellen, bijvoorbeeld die op extrapolatie van dempingstrends zoals beschreven door Kehoe (1995). De omhullingsfunctie ontwikkeld door Cooper; Emmett en Wright (1993) is een andere methode. Deze functie is gebaseerd op de veronderstelling dat de impulsresponsfunctie informatie bevat over de algehele stabiliteit van het systeem. Evenzo maakt een discreet-tijd autoregressief voortschrijdend-gemiddeldemodel (ARMA) gebruik van het Jury-stabiliteitscriterium en houdt het ook rekening met de algemene stabiliteit van het systeem (Torii en Matsuzaki, 2001). Een andere methode is de Zimmerman-Weissenburger fluttermarge methode, waarbij het Routh stabiliteitscriterium moet worden gebruikt in plaats van een dempingstracering (Zimmerman en Weissenburger, 1964). De flutterometer is een on-line modelgebaseerd instrument dat wordt gebruikt om fluttermarges te voorspellen, ontwikkeld door Lind en Brenner (2000). Dit instrument maakt gebruik van experimentele gegevens en theoretische modellen om het begin van flutter te voorspellen.

Het vermogen van de bovengenoemde methoden om flutterparameters uit vliegproeven te voorspellen is geëvalueerd door Lind (2003). De vliegproeven werden uitgevoerd met een F-15 als gastdrager voor een aerostructure test wing (ATW). Deze ATW is geen compleet vliegtuig, maar het is een realistische vleugel en de omhullende kon tijdens de vliegproeven worden uitgebreid tot een punt waarop de fluttersnelheid zou worden bereikt. Aangezien de werkelijke fluttersnelheid bekend is, kan deze worden gebruikt om de voorspelde fluttersnelheden te evalueren. De resultaten van deze evaluaties geven de sterke en zwakke punten van elke methode onder verschillende omstandigheden aan. Zo zijn de op gegevens gebaseerde methoden niet in staat de fluttersnelheid nauwkeurig te voorspellen met behulp van gegevens van tests bij lage snelheid, maar convergeren zij naar een goede oplossing naarmate de luchtsnelheid wordt opgevoerd. De modelgebaseerde fluttermeter is echter conservatief bij gebruik van gegevens van tests met lage snelheid, maar de voorspellingen blijven conservatief en convergeren niet naar de werkelijke fluttersnelheid bij gebruik van gegevens van tests met hoge snelheid. Deze feiten suggereren dat een efficiënter vliegtestprogramma voor enveloppe-uitbreiding zou kunnen worden geformuleerd met de combinatie van verschillende identificatiebenaderingen.

In dit artikel wordt een benadering gepresenteerd die is gebaseerd op de identificatie van flutterparameters, namelijk frequentie en demping, met behulp van het Extended Eigensystem Realization Algorithm (EERA). De identificatie van deze flutterparameters gebeurt door analyse van gegevens uit windtunneltesten. De windtunneltesten zijn uitgevoerd met een flexibel montagesysteem dat ontworpen is om flutter in twee graden van vrijheid te bereiken in combinatie met een stijf vleugelmodel. De windvaankarakteristieken en aero-elastische eigenschappen van dit experimentele systeem zijn uitgebreid bepaald door middel van eindige-elementensimulaties, experimentele modale analyse en windtunnelproeven (De Marqui Jr et al., 2004). Dit bekende experimentele systeem kan dus worden gebruikt om fluttersnelheid te voorspellen met behulp van de EERA methode.

De EERA methode is een aangepaste vorm van een Eigensystem Realization Algorithm (ERA), dat een tijdsdomein algoritme is dat de modi gelijktijdig kan indentificeren (Juang, 1994). De EERA berekent de modale parameters door manipulatie van de blok-Hankel matrices van zowel ingangs- als uitgangstijdshistorieken (Tasker; Bosse en Fisher, 1998). De ontwikkeling van deze deelruimte-identificatiemethoden is ingegeven door moeilijkheden bij het schatten van modale parameters voor meervoudige in- en uitvoersystemen met trillingen. De laatste jaren hebben subruimte-methoden de aandacht getrokken op het gebied van systeemidentificatie, omdat zij in wezen niet-iteratief en snel zijn (Favoreel et al., 1999). Er doen zich dan ook geen convergentieproblemen voor en aangezien de subspace-methoden uitsluitend gebaseerd zijn op stabiele technieken uit de lineaire algebra, zijn zij ook numeriek robuust. Deze methoden zorgen voor een aanzienlijke filtering van de gegevens met behulp van eigenwaarde- of singuliere-waarde-ontleding en zijn bijzonder effectief wanneer er sprake is van dicht bij elkaar liggende modes. In wezen worden de gegevens gescheiden in orthogonale signaal- en nul-deelruimten, die beide kunnen worden gebruikt om de modale parameters te schatten (Tasker; Bosse en Fisher, 1998).

Nomenclatuur

m = aantal uitgangen

n = vrijheidsgraad

r = aantal externe opwindingen

k = moment van bemonstering

M = aantal monsters in een tijdvenster

N = aantal monsters in een tijdvenster

N = aantal monsters in een tijdvenster

N = aantal monsters in een tijdvenster

N = aantal monsters in een tijdvenster

. venster

u(k) = ingangsvector

x(k) = toestandsvector

y(k) = responsvector

Ad = systeemmatrix

Bd = ingangsmatrix

Cd = uitgangsmatrix

Dd = directe transmissiematrix

G = blok Toeplitz matrix

I = identiteitsmatrix

R = matrix van de linker singuliere vectoren

S = matrix van de rechter singuliere vectoren

U = blok Hankel matrices van ingangen

X = matrix van de toestandssequentie

Y = blok Hankel matrices van uitgangen

0 = nulmatrix

Griekse symbolen

G = uitgebreide waarneembaarheidsmatrix

å = matrix van singuliere waarden

Subscripts

s verschoven

2n eerste 2n kolommen

Superscripts

-1 invers

T transponeren

^ orthogonaal

pseudoinvers

Fysisch model

Het fysieke model is een stijve rechthoekige vleugel met een NACA 0012 vleugelprofiel verbonden met een flexibel montagesysteem. Het flexibele bevestigingssysteem levert een goed gedefinieerd dynamisch systeem van twee vrijheidsgraden waarin de stijve vleugel flutter zal ondervinden. Zijaanzichten en perspectieven van het flutterbevestigingssysteem zijn te zien in fig. 1. Het flutterbevestigingssysteem bestaat uit een bewegende plaat ondersteund door een systeem van vier cirkelvormige staven en een in het midden geplaatste vlakke plaat, vergelijkbaar met het systeem ontwikkeld in Dansberry et al. (1993).

De staven en de vlakke plaat zorgen voor de elastische beperkingen en het stijve vleugelmodel bevestigd in de bewegende plaat zal oscilleren in een twee-vrijheidsmode, d.w.z. pitch en plunje, wanneer flutter wordt ondervonden. De staven, de vlakke plaat en de bewegende plaat zijn gemaakt van staal en alle verbindingen zijn vast-vast. Het vleugelmodel en de bewegende plaat zijn gemaakt van aluminium en de klep van de achterrand is gemaakt van ABS-hars. Hun afmetingen zijn: staven met een diameter van 0,0055 m; bewegende plaat is 0,6 ´ 0,3 m; vlakke plaat is 0,7 ´ 0,1 ´ 0,002 m en het vleugelmodel heeft 0,8 ´ 0,45 m. De klep aan de achterrand varieert van 37,5 % tot 62.5 % van de spanwijdte en zijn koorde is 35 % van de volledige vleugelkoorde.

De afblaaseigenschappen van het flutterbevestigingssysteem worden sterk beïnvloed door de afmetingen van de vlakke plaatstut, de stangen en de massa van de bewegende plaat en het vleugelmodel. Wijzigingen in de lengte en de doorsnede van de vlakke plaatstut en de staven veranderen de frequenties en de modusvormen van het flexibele bevestigingssysteem. Door het zwaartepunt van het flexibele bevestigings- en vleugelmodel te verplaatsen naar de elastische as van het systeem, kunnen gewichten worden toegevoegd om de steek- en duikmodi te ontkoppelen. De elastische as van het systeem bevindt zich in de verticale middellijn van de vlakke plaatstut en het middelpunt van de bewegende plaat. De vier staven zorgen ook voor een parallelle steek- en duikverplaatsing ten opzichte van de windtunnelwand.

Om het flexibele systeem te ontwerpen, werd een Eindige Elementen Model ontwikkeld met behulp van de software Ansysâ. Er werden twee soorten elementen gebruikt: Beam 4 en Shell 63, voor respectievelijk de staven en de vlakke plaatstut. De cantilever randvoorwaarde werd aangenomen voor het flexibele bevestigingssysteem aan de staven en de platte plaatvoet. De afmetingen en dynamische karakteristieken van het experimentele systeem, verkregen uit de FEM, werden aangepast totdat het aero-elastische gedrag van dit systeem kon worden afgestemd op de beschikbare windtunnel. Het aëro-elastische gedrag van dit systeem werd gesimuleerd met een wiskundig model beschreven in De Marqui Jr, Belo and Marques (2005).

Na het ontwerp en de constructie van de experimentele apparatuur werd een experimentele modale analyse uitgevoerd om de natuurlijke frequenties en modi te verifiëren voorafgaand aan een windtunnel fluttertest. In deze test werden frequenties onder 25 Hz onderzocht en werd het vleugelcontrolevlak vergrendeld. De meetpunten zijn gelokaliseerd bij de vlakke plaatstut, omdat deze de elastische beperkingen aan het systeem levert. Het Eigensystem Realization Algorithm (ERA), zoals gewijzigd door Tsunaki (1999), wordt gebruikt om de modusvormen en frequenties uit de experimentele gegevens af te leiden. De belangrijkste natuurlijke frequenties staan vermeld in Tab. 1. Stangen en koorde modi werden niet onderzocht in deze modale analyse.

Tabel 1 toont de eerste buig- en eerste torsiemodi goed gedefinieerd en het toont ook de derde modus hoger dan die. Theoretisch garandeert deze voorwaarde een systeem met twee vrijheidsgraden tijdens de windtunnelproeven; hogere toestanden zullen tijdens de windtunnelproeven niet significant worden opgewekt (Dansberry et al., 1993). Details over de ontwerp-procedure van het flexibele montagesysteem en meer resultaten zijn te vinden in De Marqui Jr et al. (2004).

De modale analyse houdt alleen rekening met de structurele aspecten van het flutterprobleem. Uiteraard moet in de flutteranalyse rekening worden gehouden met de interactie van deze kenmerken met de aerodynamische. Aerodynamische krachten en momenten, lift en pitch moment in het geval van deze studie, zullen de modi opwinden die betrokken zijn bij de klassieke buig-torsie flutter. Dientengevolge zullen de elastische eigenschappen van de constructie en de resulterende aërodynamische restkrachten, die verantwoordelijk zijn voor de aërodynamische demping wanneer geen mechanische wrijving wordt verondersteld en die worden veroorzaakt door de opwerveling die wordt veroorzaakt door de zogwervelingen, reageren en energie afvoeren naar de luchtstroom. Wanneer de kritische snelheid wordt bereikt, verdwijnt de aërodynamische demping omdat de aërodynamische herstelkrachten hun dissipatieve eigenschappen verliezen en het zelfonderhoudende oscillerende gedrag wordt geverifieerd.

Het experimentele systeem, vleugel verbonden met het bevestigingssysteem, is geïnstrumenteerd met twee rekstrookjes en drie versnellingsmeters, zoals te zien is in fig. 1. Eén versnellingsmeter (Kistler KBeam 8303A10M4) is geplaatst in de hartlijn van de vlakke plaatstut en meet de indrukversnelling. De andere twee versnellingsmeters (Kistler KBeam 8304B10) zijn in de bewegende plaat geïnstalleerd. De met deze versnellingsmeters gemeten signalen worden gebruikt om de steekversnelling te berekenen.

De rekstrookjes bevinden zich in de hartlijn van de platte plaatstut in een maximale rekpositie die uit de eindige-elementenanalyses is bepaald. Eén rekstrookje (Kiowa KFG-5120C123) is gekalibreerd voor het meten van duikverplaatsingen en het andere (Kiowa KFC-2D211) is gekalibreerd voor het meten van hellingshoeken.

Een borstelloze elektromotor (Thompson BLD2315B10200), geïnstalleerd in het onderste oppervlak van de bewegende plaat (zie fig. 1), wordt gebruikt om de klep aan de achterrand aan te drijven. De klep is via een as verbonden met de motor. De elektromotor heeft een encoder die wordt gebruikt om de werkelijke hoekpositie van de klep te meten. Een PID-regelaar werd afgesteld om te zorgen voor de juiste regeling van de positie van de klep aan de achterzijde door de motor.

Extended Eigensystem Realization Algorithm – EERA

Elk lineair tijdinvariant dynamisch systeem met n vrijheidsgraden kan worden gemodelleerd met de volgende discrete tijd-toestandsruimtevergelijkingen:

waarbij x(k) de 2n dimensionale toestandsvector is op het k-de meetmoment, u(k) de r dimensionale ingangsvector is, r het aantal externe impulsen is, y(k) de m dimensionale responsvector is, m het aantal uitgangs- of responswaarden van het systeem is, Ad de 2n ´ 2n systeemmatrix is, Bd de 2n ´ r ingangsmatrix is, Cd de m ´ 2n uitgangsmatrix is, en Dd de m ´ r directe transmissiematrix is.

De identificatieprocedure met behulp van de EERA bestaat uit de bepaling van de systeemmatrix Ad uit de tijdshistorie van de inputs en outputs. Eigenschappen die verband houden met flutter, namelijk frequenties en demping, kunnen worden geschat met behulp van de systeemmatrix Ad. De identificatie van de systeemmatrix Ad met behulp van de EERA-methode wordt beschreven aan de hand van de volgende procedure, die gebaseerd is op de theorie van Tasker; Bosse en Fischer (1998).

De blok-Hankel matrices van ingangen (U) en uitgangen (Y) kunnen rechtstreeks worden verkregen uit de in- en uitgangstijd (Overschee en De Moor, 1996)

waarbij, M en N het aantal monsters in een tijdvenster is dat tijdens het identificatieproces zal worden gebruikt.

U kunt verifiëren dat de blok-Hankelmatrix van de output wordt weergegeven zoals beschreven in Verhaegen en Dewilde (1992),

waarbij G een uitgebreide waarnemingsmatrix is, X een matrix van de toestandssequentie is, en G een blok-Toeplitz matrix van Markov-parameters of impulsrespons is, dat wil zeggen,

De orthogonale matrix kan per definitie worden geschreven als (Van Overschee en De Moor, 1996),

Door Eq. (3) te vermenigvuldigen met respectievelijk de rechter en de linker term van Eq. (5), respectievelijk, en gebruikmakend van de definitie van orthogonaliteit, kan de volgende uitdrukking worden verkregen,

Toepassing van de singuliere-waardeontleding op:

waarbij R (mM ´ mM) de linkse singuliere-vectorenmatrix is, de overeenkomstige singuliere-waardenmatrix en S (N ´ N) de rechtse singuliere-vectorenmatrix is. De kolommen van deze matrices zijn orthonormaal.

De pseudoinverse van kan worden verkregen uit Eq.(7) gegeven worden:

terwijl,

Op dit punt kan een verschoven vorm van de blok-Hankel matrix van de output, of respons, worden ingevoerd als:

De afmetingen van deze nieuwe matrix hangen samen met de lengte van de tijdshistorische vector van de output (aantal monsters in een tijdvenster) die zal worden gebruikt tijdens het identificatieproces. Dit venster moet echter een of meer stappen in de tijd worden vooruitgezet.

Op soortgelijke wijze als in Eq. (3) volgt:

waar Gs en Gs verschoven versies zijn van respectievelijk de uitgebreide waarneembaarheidsmatrix en de blok-Toeplitz-matrix van Markov-parameters:

Na dezelfde afleiding die voor Eq. (6) kan men dan verkrijgen:

waarbij de term aan de rechterkant van deze vergelijking gemakkelijk kan worden verkregen door vergelijking van de oorspronkelijke en verschoven versies van de waarneembaarheidsmatrices, dat wil zeggen, Gs = GAd.

De matrix YsU^ uit Eq. (13) kan gemakkelijk herschreven worden als,

Substitutie van Eq. (7) en Eq. (8) in Eq. (14), resulteert

In dit stadium kan een criterium worden bepaald om het aantal noodzakelijke singuliere waarden te bepalen. Dit aantal kan worden gewijzigd naar gelang van de moeilijkheden die zich bij het identificatieproces voordoen. Dit aantal bepaalt de dimensie van het geïdentificeerde model en moet tijdens het identificatieprobleem worden gewijzigd. Aangezien het aantal singuliere waarden op 2n is vastgesteld, kan de singuliere-waardenmatrix worden weergegeven als:

De matrices kunnen gemakkelijk worden geschreven als

waar, R2n de eerste 2n kolommen van R bevat en S2n de eerste 2n kolommen van S bevat.

De matrices R2n en S2n voldoen aan het volgende verband:

Met behulp van de relaties in Eq. (17) te gebruiken voor het singuliere waarde ontbindingsprobleem, volgt:

en, als S=S-1 (Watkins, 1991), volgt:

Overwegend dat

en Eq. (19) en Eq. (20) substituerend in Eq. (15)

waar

Uit Eq. (18) volgt:

Vergelijking (24) kan worden vergeleken met Eq. (13) en dan kan de systeemmatrix als volgt worden beoordeeld:

De systeemmatrix Ad is een minimale realisatie van het systeem. De dimensie van deze matrix is 2n en bepaalt tevens de dimensie van het geïdentificeerde systeem. Deze realisatie kan worden omgezet in toestandsvergelijkingen in modale coördinaten en de eigenfrequenties en demping kunnen worden verkregen door de eigenwaarden te berekenen. De bovenstaande uitdrukking verschilt alleen van de ERA-uitdrukking door de aanwezigheid van de ingangsterm. Wanneer de responsen het gevolg zijn van impulsieve inputs, is de uitdrukking identiek aan de uitdrukkingen waargenomen in ERA (Juang, 1994).

Experimentele Flutter Verificatie

Een dSPACE® DS 1103 processorbord wordt gebruikt om de real time controle van de flap te ontwikkelen en voor data acquisitie. Dit bord heeft een 400 MHz Power PC 604e processor, I/O interfaces met 16 A/D en 8 D/A kanalen en een incrementele encoder interface (DSPACE®, 2001). De signalen van de versnellingsmeters, de rekstrookbruggen en de kleppositie kunnen gelijktijdig worden verkregen. De rekencodes voor data-acquisitie en signaalverwerking zijn ontwikkeld in Matlab/Simulink®. De Simulink®-code wordt in Matlab® gecompileerd met behulp van de Real-Time Workshop®-compiler, wat resulteert in een C-code. Deze C-code wordt gedownload naar het dSPACE®-bord om de signaalverwerking en I/O-besturing uit te voeren.

Figuur 2 toont een vereenvoudigd schema van het data-acquisitiesysteem. De versterkingen in het computersysteem worden gebruikt om de gemeten signalen om te zetten naar de noodzakelijke fysische eenheden, mV naar m/s2 of rad/s2 voor de versnellingsmeters en mV naar m of rad voor de rekstrookjes. De encoder van de elektromotor die wordt gebruikt om de klep van de achterrand aan te drijven, heeft 1000 lijnen. Derhalve kan een resolutie van 0,36 graden worden bereikt bij de metingen van de positie van de achterrand. Tijdens de experimenten wordt een acquisitiesnelheid van 1000 monsters per seconde gebruikt.

In de eerste experimentele test wordt de verificatie van de kritische fluttersnelheid uitgevoerd. De windtunnelsnelheid wordt geleidelijk opgevoerd en de pitch- en plungesignalen worden gemeten met het dSPACE®-systeem. De windtunnelsnelheid wordt verkregen uit de drukmetingen die worden uitgevoerd met een statische pitotbuis in combinatie met een Betz-manometer, een barometer en een temperatuursensor die op de testkamer zijn geïnstalleerd. Flutter wordt waargenomen bij de kritische stromingssnelheid van 25 m/s, wanneer het oscillerende gedrag wordt gemeten. Figuur 3 toont de signalen van respectievelijk de pitch en de plunge, gemeten tijdens de experimenten.

Een van de kenmerken van het flutterverschijnsel is de koppeling van de modi die bij het verschijnsel betrokken zijn, d.w.z. de pitch en de plunge in het geval. Deze voorwaarde wordt geverifieerd in fig. 4, waar de tijddomeinsignalen van fig. 3 worden weergegeven in termen van hun frequentie-inhoud.

Deze test toont het gedrag van het systeem alleen bij de kritieke snelheid. Maar sommige dynamische karakteristieken veranderen naarmate de stromingssnelheid van de windtunnel toeneemt. Om deze veranderingen te verifiëren worden andere tests uitgevoerd. In principe worden frequentieresponsiefuncties verkregen bij verschillende snelheden, die de ontwikkeling van de eerste buig- en torsiemodi laten zien bij toenemende snelheid. Het ingangssignaal voor deze tests is de positie van de achterrand en het uitgangssignaal is de versnelling gemeten in de vleugeltrailing edge.

A B&K tweekanaals digitale spectrumanalysator type 2032 wordt gebruikt om de frequentierespons te verkrijgen. Deze reacties worden verkregen vanaf de windtunnel uit-stand tot aan snelheden die zo dicht mogelijk bij de kritische toestand liggen. Het ingangssignaal is een witte ruis die in het dSPACE®-systeem wordt opgewekt en naar de klep aan de achterrand wordt gestuurd. Dit signaal en de versnelling worden verwerkt in de spectrumanalysator. Deze procedure wordt herhaald voor alle tussenliggende testsnelheden.

In Fig. 5 kan men de evolutie van de modes nagaan met toenemende windtunnelsnelheid. De frequentierespons verkregen bij nul snelheid vertoont pieken met betrekking tot de eerste buig- en torsiemodi die goed gedefinieerd zijn en dezelfde natuurlijke frequenties verkregen tijdens de EMA, zoals verwacht. In de laatste frequentierespons, gemeten in de buurt van de kritische snelheid, kan men de tendens van koppeling tussen de bij flutter betrokken toestanden verifiëren. Deze koppeling heeft de neiging op te treden bij een frequentie van ongeveer 1,6 Hz, hetgeen het in Fig. 4 waargenomen resultaat bevestigt.

In de frequentieresponsen verkregen bij tussensnelheden, kunnen de variaties in steek- en plunjerfrequenties worden waargenomen. Ook is het duidelijk dat de pieken van de toonhoogte- en duikmodi niet zo scherp zijn als de pieken van de frequentierespons bij nulsnelheid. Dit feit kan worden gezien als het effect van de interactie tussen vloeistof en structuur op de toename van de demping. Deze tendens wordt verwacht tot snelheden in de buurt van de kritische, wanneer de demping naar verwachting zal verdwijnen en flutter optreedt.

Identificatieresultaten

Het Extended Eigensystem Realization Algorithm (EERA) wordt gebruikt om de variatie van frequenties en dempingswaarden te kwantificeren met toenemende snelheid in de windtunnel ten opzichte van de modi die betrokken zijn bij flutter. Door met EERA de dempingsevolutie met luchtsnelheidsvariatie te inspecteren, kan worden voorspeld wanneer flutter zal optreden. De gegevens die gebruikt worden in het identificatieproces zijn verkregen tijdens de aero-elastische testen die uitgevoerd zijn om de frequentieresponsfunctie te verkrijgen die eerder in dit artikel beschreven is. Gelijktijdig met de frequentiedomeinproeven werden het ingangssignaal (beweging van de klep aan de achterrand) en het door de rekstrookjes gemeten signaal (pitch en plunge verplaatsingen) in het tijdsdomein vastgelegd met behulp van het dSPACE® acquisitiesysteem. De figuren 6 tot en met 8 tonen voorbeelden van ingangs- en uitgangssignalen die tijdens een van de windtunneltests zijn gemeten. In Fig. 6 is de flapdoorbuiging in graden weergegeven. Deze vertegenwoordigt een willekeurig gegenereerd (uniforme verdeling) signaal voor de flaphoek om als excitatie voor het aero-elastische systeem te werken. Zowel de plooi- als de kantelresponsies, met betrekking tot de flapbeweging (zie fig. 6), worden getoond in fig. 7 en 8, respectievelijk.

Het identificatieproces werd uitgevoerd na de verwerving van de tijddomeingegevens van de invoer en de uitvoer. De afmetingen van de blok-Hankel matrices van in- en uitgangen (M en N=2M) en het aantal singuliere waarden (2n) dat in aanmerking moet worden genomen, werden gewijzigd voor elke identificatie die voor elke stroomsnelheid werd uitgevoerd. Deze variatie kan worden verklaard door de moeilijkheden bij de identificatie van parameters met behulp van gegevens die zijn verkregen bij hogere windtunnelsnelheden, wanneer de modi worden gekoppeld.

De eindresultaten van het identificatieproces kunnen worden waargenomen in Fig. 9. De evolutie met luchtsnelheid van de pitch- en plungefrequenties en de dempingsfactoren worden getoond. Er is te zien dat flutter kan worden voorspeld bij een luchtsnelheid in de buurt van 25 m/s, in overeenstemming met de experimentele resultaten (zie vorige sectie). Voor elke test worden de frequentie en de dempingsfactor voor zowel de neus- als de duikbewegingen verkregen in termen van hun gemiddelde waarden voor een verscheidenheid van identificatieparameters die leiden tot verschillende geïdentificeerde systeemtoestandsmatrices. In fig. 9 is de puntenwolk gerelateerd aan de variatie van de geïdentificeerde parameters en de krommen geven de gemiddelde waarden voor frequentie en demping weer. Voor de frequentieberekeningen kan worden vastgesteld dat de EERA-methode in staat was een goede voorspelling te geven voor een verscheidenheid van identificatieparameters. Voor de identificatie van de dempingsfactor waren de waarden per luchtsnelheid echter meer uiteenlopend. De dempingswaarden voor de neusstand lijken minder uiteen te lopen dan die voor de duikstand. De redenen daarvoor zijn nog steeds niet vastgesteld, en het moet onderwerp zijn van lopend onderzoek naar fluttervoorspelling met EERA. Hoewel deze resultaten minder goed zijn dan die voor de frequentie, vertonen de gemiddelde dempingswaarden krommen die consistent zijn met de fysica van de klassieke 2D flutter. Terwijl de pitch (torsie) modus tot flutter leidt, gaat de plunge (buig) modus in de richting van over-demping.

Conclusies

De experimentele aero-elastische test in windtunnel is gebruikt voor de identificatie van flutterparameters. Windtunneltesten zijn uitgevoerd voor flutterkarakterisering en het fenomeen kon worden waargenomen in het tijd- en frequentiedomein. In het tijdsdomein werd het zelfonderhoudende oscillerende gedrag van flutter aangetoond. In het frequentiedomein werd ook de evolutie van de modi met toenemende snelheid in de windtunnel waargenomen. Bij de kritische snelheid kon de koppelingstendens duidelijk worden aangetoond. De variaties in de pitch en plunge demping konden slechts op kwalitatieve wijze worden verkregen in deze tests.

Om de evolutie van de pitch en plunge modes met toenemende snelheid te kwantificeren werd een identificatie methode toegepast. Het Extended Eigensystem Realization Algorithm werd toegepast met gebruikmaking van de in- en uitvoergegevens, verkregen in het tijdsdomein, tijdens de voor flutterkarakterisering uitgevoerde proeven. Deze methode werd gebruikt voor de identificatie van flutterparameters om de prestaties ervan in termen van snelheid en mogelijke numerieke problemen tijdens het proces te verifiëren. Het gebruik van EERA kan als passend worden beschouwd gezien de samenhang tussen de resultaten verkregen met deze identificatiemethode en de resultaten verkregen in eerdere windtunnelproeven. Er hebben zich enkele problemen voorgedaan bij de identificatie van de waarden van de dempingsfactor, in het bijzonder voor de “plunge mode”. Nader onderzoek naar de oorzaak van dergelijke problemen is noodzakelijk en is nog gaande.

Zelfs in aanmerking nemend dat het in dit werk gepresenteerde identificatieproces een off-line proces is, geven de tot nu toe verkregen resultaten aan dat de on-line identificatie van flutterparameters tijdens windtunneltesten kan worden onderzocht. De ontwikkeling van een adaptief controle systeem verkregen met de associatie van de on-line identificatie methode en een controle wet voor flutter onderdrukking kan worden bereikt in verder onderzoek.

Aankenningen

De auteurs erkennen dankbaar de financiële steun verleend door CAPES en FAPESP (Sao Paulo State Foundation for Research Support Brazil) door middel van contract nummers 1999/04980-0 en 2000/00390-3.

Ashley, H., 1970, “Aeroelasticity”, Applied Mechanics Reviews, pp.119-129.

Collar, A.R., 1959, “Aeroelasticity Retrospect and Prospect”, The Journal of the Royal Aeronautical Society, Vol. 63, No. 577, pp.1-15, 1959.

Cooper, J.E. and Crowther, W.J., 1999, “Flutter Speed Prediction During Flight Testing Using Neural Networks”, CEAS/AIAA/ICASE/NASA Langley International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics, pp. 255-264.

Cooper, J.E., Emmett, P.R. and Wright, J.R., 1993, “Envelope Function: A Tool for Analysing Flutter Data”, Journal of Aircraft, Vol. 30, No. 5, pp. 785-790.

Dansberry, B.E., Durham, M. H., Bennett, R. M., Turnock, D. L., Silva, E. A. and Rivera Jr, J. A., 1993, “Physical Properties of the Benchmark Models Program Supercritical Wing”, NASA TM-4457.

De Marqui Jr., C., Belo, E.M. and Marques, F.D., 2005, “A flutter suppression active controller”, Proc I.Mech.E Part G – Journal of Aerospace Engineering, Vol. 219.

De Marqui Jr., C., Belo, E.M., Tsunaki, R.H., Rebolho, D.C. and Marques, F.D., 2004, “Design and Tests of an Experimental Flutter Mount System”, Proceedings of the XXII IMAC, Dearborn, MI.

DS1103 PPC Controller Board, 2001, Hardware Reference, www.dspace.de.

Favoreel, W., Huffel, S.V., De Moor, B, Sima, V. and Verhaegen, M., 1999, “Comparative study between three subspace identification algorithms”, Proceedings of the European Control Conference, Karlsruhe-Duitsland, 31 augustus-3 september, 6p.

Försching, H., 1979, “Aeroelastic Problems in Aircraft Desing”, von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture series 08: A Survey of Aeroelastic Problems.

Garrick, I.E. and Reed, W.H., 1981, “Historical Development of Aircraft Flutter”, Journal of Aircraft, Vol.18, No. 11, pp. 897-912.

Garrick, I.E., 1976, “Aeroelasticity frontiers and beyond”, 13th Von Karman Lecture, Journal of Aircraft, Vol.13, No. 9, pp. 641-657.

Juang, J.N., 1994, “Applied System Identification”, Prentice Hall PTR, New Jersey, USA.

Kehoe, M.W., 1995, “A Historical Overview of Flight Flutter Testing”, NASA TM-4720.

Ko, J., Kurdila, A.J. and Strganac, T.J., 1997, “Adaptive Feedback Linearization for the Control of a Typical Wing Section with Structural Nonlinearity”, ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Dallas, Texas.

Lind, R. en Brenner, M., 2000, “Flutterometer: An On-Line Tool to Predict Robust Flutter Margins”, Journal of Aircraft, Vol. 37, No. 6, pp. 1105-1112.

Lind, R., 2003, “Flight-Test Evaluation of Flutter Prediction Methods”, Journal of Aircraft, Vol. 40, No. 5, pp. 964-970.

Mukhopadhyay, V., 1995, “Flutter onderdrukkingsregelwet ontwerp en testen voor de actieve flexibele vleugel”, Journal of Aircraft, Vol.32, No. 1, pp. 45-51.

Tasker, F., Bosse, A. and Fisher, S., 1998, “Real-time modal parameters estimation using subspace methods: Theory”. Mechanische Systemen en Signaalverwerking, Vol.12, No. 6, pp. 797-808.

Torii, H. and Matsuzaki, Y., 2001, “Flutter Margin Evaluation for Discrete-Time Systems”, Journal of Aircraft, Vol. 38, No. 1, pp. 42-47.

Tsunaki, R. H., 1999, “Identificação Automatizada de Modelos Dinâmicos no Espaço de Estados”, Ph.D. Thesis, Universiteit van Sao Paulo.

Van Overschee, P. en De Moor, B., 1996, “Subspace identification for linear systems: theory, implementation, applications”, Kluwer Academic Publishers, Boston, Verenigde Staten.

Verhaegen, M. en Dewilde, P., 1992, “Subspace model identification part 1. The output-error state space model identification class of algorithms”, International Journal of Control, Vol. 56, pp. 1187-1210.

Waszak, M.R., 1998, “Modeling the benchmark active control technology wind-tunnel model for active control design applications”, NASA TP-1998-206270.

Watkins, D.S., 1991, “Fundamental of Matrix Computations”, New York, Wiley,USA.

Wright, J.R., 1991, “Introduction to Flutter of Winged Aircraft”, von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture series 01: Elementary Flutter Analysis.

Zimmerman, N.H. and Weissnburger, J.T., 1964, “Prediction of Flutter Onset Speed Based on Flight Testing at Subcritical Speeds”, Journal of Aircraft, Vol. 1, No. 4, pp. 190-202.