nLab Yang-Mills theorie

Idea

YangâMills theorie is een ijktheorie op een gegeven 4-dimensionale (pseudo-)Riemannse manifold XX waarvan het veld het YangâMills veld is â een cocyclus ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) in differentiële niet-abeliaanse cohomologie vertegenwoordigd door een vectorbundel met verbinding â en waarvan de actiefunctionaal is

voor

• F âF_\nabla de veldsterkte, plaatselijk de kromming ð²(n)athfrak{u}(n)-Lie algebra gewaardeerde differentiaalvorm op XX ( met ð²(n)athfrak{u}(n) de Lie algebra van de unitaire groep U(n)U(n));

• â\star de Hodge-ster operator van de metriek gg;

• 1g 2gfrac{1}{g^2} de Yang-Mills koppelingsconstante en θtheta de theta-hoek, enkele reële getallen (zie bij S-dualiteit).

(Zie dit voorbeeld bij Een eerste idee van kwantumveldentheorie.)

Eigenschappen

Kwalificatie van oplossingen

• Narasimhan-Seshadri stelling

• Donaldson-Uhlenbeck-Yau stelling

Kwantisering

Ondanks zijn fundamentele rol in het standaardmodel van de deeltjesfysica, verschillende details van de kwantisatie van Yang-Mills theorie zijn nog steeds open. Zie bij quantisatie van Yang-Mills theorie.

Toepassingen

Alle ijkvelden in het standaardmodel van de deeltjesfysica en ook in GUT-modellen zijn YangâMills velden.

De materievelden in het standaardmodel zijn spinors geladen onder het Yang-Mills veld. Zie

• spinoren in de Yang-Mills-theorie

Geschiedenis

Van Jaffe-Witten:

In de jaren vijftig, toen de YangâMills-theorie werd ontdekt, was al bekend dat de quantumversie van de Maxwell-theorie â bekend als Quantum Electrodynamics of QED â een uiterst nauwkeurige weergave geeft van elektromagnetische velden en krachten. In feite verbeterde QED de nauwkeurigheid voor bepaalde vroegere voorspellingen van de quantumtheorie met verscheidene orden van grootte, evenals het voorspellen van nieuwe splitsingen van energieniveaus.

Dus was het natuurlijk om te vragen of de niet-abeliaanse ijkingstheorie andere krachten in de natuur beschreef, met name de zwakke kracht (verantwoordelijk onder andere voor bepaalde vormen van radioactiviteit) en de sterke of kernkracht (verantwoordelijk onder andere voor het binden van protonen en neutronen in kernen). Het massaloze karakter van de klassieke YangâMills-golven vormde een ernstige belemmering voor de toepassing van de YangâMills-theorie op de andere krachten, want de zwakke kracht en de kernkracht hebben een kort bereik en veel van de deeltjes zijn massief. Vandaar dat deze verschijnselen niet geassocieerd leken te zijn met lange-afstandsvelden die massaloze deeltjes beschrijven.

In de zestiger en zeventiger jaren van de vorige eeuw overwonnen natuurkundigen deze obstakels voor de fysische interpretatie van de niet-abeliaanse ijktheorie. In het geval van de zwakke kracht werd dit bereikt door de GlashowâSalamâWeinberg electrozwakke theorie met ijkgroep H=H = SU(2) Ã\times U(1). Door de theorie uit te breiden met een extra âHiggsveldâ, vermijdt men het massaloze karakter van de klassieke YangâMills golven. Het Higgsveld transformeert in een tweedimensionale representatie van HH; zijn niet-nul en ongeveer constante waarde in de vacuümtoestand reduceert de structuurgroep van HH tot een U(1)U(1) subgroep (diagonaal ingebed in SU(2)ÃU(1)SU(2) \times U(1). Deze theorie beschrijft zowel de elektromagnetische als de zwakke krachten, op een min of meer verenigde manier; door de reductie van de structuurgroep tot U(1)U(1) zijn de lange-afstandsvelden alleen die van het elektromagnetisme, in overeenstemming met wat we in de natuur zien.

De oplossing voor het probleem van massaloze YangâMills-velden voor de sterke wisselwerkingen is van een geheel andere aard. Die oplossing kwam niet van het toevoegen van velden aan de YangâMills-theorie, maar door het ontdekken van een opmerkelijke eigenschap van de quantum YangâMills-theorie zelf, dat wil zeggen, van de quantum-theorie waarvan de klassieke Lagrangiaan is gegeven ]. Deze eigenschap wordt âasymptotische vrijheidâ genoemd. Grofweg betekent dit dat het veld op korte afstanden quantumgedrag vertoont dat sterk lijkt op zijn klassieke gedrag; maar toch is de klassieke theorie op lange afstanden geen goede gids meer voor het quantumgedrag van het veld.

Asymptotische vrijheid maakte het, samen met andere experimentele en theoretische ontdekkingen in de jaren zestig en zeventig, mogelijk om de kernkracht te beschrijven door een niet-abeliaanse ijktheorie waarin de ijkgroep G=G = SU(3) is. De bijkomende velden beschrijven, op klassiek niveau, âquarks,â die spin 1/2 objecten zijn, enigszins analoog aan het elektron, maar transformerend in de fundamentele representatie van SU(3)SU(3). De niet-abeliaanse ijktheorie van de sterke kracht wordt Quantum Chromodynamica (QCD) genoemd.

Het gebruik van QCD om de sterke kracht te beschrijven werd gemotiveerd door een hele reeks experimentele en theoretische ontdekkingen die in de jaren zestig en zeventig werden gedaan, waarbij de symmetrieà “n en het hoge-energie gedrag van de sterke wisselwerkingen betrokken waren. Maar de klassieke niet-abeliaanse ijkingstheorie verschilt sterk van de waargenomen wereld van de sterke wisselwerkingen; wil QCD de sterke kracht met succes beschrijven, dan moet zij op kwantumniveau de volgende drie eigenschappen hebben, die elk dramatisch verschillen van het gedrag van de klassieke theorie:

(1) Zij moet een âmassakloof;â namelijk er moet een of andere constante Î>0 Delta 0 zijn zodat elke excitatie van het vacuüm energie heeft van ten minste Î>0 Delta.

(2) De theorie moet âquark opsluiting â hebben, dat wil zeggen, ook al wordt de theorie beschreven in termen van elementaire velden, zoals de quarkvelden, die niet-triviaal transformeren onder SU(3), de fysische toestanden van de deeltjes â zoals het proton, het neutron en de pion âzijn SU(3)-invariant.

(3) Er moet sprake zijn van âchirale symmetriebreking,â wat betekent dat het vacuüm potentieel invariant is (in de limiet, dat de quark-loze massa’s verdwijnen) alleen onder een bepaalde subgroep van de volledige symmetriegroep die op de quarkvelden werkt.

Het eerste punt is nodig om te verklaren waarom de kernkracht sterk maar kortstondig is; het tweede is nodig om te verklaren waarom we nooit individuele quarks zien; en het derde is nodig om de âcurrent algebraâ theorie van zachte pionen te verklaren die in de jaren zestig is ontwikkeld.

Zowel experiment â aangezien QCD talrijke successen boekt in confrontatie met experiment â als computersimulaties, uitgevoerd sinds het eind van de jaren zeventig, hebben sterke aanmoediging gegeven dat QCD wel degelijk de hierboven genoemde eigenschappen heeft. Deze eigenschappen kunnen tot op zekere hoogte worden waargenomen in theoretische berekeningen die zijn uitgevoerd in een verscheidenheid van sterk overgesimplificeerde modellen (zoals sterk gekoppelde rastertheorie). Maar ze worden theoretisch niet volledig begrepen; er bestaat geen overtuigende, al dan niet wiskundig volledige, theoretische berekening die een van de drie eigenschappen in QCD aantoont, in tegenstelling tot een sterk vereenvoudigde afknotting ervan.

Dit is het probleem van de niet-perturbatieve quantisatie van Yang-Mills theorie. Zie daar voor meer.

• D=5 Yang-Mills theorie

• massieve Yang-Mills theorie

• zelf-duale Yang-Mills theorie

• super Yang-Mills theorie

• minimale koppeling

• ’t Hooft dubbele lijn notatie

• Einstein-Yang-Mills theorie

  • Einstein-Maxwell-theorie

  • Einstein-Yang-Mills-Dirac-theorie

  • Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs theorie

• Yang-Mills-vergelijking

• standaardmodel van deeltjesfysica

  • elektromagnetisme

  • spinoren in Yang-Mills theorie

  • QED, QCD,

  • elektroweakveld

• Yang-monopool, ’t Hooft-Polyakov-monopool

• S-dualiteit, Montonen-Olive dualiteit

  • elektrisch-magnetische dualiteit

  • geometrische Langlands dualiteit

• Chern-Simons theorie

• Yang-Mills instanton

  • confinement

• asymptotische vrijheid

algemene

Yang-Mills theorie is vernoemd naar het artikel

• Chen Ning Yang, Robert Mills, Behoud van isotopische spin en isotopische meterinvariantie. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

die als eerste het principe van elektromagnetisme veralgemeende naar een niet-abalische ijkgroep. Dit werd aanvaard als formulering van QCD en zwakke wisselwerkingen (alleen) nadat spontane symmetriebreking (het Higgs-mechanisme) werd begrepen in de jaren 1960.

Moderne overzichten van de grondbeginselen

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theorie (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Mills theorie en meetkunde (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory

• Karen Uhlenbeck, aantekeningen van Laura Fredrickson, Equations of Gauge Theory, lezing aan Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, author pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Paragraaf 10.5.4 van: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Zie ook de referenties bij QCD, gauge theory, Yang-Mills monopole, Yang-Mills instanton en bij super Yang-Mills theorie.

Klassieke bespreking van YM-theorie over Riemann-oppervlakken (die nauw verwant is aan Chern-Simons theorie, zie ook bij moduliruimte van vlakke verbindingen) is in

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning samenvatting)

die wordt herzien in de lecture notes

• Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

Voor de relatie met instanton Floer homology zie ook

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

Voor het verband met Tamagawa getallen zie

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Klassieke oplossingen

Wu en Yang (1968) vonden een statische oplossing voor de bronloze SU(2)SU(2) Yang-Mills vergelijkingen. Recente referenties zijn

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

Er is een oude review,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

die enkele van de bekende oplossingen van SU(2)SU(2) ijktheorie in de Minkowski-ruimte (monopolen, vlakke golven, enz.) en in de euclidische ruimte (instantonen en hun nevenvormen) geeft. Voor algemene ijkgroepen kan men oplossingen krijgen door SU(2)SU(2)âs in te bedden.

Voor Yang-Mills instantonen is de meest algemene oplossing bekend, eerst uitgewerkt door

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

voor de klassieke groepen SU, SO , Sp, en vervolgens door

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

voor uitzonderlijke Lie-groepen. De nieuwste draai aan het Yang-Mills instanton-verhaal is de constructie van oplossingen met niet-triviale holonomie:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Er is een aardige serie lecture notes

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

over topologische oplossingen met verschillende co-dimensies (instantonen, monopolen, vortices, domeinwanden). Merk echter op dat behalve voor instantonen deze oplossingen typisch extra scalars en gebroken U(1)âs vereisen, zoals men kan vinden in super Yang-Mills theorieën.

Enig van het hier gebruikte materiaal is overgenomen uit

• TP.SE, Welke exacte oplossingen van de klassieke Yang-Mills vergelijkingen zijn bekend?

Een ander model met Yang-Mills-velden is voorgesteld door Curci en Ferrari, zie Curci-Ferrari model.

Zie ook

• DispersiveWiki, Yang-Mills-vergelijkingen