Zoals de 30-60-90 driehoek gebaseerd is op een gelijkzijdige driehoek, de 45-45-90 driehoek gebaseerd is op een vierkant, de 18-72-90 en 36-54-90 driehoeken gebaseerd zijn op de reguliere vijfhoek (zie https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), en de 22.5-67.5-90 driehoek is gebaseerd op de regelmatige achthoek (zie vorige post), dus de 15-75-90 driehoek is gebaseerd op de regelmatige dodecagon, hier weergegeven met drie stralen (rood) en een enkele diagonaal (paars). De 15-75-90 driehoek is in geel weergegeven. Een symmetrie-argument volstaat om aan te tonen dat hoek EFC de rechthoekige driehoek is in deze driehoek, en dat de grootste van zijn twee scherpe hoeken (hoek FCE) de helft is van een binnenhoek van deze dodecagon. De binnenhoek van een regelmatige decagon meet 150 graden (het bewijs hiervoor is triviaal), en dus moet hoek FCE de helft daarvan meten, ofwel 75 graden. Er blijft dus 15 graden over voor hoek CEF, via de driehoeksomstelling.
Hoe zit het echter met de zijlengtes van de 15-75-90 driehoek? Beschouw eerst de afgebeelde rode diagonalen, en laat ze elk een lengte hebben van 2. De hoeken DAF en FAE meten elk 30 graden, want 360/12 = 30, en het zijn centrale hoeken tussen aanliggende stralen. Dit maakt hoek DAE 60 graden door hoekoptelling, en driehoek DAE staat bekend als gelijkbenig, omdat de twee rode zijden stralen zijn van dezelfde regelmatige dodecagon, en dus congruent zijn. Volgens de gelijkbenige driehoekentheorie en de driehoeksomtheorie meten de hoeken ADE en AED ook elk (180-60)/2 = 60 graden, dus driehoek ADE is gelijkzijdig, waarbij de paarse zijde DE ook een lengte van twee heeft. Symmetrie volstaat om te zien dat DE wordt doorsneden door straal AC, hetgeen tot de conclusie leidt dat EF, het lange been van de 15-75-90 driehoek, lengte 1 heeft.
Segment AF is een zwaartelijn, en dus ook een hoogtelijn, van gelijkzijdige driehoek ADE, en splitst deze in twee 30-60-90 driehoeken, waarvan driehoek AEF er een is. Van de schuine zijde, AE, is al bekend dat de lengte 2 is, terwijl van het korte been, EF, al bekend is dat de lengte 1 is. Segment AF is dus het lange been van deze 30-60-90 driehoek, met een lengte van √3.
AF, lengte √3, en FC, het korte been van de 15-75-90 driehoek, vormen samen dodecagonstraal AC, reeds gesteld op lengte 2. Door lengte-aftrekking heeft FC, het korte been van de 15-75-90 driehoek, dus een lengte van 2 – √3. Een test is verstandig op dit punt, door de tangens te nemen van de 15 graden hoek FEC in de gele driehoek. Tan(15 graden) is gelijk aan 0.26794919…, wat ook de decimale benadering is voor FC/EF, ofwel (2 – √3)/1.
Alles wat overblijft om de lengteverhoudingen van de zijden van de 15-75-90 driehoek te kennen, is het bepalen van de lengte van EC, de hypotenusa, via de Stelling van Pythagoras. Het kwadraat van lengte EC moet gelijk zijn aan het kwadraat van 1 plus het kwadraat van (2 – √3), dus EC, in het kwadraat, is gelijk aan 1 + 4 – 4√3 + 3, ofwel 8 – 4√3. De schuine zijde (EC) moet dus de vierkantswortel zijn van 8 – 4√3, dat is √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
De verhouding korte been:lange been:schuine zijde in een 15-75-90 driehoek is dus (2-√3):1:2√(2-√3)).