Elke keer dat we iets nieuws creëren, gaan we van 0 naar 1. De scheppingsdaad is uniek, net als het scheppingsmoment, en het resultaat is iets fris en vreemds.
Peter Thiel, Zero to One
Een studie uit 1992, gepubliceerd in Nature, werkte met vijf maanden oude zuigelingen om hun vermogen tot begrip van optellen en aftrekken vast te stellen. Experimenteerders toonden de baby’s een voorwerp, verstopten het achter een scherm en lieten de baby’s vervolgens toekijken hoe ze een extra voorwerp achter het scherm toevoegden. Tijdens sommige proeven haalden de experimentatoren stiekem het extra voorwerp weg. Zelfs op die leeftijd wisten de baby’s dat er iets niet klopte wanneer ze zagen dat er “nul” voorwerpen aan de groep werden toegevoegd in plaats van “één” voorwerp meer.
Voor het grootste deel is dit de aangeboren intuïtie die ons door onze vroege wiskundelessen voerde. Als we geluk hadden (of pech, afhankelijk van aan wie je het vraagt), kregen we een voorproefje van de formalisering van deze intuïtie in de meetkunde op de middelbare school. Beginnend met stellingen die “axioma’s” worden genoemd – dingen waarvan we aannamen dat ze waar waren – werden we gedwongen na te denken over hoe onze intuïtie uit deze axioma’s voortkwam, en construeerden we formele, zij het elementaire, wiskundige “bewijzen” voor resultaten als de wet van cosinussen of de congruentie van twee driehoeken.
Voor het geval dat u het vergeten bent: de cosinuswet zegt dat c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), waarbij aaa, bbb, en ccc zijden van een driehoek zijn en CCC de hoek tegenover zijde ccc is. Als je voor CCC 90 graden invult, krijg je de stelling van Pythagoras.
In die eerste meetkundeles werd ons verteld wat we voor waar mochten aannemen – maar hebben we ons ooit afgevraagd waarom?
Wie bepaalde wat we precies als vanzelfsprekend mochten aannemen? Waarom deze specifieke axioma’s? Waarom konden we niet aannemen dat de cosinuswet waar was, en waarom moesten we dat bewijzen?
Mathematici hebben lang en diep over deze vragen nagedacht, en de gemeenschap is het niet noodzakelijk eens over specifieke axioma’s waarvan we aannemen dat ze waar zijn, maar over een principe: beperk het aantal aannames tot een minimum. Dit is vergelijkbaar met een beroemde techniek voor het oplossen van problemen, bekend als het scheermes van Occam: “Wanneer men geconfronteerd wordt met concurrerende hypothesen om een probleem op te lossen, moet men de oplossing kiezen met de minste aannames.”
Bepaling van de Axioma’s
Het probleem om te komen tot een minimale set axioma’s waaruit alle wiskunde volgt, is moeilijker dan het lijkt. Wiskundigen hebben er jaren aan gewerkt, en de beroemdste poging was de Principia Mathematica, in 1913 gepubliceerd door de wiskundigen Alfred North Whitehead en Bertrand Russell. In 1931 bewees de logicus Kurt Gödel echter dat een dergelijk systeem onmogelijk was – kort gezegd, elke keuze van axioma’s zou ofwel onvolledig zijn, en niet in staat om de hele wiskunde te bewijzen; ofwel inconsistent, en zou kunnen worden gebruikt om tegenstrijdigheden te bewijzen.
Niettemin moet de wiskunde ergens beginnen, en dus hebben wiskundigen specifieke axioma’s gedefinieerd voor de specialisaties waarin zij werken, zoals de meetkunde (denk aan de axioma’s van Euclides). Deze gespecialiseerde axioma’s zijn wat geometristen, algebraïsten, enzovoort hebben besloten dat de minimale set van aannames is die zij nodig hebben om productief werk te doen en geldige conclusies te trekken.
Door middel van deze axioma’s kunnen we rigoureus aantonen dat 1 in feite groter is dan 0 – niet op basis van nevelige begrippen als “intuïtie,” maar op basis van een solide wiskundige basis, gebouwd op de axiomatische consensus van de wiskundige gemeenschap.
Daarin verschilt ons denkvermogen misschien wel van dat van kinderen van vijf maanden.
Tenzijde: het tegenwerken van conventies en het onderzoeken van de gevolgen van alternatieve axioma’s heeft geleid tot het ontstaan van geheel nieuwe takken van de wiskunde. Een voorbeeld is de sferische meetkunde, die de traditionele Euclidische grondslagen overboord gooit. Op een bol bijvoorbeeld kunnen de hoeken van een driehoek optellen tot meer dan 180 graden.
De axioma’s die we nodig hebben
“God heeft de natuurlijke getallen gemaakt; al het andere is het werk van de mens.”
Leopold Kronecker, Duits wiskundige
Wanneer ik zeg “minimale verzameling van aannames”, dan zijn er veel verschillende niveaus van “minimaal” waar we mee kunnen beginnen. Ons basisniveau van abstractie zou kunnen zijn dat alles waarmee we moeten werken de natuurlijke getallen zijn – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,… – zoals Kronecker lijkt te bepleiten. Als alternatief kunnen we eenvoudigweg 1>01 > 01>0 als een axioma beschouwen.
Met de eerste benadering kunnen we een paar kanten op. Zo zijn er de Peano-axioma’s, een verzameling axioma’s over de natuurlijke getallen die tot doel hebben hun gedrag volledig te beschrijven. Deze axioma’s zijn bijna als de Wetten van Newton – niet geconstrueerd, maar eerder een beschrijving van de “natuurlijke” eigenschappen van de natuurlijke getallen. In deze benadering definiëren we eenvoudigweg de rangorde van de natuurlijke getallen, zodat we concluderen dat 1>01 > 01>0 door constructie.
We definiëren de rangorde van de natuurlijke getallen als: voor natuurlijke getallen aaa en bbb, a≤ba \leq ba≤b als en slechts als a+c=ba + c = ba+c=b voor een of ander natuurlijk getal ccc.
Het is geldig, maar tot op zekere hoogte lijkt het een beetje een goedkoop schot – we definiëren in wezen ons resultaat in het bestaan.
Aan de andere kant zouden we kunnen proberen te bewijzen dat 1>01 > 01>0 in de reële getallen. Maar om vanuit de grondbeginselen in deze richting te beginnen is bijna “te dicht bij de hardware”, en om van de natuurlijke getallen (1,2,31, 2, 31,2,3, enz.) naar de reële getallen te gaan (b.v. 2,π,3,\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) is het gebruik nodig van begrippen als Cauchy-reeksen, equivalentieklassen, enz. – hulpmiddelen die een grondige achtergrond in moderne algebra vereisen (die ik helaas niet heb).
De laatste benadering, het axiomatiseren van onze conclusie dat 1>01 > 01>0 de waarheid is, zou neerkomen op het eten van een toetje voor het eten.
De benadering die ik het meest verhelderend vond – toegankelijk en toch bevredigend rigoureus – werd gepresenteerd in mijn inleidende les analyse aan de Universiteit van Michigan door professor Stephen DeBacker. We beginnen op een abstractieniveau dat gemakkelijk te begrijpen is – maar toch voldoende logisch gescheiden is van ons resultaat – zodat we nog steeds uit de eerste hand kunnen zien hoe onze basisveronderstellingen kunnen worden gebruikt om de schijnbaar eenvoudige conclusie waar we voor gaan te formaliseren. Bovendien zullen onze basisaannames dezelfde aannames zijn die gebruikt worden door specialisten op het gebied van moderne algebra en reële analyse – dus ik zou zeggen dat we gerechtvaardigd zijn om deze plaats als uitgangspunt te kiezen.
Onze “minimale aanname” is dat de reële getallen aan de onderstaande eigenschappen voldoen, waarbij aaa, bbb, en ccc willekeurige reële getallen zijn. De term die door de wiskundige gemeenschap wordt gebruikt om naar elke eigenschap te verwijzen, staat tussen haakjes naast elke eigenschap.
- a+ba + ba+b is een reëel getal (d.w.z. optellen van twee reële getallen levert een ander reëel getal op, ook wel “closure under addition” genoemd)
- a×ba maal ba×b is een reëel getal (“closure under multiplication”)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (d.w.z.d.w.z. we kunnen de volgorde van de toevoegingen omwisselen, bekend als “commutativiteit van optelling”)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (d.w.z. we kunnen in elke volgorde optellen, bekend als “associativiteit van optellen”)
- Er bestaat een reëel getal 000 zodanig dat a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 is een “additief identiteits-element”)
- Er bestaat een reëel getal xxx zodanig dat a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx is een “additief invers element”)
- a×b=b×aa keer b = b keer aa×b=b×a (“commutativiteit van vermenigvuldiging”)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a×times b) \times c = a×times (b×times c)(a×b)×c=a×(b×c) (“associativiteit van vermenigvuldiging”)
- Er bestaat een reëel getal 111 zodat a×1=aa = aa×1=a (1 is een “vermenigvuldigingsidentiteit”)
- Er bestaat een reëel getal yyy zodat a×y=1a \times y = 1a×y=1, wanneer aaa niet nul is (yyy is een “multiplicatieve inverse”)
- a×(b+c)=a×b+a×ca keer (b + c) = a keer b + a keer ca×(b+c)=a×b+a×c (“distributiviteit”)
- 1≠01 \neq 01=0
- De reele getallen zijn gescheiden in positieve en negatieve deelverzamelingen
- Het optellen en vermenigvuldigen van positieve getallen (d.w.z.e. getallen groter dan 000) samen resulteert in een positief getal
- Elk reëel getal aaa is ofwel positief (a>0a > 0a>0), negatief (a<0a < 0a<0), of nul zelf (a=0a = 0a=0)
Voorlopig kunnen we een paar waarden invullen voor aaa, bbb, en ccc om een intuïtie te krijgen voor waarom elk van deze eigenschappen geldt. Nogmaals, er zijn manieren om te bewijzen dat de reële getallen aan alle bovenstaande eigenschappen voldoen met behulp van de hulpmiddelen van de moderne algebra, maar zonder die achtergrond is wat we hierboven hebben een zeer toegankelijk uitgangspunt.
Ook zullen we niet alle bovenstaande eigenschappen hoeven te gebruiken in ons bewijs, maar ik heb ze hier allemaal opgesomd omdat een (mogelijk oneindige) verzameling getallen die aan de eerste twaalf eigenschappen voldoet een speciale naam heeft onder wiskundigen – een “veld”. Als die verzameling getallen ook aan de laatste drie eigenschappen voldoet, heet ze een “geordend veld”. In wezen is onze aanname dat de reële getallen een geordend veld vormen.
Het bewijs
Om te beginnen met ons bewijs, gaan we uit van ons axioma – dat de reële getallen een geordend veld vormen, en bijgevolg voldoen aan de vijftien eigenschappen hierboven.
Om te beginnen, door eigenschappen (5) en (9) hierboven, weten we dat de reële getallen 000 en 111 bestaan. Door eigenschap (15) weten we dat 111 ofwel positief, negatief, ofwel nul is. Door eigenschap (12) weten we dat 1≠01 \neq 01=0. Dan blijven er twee mogelijkheden over: ofwel 111 is positief, en 1>01 > 01>0; ofwel 111 is negatief, en 1<01 < 01<0.
We gaan nu verder met een techniek die bekend staat als “bewijs door middel van tegenspraak”. In wezen nemen we aan dat iets waarvan we willen aantonen dat het onwaar is, waar is, en gebruiken we de veronderstelde waarheid om iets te bewijzen waarvan we zeker weten dat het onwaar is. De logische consequentie van dit soort manoeuvres is dat het onmogelijk moet zijn voor datgene wat wij voor waar hebben aangenomen om inderdaad waar te zijn, omdat het tot een onmogelijkheid heeft geleid. Daarom moet het onwaar zijn.
Als we een paar mogelijkheden hebben om uit te kiezen, waarvan er een waar moet zijn, is deze tactiek een goede manier om de onmogelijke keuzes te elimineren en de reikwijdte te beperken van wat de werkelijke mogelijkheid is.
Als bewijzen door middel van tegenspraak ingewikkeld klinkt, is het dat ook – maar het is ook een essentieel wiskundig hulpmiddel. Soms maakt de complexiteit om iets direct te bewijzen – zonder tegenspraak – het probleem zo moeilijk dat het eigenlijk gemakkelijker kan zijn om aan te tonen dat de alternatieve mogelijkheden gewoon niet waar kunnen zijn.
Laten we aannemen dat 1<01 < 01<0 – dat 111 negatief is – en laten we zien dat dit tot een onmogelijkheid leidt. Een mogelijke onmogelijkheid die we zouden kunnen aantonen is dat deze aanname impliceert dat 1≥01 \ 01≥0, want door eigenschap (15) kan 111 niet tegelijkertijd kleiner dan nul en groter dan of gelijk aan nul zijn.
Door eigenschap (6) bestaat er een reëel getal xxx zodanig dat 1+x=01 + x = 01+x=0.
We kunnen xxx aan beide kanten optellen om 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x te krijgen.
Omdat eigenschap (5) ons vertelt dat 0+x=x0 + x = x0+x=x, kunnen we de ongelijkheid vereenvoudigen tot 0<x0 < x0<x.
We kunnen echter nog niet zeggen dat xxx -1-1-1 moet zijn – eigenschap (6) zegt alleen dat er een reëel getal xxx bestaat. Dat moeten we nog bewijzen.
Een lemma is een tussenwaarheid die we kunnen gebruiken om een bewijs van een groter resultaat te leveren. Of iets een stelling of een lemma wordt genoemd, is niet noodzakelijkerwijs duidelijk gedefinieerd, maar in het algemeen “helpen” lemma’s ons om te bewijzen wat we eigenlijk willen.
Lemma: Additieve inverse elementen zijn uniek
In ons geval, om te bewijzen dat de xxx in eigenschap (6) uniek is – meer bepaald, dat er slechts één reëel getal xxx bestaat zodanig dat 1+x=01 + x = 01+x=0 (en bijgevolg dat reëel getal xxx -1-1-1 moet zijn), kunnen we opnieuw te werk gaan via tegenspraak.
Vergonderstel dat er nog een reëel getal zzz bestaat, waarbij z≠xz \neq xz=x, zo dat 1+z=01 + z = 01+z=0. Beschouw nu de uitdrukking x+1+zx + 1 + zx+1+z. Daar gelijkheid reflexief is – dat is, a=aa = aa=a voor alle aaa – weten we dat x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Door eigenschap (4), associativiteit van optelling, kunnen we de termen groeperen als (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Door eigenschap (3), commutativiteit van optelling, kunnen we de eerste hoeveelheid herschikken om (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z) te krijgen.
Omdat 1+x1 + x1+x en 1+z1 + z1+z beide gelijk zijn aan nul, hebben we 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, en door eigenschap (5), het additieve identiteitselement, z=xz = xz=x. We hebben echter aangenomen dat z≠xz \neq xz=x, dus we hebben een tegenspraak!
Dus kan er maar één reeel getal xxx bestaan zo dat 1+x=01 + x = 01+x=0. Als we elk geval van 111 in de regels hierboven vervangen door een willekeurig reeel getal aaa, dan toont dit lemma aan dat voor elk reeel getal aaa er een unieke xxx bestaat zo dat a+x=0a + x = 0a+x=0. Omdat deze xxx uniek is, kunnen we deze xxx gerust een unieke naam geven, -a-a-a, wat resulteert in het bekende begrip negatieven, waarbij a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. In ons specifieke geval toont dit aan dat xxx gelijk moet zijn aan -1-1-1.
Lemma: Negatieve tekens “Cancel”
Als we de resultaten van het bovenstaande lemma toepassen, wordt onze ongelijkheid van voorheen, 0<x0 < x0<x, 0<-10 < -10<-1.
Op grond van eigenschap (14) is het product van positieve getallen positief, dus 0<(-1)(-1)0 <(-1)(-1)0<(-1)(-1). We kunnen echter nog niet zeggen dat “twee negatieven elkaar opheffen” – geen van de axioma’s impliceert dat! We moeten bewijzen dat (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). We hebben nog een lemma nodig.
In het algemene geval moeten we voor elk reëel getal aaa aantonen dat (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. Eigenschap (6) – de aanname dat elk element een additieve inverse heeft – gaat over negatieve tekens, en zou een interessante manier kunnen zijn om dit aan te tonen.
Als je het gevoel hebt dat je de dingen onder de knie krijgt, voel je dan vrij om hier te stoppen en te proberen de axioma’s te gebruiken om zelf enkele tussenresultaten te bewijzen. Als u vastloopt, kunt u altijd naar beneden scrollen!
Omdat additieve inversen uniek zijn, weten we dat er een uniek reëel getal -a2-a^2-a2 is zodat a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Op grond van eigenschap (3), de commutativiteit van optelling, hebben we -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Het vorige lemma vertelde ons dat als -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, dan is xxx uniek, dus als we een uitdrukking hebben van de vorm -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, dan moeten we hebben x=a2x = a^2x=a2. Dus, als we kunnen aantonen dat -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, dan weten we zeker dat (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Laten we werken met de uitdrukking -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a). We moeten -a2-a^2-a2 op de een of andere manier splitsen in zijn samenstellende termen om het te ontbinden in factoren, dus hebben we nog een lemma nodig – om te bewijzen dat -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Product van negatief en positief is negatief
Voor dit lemma volgen we een soortgelijke aanpak als hierboven, waarbij we de uniciteit van additieve inverses gebruiken om aan te tonen dat een product gelijk moet zijn aan een ander product. Aangezien -a2-a^2-a2 de unieke additieve inverse is van a2a^2a2, als we laten zien dat a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, dan is (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Noteer dat a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), dus door eigenschap (7), de commutativiteit van de vermenigvuldiging, hebben we a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Door eigenschap (11) kunnen we a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) ontbinden in a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Op grond van eigenschap (6) is a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, dus hebben we a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
We zouden klaar zijn als a0=0a0 = 0a0=0, maar dat hebben we nog niet bewezen!
Lemma: Product met 0 is 0
Op grond van eigenschap (5) is 0+0=00 + 0 = 00+0=0. We kunnen dus schrijven a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Door eigenschap (11) distribueert dit naar a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Op grond van eigenschap (6) bestaat er een unieke additieve inverse -a0-a0-a0 van a0a0a0, dus die kunnen we bij beide kanten van onze vergelijking optellen om a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0+(-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0) te krijgen.
Simplificerend krijgen we 0=a00 = a00=a0.
Het geheel samenvoegen
Daaruit kunnen we concluderen dat a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, dus (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Wanneer we dat in het vorige lemma brengen, hebben we -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Door eigenschap (11) kunnen we deze uitdrukking ontbinden in -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Door eigenschap (6), het samenvoegen van de additieve inversen, hebben we -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, dus -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Dus, (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) is de unieke additieve inverse van -a2-a^2-a2, en dus (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Om helemaal naar boven te gaan, zijn we vertrokken bij 0<(-1)(-1)0 <(-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1). Dit laatste lemma vertelt ons dat (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Door eigenschap (9), het vermenigvuldigend identiteitselement, (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. We hebben dus 0<10 < 10<1, dus 1>01 > 01>0.
Dit is een tegenspraak, want we namen aan dat 1<01 < 01<0! Door eigenschap (15) is elk reeel getal ofwel positief, negatief, ofwel nul – geen enkel getal kan tegelijkertijd positief en negatief zijn! We hebben dus een onmogelijkheid, en onze oorspronkelijke veronderstelling – 1<01 < 01<0 – kan niet opgaan. We kunnen die mogelijkheid elimineren, zodat er slechts één geval overblijft: 1>01 > 01>0. Omdat we weten dat elk reëel getal in een van de drie gevallen moet vallen, en we er twee hebben geëlimineerd, moeten we 1>01 > 01>0 hebben.
Zoals Peter Thiel het zo mooi zei, hoe fris en vreemd.