De techniek van gefilterde terugprojectie is een van de meest beproefde algoritmische technieken voor dit probleem. Zij is conceptueel eenvoudig, afstembaar en deterministisch. Dit is echter niet de enige beschikbare techniek: de oorspronkelijke EMI-scanner loste het tomografische reconstructieprobleem op door middel van lineaire algebra, maar deze aanpak werd beperkt door zijn hoge computationele complexiteit, vooral gezien de toen beschikbare computertechnologie. Meer recentelijk hebben fabrikanten iteratieve fysische model-gebaseerde maximum likelihood expectation maximization-technieken ontwikkeld. Deze technieken zijn voordelig omdat zij gebruik maken van een intern model van de fysische eigenschappen van de scanner en van de fysische wetten van röntgeninteracties. Eerdere methoden, zoals gefilterde achterwaartse projectie, gaan uit van een perfecte scanner en sterk vereenvoudigde fysica, hetgeen leidt tot een aantal artefacten, veel ruis en een verminderde beeldresolutie. Iteratieve technieken leveren beelden op met een betere resolutie, minder ruis en minder artefacten, en bieden tevens de mogelijkheid om de stralingsdosis in bepaalde omstandigheden sterk te verlagen. Het nadeel is een zeer hoge rekenbehoefte, maar de vooruitgang in de computertechnologie en high-performance computertechnieken, zoals het gebruik van zeer parallelle GPU-algoritmen of het gebruik van gespecialiseerde hardware zoals FPGA’s of ASIC’s, maken nu praktisch gebruik mogelijk.
BasisprincipeEdit
In dit gedeelte wordt het basisprincipe van tomografie uitgelegd in het geval dat in het bijzonder gebruik wordt gemaakt van tomografie met gebruikmaking van het optisch systeem met parallelle bestraling.
Tomografie is een technologie die gebruik maakt van een tomografisch optisch systeem om virtuele ‘plakjes’ (een tomografisch beeld) van een specifieke dwarsdoorsnede van een gescand object te verkrijgen, waardoor de gebruiker in het object kan kijken zonder te snijden. Er zijn verschillende soorten tomografische optische systemen, waaronder het optisch systeem met parallelle bestraling. Het optisch systeem met parallelle bestraling is wellicht het gemakkelijkste en meest praktische voorbeeld van een tomografisch optisch systeem en daarom zal in dit artikel de uitleg van “Hoe verkrijg ik een tomografisch beeld” gebaseerd zijn op “het optisch systeem met parallelle bestraling”. De resolutie bij tomografie wordt gewoonlijk beschreven door het Crowther-criterium.
De figuur 3 is bedoeld om het wiskundige model te illustreren en om het principe van tomografie te illustreren. In fig.3 wordt de absorptiecoëfficiënt bij een dwarsdoorsnedecoördinaat (x, y) van het subject gemodelleerd als μ(x, y). Beschouwing op basis van de bovenstaande veronderstellingen kan verduidelijken de volgende punten. Daarom wordt in dit gedeelte de volgende uitleg gegeven:
- (1)Meetresultaten, d.w.z. een reeks beelden verkregen door doorvallend licht, worden uitgedrukt (gemodelleerd) als een functie p (s,θ) verkregen door de radontransformatie uit te voeren op μ(x, y), en
- (2)μ(x, y) wordt hersteld door de inverse radontransformatie uit te voeren op meetresultaten.
(1)De resultaten van meting p(s,θ) van optisch systeem met parallelle bundelbestralingEdit
Ziet het wiskundig model zo dat de absorptiecoëfficiënt van het voorwerp op elk (x,y) wordt voorgesteld door μ(x,y) en men veronderstelt dat “de transmissiestraal doordringt zonder diffractie, diffusie of reflectie hoewel zij door het voorwerp wordt geabsorbeerd en de verzwakking wordt verondersteld overeenkomstig de wet Beer-Lambert plaats te vinden.Wat we willen weten” is μ(x,y) en wat we kunnen meten volgt p(s,θ).
Wanneer de verzwakking in overeenstemming is met de wet van Beer-Lambert, is de relatie tussen I 0 {Displaystyle {I}_{0}}
en I {Displaystyle I}
is als volgt (eq.1) en daarom is de extinctie ( p l {\displaystyle p_{l}}
) langs het lichtstraalpad (l(t)) als volgt (eq.2). Hierin is de I 0 {I}_{0}}
de intensiteit van de lichtbundel vóór de transmissie I {{I}_{0}}
is de intensiteit van de lichtstraal na de transmissie. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) | l ˙ ( t ) | d t ) {Displaystyle I=I_{0}\exp \left({-int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{0int }_{-\infty }^{\infty }]\mu (l(t))\,|{\dot {l}(t)|dt}}rechts)}
(eq. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t {Displaystyle p_{l}=(I/I_{0})=-{int \mu (x,y)\,dl=-{int }_{-{infty }^{infty }^mu (l(t))\,|{\dot {l}(t)|dt}}
(eq. 2)
Hierbij wordt een richting van de lichtbron naar het scherm toe gedefinieerd als t-richting en die loodrecht op de t-richting en evenwijdig met het scherm wordt gedefinieerd als s-richting. (Beide t-s en x-y coördinatenstelsels zijn zodanig opgezet, dat zij elkaar zonder spiegelbeeldtransformatie weerspiegelen.)
Door gebruik te maken van een optisch systeem met parallelle bestraling kan men experimenteel de reeks fluoroscopische beelden verkrijgen (een eendimensionaal beeld” pθ(s) van een bepaalde doorsnede van een gescand voorwerp) voor elke θ. Hierbij staat θ voor de hoek tussen het voorwerp en de zendlichtstraal. In fig. 3 draait het X-Y vlak tegen de wijzers van de klok in om het punt van oorsprong in het vlak op zodanige wijze “dat er een onderlinge positierelatie blijft bestaan tussen de lichtbron (2) en het scherm (7) dat door het traject (5) gaat”. De rotatiehoek van dit geval is dezelfde als bovengenoemde θ.
De lichtbundel met een hoek θ,to wordt de verzameling van lays, voorgesteld door l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
van de volgende (eq. 3). l ( t ) = t + {{l}_{}(t)=t {begin{bmatrix}- cos \theta \leind{bmatrix}}+{begin{bmatrix}scos \theta \leind{bmatrix}} 3)
De pθ(s) wordt als volgt gedefinieerd (eq. 4). Dat p θ ( s ) {Displaystyle p_{theta }(s)}
gelijk is aan de lijnintegraal van μ(x,y) langs l ( t ) {\displaystyle {l}_{}(t)}
van (eq. 3) op dezelfde manier als van (eq.2). Dat betekent dat, p ( s , θ ) {Displaystyle p(s,entheta )}
van de volgende (eq. 5) een resultante is van Radontransformatie van μ(x,y). p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {p_{\theta }(s)=-{\int }_{-\infty }^{\infty }^mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta ),dt}
(eq. 4)
U kunt de volgende functie van twee variabelen definiëren (eq. 5). In dit artikel wordt de volgende p(s, θ) “de verzameling fluoroscopische beelden” genoemd.
p (s, θ)=pθ(s) (eq. 5)
(2)μ(x, y) wordt hersteld door inverse radontransformatie uit te voeren op meetresultatenEdit
“Wat we willen weten (μ(x,y))” kan worden gereconstrueerd uit “Wat we gemeten hebben ( p(s,θ))” met behulp van inverse radontransformatie .In de bovenstaande beschrijvingen is “Wat we gemeten hebben” p(s,θ) . Aan de andere kant is “Wat we willen weten” μ(x,y). Het volgende zal dus zijn “Hoe kunnen we μ(x,y) reconstrueren uit p(s,θ)”.