Modellering van een WindkesselEdit
Windkessel fysiologie blijft een relevante maar gedateerde beschrijving van belangrijk klinisch belang. De historische wiskundige definitie van systole en diastole in het model zijn uiteraard niet nieuw, maar worden hier elementair geënsceneerd tot vier graden. Het bereiken van vijf zou origineel werk zijn.
Twee-elementenEdit
Aanname is dat de verhouding tussen druk en volume constant is en dat de uitstroom uit de Windkessel evenredig is met de vloeistofdruk. De volumetrische instroom moet gelijk zijn aan de som van het volume opgeslagen in het capacitieve element en de volumetrische uitstroom door het resistieve element. Deze relatie wordt beschreven door een differentiaalvergelijking:
I ( t ) = P ( t ) R + C d P ( t ) d t {Displaystyle I(t)={P(t) \over R}+C{dP(t) \over dt}}
I(t) is de volumetrische instroom als gevolg van de pomp (hart) en wordt gemeten in volume per tijdseenheid, terwijl P(t) de druk ten opzichte van de tijd is, gemeten in kracht per oppervlakte-eenheid, C de verhouding is tussen volume en druk voor de Windkessel, en R de weerstand is die de uitstroom relateert aan de vloeistofdruk. Dit model is identiek aan de relatie tussen stroom, I(t), en elektrische potentiaal, P(t), in een elektrisch circuit equivalent van het Windkessel-model met twee elementen.
In de bloedsomloop worden de passieve elementen in het circuit verondersteld elementen in het cardiovasculaire systeem voor te stellen. De weerstand, R, vertegenwoordigt de totale perifere weerstand en de condensator, C, vertegenwoordigt de totale arteriële compliance.
Tijdens de diastole is er geen bloedinstroom omdat de aortaklep (of longklep) gesloten is, zodat de Windkessel kan worden opgelost voor P(t) omdat I(t) = 0:
P ( t ) = P ( t d ) e – ( t – t d ) ( R C ) {displaystyle P(t)=P(t_{d})e^{-(t-t_{d}) ^over (RC)}}
waarbij td het tijdstip van het begin van de diastole is en P(td) de bloeddruk aan het begin van de diastole. Dit model is slechts een ruwe benadering van de arteriële circulatie; realistischer modellen bevatten meer elementen, geven realistischer schattingen van de bloeddrukgolfvorm en worden hieronder besproken.
Drie-elementenEdit
De drie-elementen Windkessel verbetert het twee-elementen model door nog een weerstandselement op te nemen om de weerstand tegen de bloedstroom te simuleren als gevolg van de karakteristieke weerstand van de aorta (of de longslagader). De differentiaalvergelijking voor het 3-elementenmodel luidt:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + C R 1 d I ( t ) d t = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}})I(t)+CR_{1}{dI(t) \over dt}={P(t) \over R_{2}}+C{dP(t) \over dt}}
waar R1 de karakteristieke weerstand is (deze wordt geacht gelijk te zijn aan de karakteristieke impedantie), terwijl R2 de perifere weerstand voorstelt. Dit model wordt algemeen gebruikt als een aanvaardbaar model van de bloedsomloop. Het is bijvoorbeeld gebruikt om de bloeddruk en de stroming in de aorta van een kuikenembryo en de longslagader van een varken te evalueren en tevens de basis te vormen voor de bouw van fysische modellen van de bloedsomloop die realistische belastingen leveren voor experimentele studies van geïsoleerde harten.
Vier-elementenEdit
Het drie-elementen model overschat de compliance en onderschat de karakteristieke impedantie van de circulatie. Het vier-elementen model omvat een spoel, L, die eenheden van massa per lengte heeft, ( M l 4 {Displaystyle {M \over l^{4}}}
), in de proximale component van het circuit om rekening te houden met de traagheid van de bloedstroom. Dit wordt verwaarloosd in de twee- en drie-elementenmodellen. De relevante vergelijking luidt:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + ( R 1 C + L R 2 ) d I ( t ) d t + L C d 2 I ( t ) d t 2 = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {Displaystyle (1+{R_{1} {over R_{2}})I(t)+(R_{1}C+{L {over R_{2}}){dI(t) {over dt}+LC{d^{2}I(t) {over dt^{2}}={P(t) {over R_{2}}+C{dP(t) {over dt}}
