(geb. Dordrecht, 24 september 1625; ged. Den Haag, 20 augustus 1672)
wiskunde.
De Witt was de zoon van Jacob de Witt, burgermeester van Dordrecht, en Anna van de Corput. Beide families waren vooraanstaande leden van de regentenklasse die de steden en provincies van Nederland bestuurden. Hij ging in 1636 naar de Latijnse school in Dordrecht en ging in 1641 naar de Universiteit van Leiden. Daar studeerde hij rechten en in 1645 vertrok hij naar Frankrijk om in Angers zijn bul te halen. In Leiden studeerde hij privé wiskunde bij Frans van Schooten de Jonge, en kreeg van hem een uitstekende opleiding in de Cartesiaanse wiskunde. De Witt was een getalenteerd wiskundige die weinig tijd had om zich met wiskunde bezig te houden. Hij werd in 1650 raadpensionaris van Dordrecht en in 1653 raadpensionaris van Holland, waardoor hij de leider werd van de Staatspartij, en in feite de minister-president van de Nederlanden. Hij was een staatsman van ongewone bekwaamheid en karaktersterkte die de zaken van de Verenigde Provinciën leidde gedurende het twintigjarige interregnum in het stadhouderschap tijdens de minderjarigheid van Willem van Oranje. Dit was een van de meest kritieke perioden in de Nederlandse geschiedenis, met de drie Engels-Nederlandse oorlogen; de vijandigheid van de Oranje-factie culmineerde in de moord op de Witt en zijn broer Cornelis door een menigte in 1672.
De Witts belangrijkste wiskundige werk was zijn Elementa curvarum linearum, geschreven vóór 1650 en afgedrukt in Van Schooten’s tweede Latijnse editie van Descartes’ Géométrie (1659-1661). Het bestaat uit twee boeken: het eerste, een synthetische behandeling van de meetkundige theorie uit de eerste boeken van Apollonius’ Conics ; en het tweede, een van de eerste systematische ontwikkelingen van de analytische meetkunde van de rechte lijn en de kegelsnede. In het eerste boek worden de symptomae (uitgedrukt als verhoudingen) van de parabool, ellips en hyperbool afgeleid als vlakke loci, in plaats van als doorsneden van de kegel. Zijn locusdefinities van de ellips zijn ons vandaag bekend: de excentrische hoekconstructie (een punt gefixeerd ten opzichte van een roterend lijnstuk); de trammelconstructie (een gefixeerd punt op een gegeven lijnstuk bewegend op twee elkaar snijdende lijnen); en de “snaar”-constructie, gebaseerd op de twee-focus definitie. Voor de hyperbool en de parabool wordt de plaats geconstrueerd als het snijpunt van overeenkomstige leden van twee lijnenreeksen, de ene evenwijdig en de andere samenlopend. In moderne termen zijn dit interessante onbedoelde voorbeelden van de Steiner-Chasles projectieve definitie van de kegelsneden, waarbij het hoekpunt van één potlood op oneindig ligt.
De Witt wordt gecrediteerd voor de invoering van de term “directrix” voor de parabool, maar uit zijn afleiding blijkt duidelijk dat hij de term niet gebruikt voor de vaste lijn van onze focus-directrix definitie. Gegeven de vaste lijnen DB en EF die elkaar snijden in D, met B de pool en EF de directrix: voor elk punt H op EF, indien ∠HBL gelijk is aan ∠FDB, snijdt een lijn door H evenwijdig met BD BL in G, een punt op de locus. AC wordt door B getrokken met ∠DBC = ∠BDF, en snijdt HG in I, en GK wordt evenwijdig aan AC getrokken. Omdat driehoeken BDH en GKB gelijkvormig zijn, ontstaat (BI)2 =(BD) (BK) of y2 = px, een parabool met top B, abscis BK = x, en ordinaat KG = y. Als EF loodrecht op DB staat, ontstaat een rechthoekig coördinatenstelsel, maar EF is niet onze directrix.
In het eerste boek van de Elementa bevrijdde de Witt met zijn kinematische constructies niet alleen de kegels uit de kegel, maar voldeed hij ook aan de cartesiaanse criteria van construeerbaarheid. Dit boek was geschreven, zoals hij aan van Schooten meldde, om een achtergrond te geven voor de nieuwe analytische ontwikkeling van het tweede boek. Hij begon de analytische behandeling door te laten zien dat vergelijkingen van de eerste graad rechte lijnen voorstellen. Zoals in die tijd gebruikelijk was, gebruikte hij geen negatieve coördinaten en stelde hij alleen lijnstukken of stralen in het eerste kwadrant voor. Hij legde zorgvuldig de eigenlijke constructie van de lijnen uit voor willekeurige coëfficiënten
sinds ze nodig zouden zijn in zijn transformaties die algemene kwadratische vergelijkingen herleiden tot type kegelsneden. Voor elke kegelsnede begon de Witt met vereenvoudigde vergelijkingen equivalent aan zijn standaardvormen in boek I, en gebruikte dan vertalingen en rotaties om meer ingewikkelde vergelijkingen te herleiden tot de canonieke vormen. Bijvoorbeeld, in de hyperbool
laat hij
en dan
v = x + h
waarbij h de coëfficiënt is van de lineaire term in x na de eerste substitutie, wat
een standaard hyperbool geeft die de nieuwe v of z assen snijdt naargelang hh groter is dan of kleiner is dan. Hoewel de Witt zich bewust lijkt te zijn van de eigenschap van de algemene kwadratische vergelijking bij de keuze van zijn voorbeelden, vermeldt hij niet expliciet het gebruik ervan om het type kegelsnede te bepalen, behalve in het geval van de parabool. Daar stelt hij dat, als de termen van de tweede graad een volmaakt kwadraat zijn, de vergelijking een parabool voorstelt.
Het laatste hoofdstuk is een opsomming van de verschillende transfomaties die laten zien hoe de grafieken van alle vergelijkingen van de tweede graad geconstrueerd kunnen worden. Elk geval van positieve en negatieve coëfficiënten moet afzonderlijk in een tekening worden behandeld, maar de bespreking voor elke kromme is volledig algemeen, en zowel de oorspronkelijke als de getransformeerde assen worden getekend.
Naast de algebraïsche vereenvoudigingen van de krommen tot de normale vorm, bevat boek II de gebruikelijke focus-directrix eigenschap van de parabool en de analytische afleidingen van de eilips en hyperbool als de plaats van punten waarvan de som of het verschil van de afstanden tot twee vaste punten een constante is. Deze worden gedaan op de moderne manier, tweemaal kwadrateren, met het expliciete gebruik van de stelling van Pythagoras in plaats van de meer recente afstandsformule.
De Witt’s Elementa en John Wallis’ Tractatus de sectionibus conicis (1655) worden beschouwd als de eerste leerboeken in analytische meetkunde. Hoewel Wallis de kwestie van voorrang aan de orde stelde, waren hun benaderingen verschillend en volledig onafhankelijk. Wallis definieerde eerst de kegelsneden als tweedegraadsvergelijkingen en leidde daaruit de eigenschappen van de krommen af, terwijl de Witt ze meetkundig in het vlak definieerde en vervolgens aantoonde dat kwadratische vergelijkingen tot zijn normale vormen konden worden herleid.
Christiaan Huygens schreef John Wallis eens over de Witt: “Als hij al zijn krachten had kunnen sparen voor wiskundige werken, zou hij ons allen hebben overtroffen.” Zijn meetkunde was zijn enige bijdrage aan de zuivere wiskunde, maar hij heeft zijn wiskundige belangstelling gedurende zijn lange ambtstermijn als groot-pensionaris afgestemd op de financiële problemen van het gewest Holland. Het voornaamste middel om geld bijeen te brengen voor de Statres was door middel van lijfrenten of vaste lijfrenten. In 1665 slaagde de Witt erin de rentevoet te verlagen van 5 naar 4 procent en richtte hij een zinkfonds op met de door de omzetting gespaarde rente die tegen samengestelde interest werd aangewend voor de schuld van Holland, die aldus in eenenveertig jaar kon worden betaald. De tweede Engels-Nederlandse oorlog (1665-1667) deed dit plan echter mislukken. De Engelse oorlogen waren een voortdurende financiële aderlating, en meer dan de helft van de uitgaven (de kosten van de oorlog bijna alleen) werd opgeslokt door rentebetalingen.
In april 1671 werd besloten om fondsen te onderhandelen door middel van lijfrenten, waardoor de schuld tot één generatie beperkt zou blijven. De Witt stelde een verhandeling op voor de Staten van Holland waarin wiskundig werd aangetoond dat lijfrenten tegen een te hoge rente werden aangeboden in vergelijking met vaste lijfrenten. Jarenlang was de rente op lijfrenten tweemaal de standaardrente geweest. Holland had onlangs de rente verlaagd tot vijfentwintig jaar koop (4 procent) en verkocht lijfrenten voor veertien jaar koop (7 procent). De Witt wilde de prijs verhogen tot zestien jaar koop (6¼ procent). Zijn Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (juli, 1671) behoort zeker tot de eerste pogingen om de theorie van de waarschijnlijkheid toe te passen op economische problemen. Het werd geschreven als een politiek artikel, en bleef bijna tweehonderd jaar begraven in de archieven. Sinds de ontdekking en publicatie ervan door Frederick Hendriks in 1852 zijn er vele artikelen geweest (waarvan sommige in de bibliorgeschiedenis zijn opgenomen) waarin de theorie werd uitgelegd of bekritiseerd op basis van de moderne actuariële wetenschap. Het is eigenlijk een heel eenvoudige en ingenieuze dissertatie die alleen gebaseerd is op het gebruik van het principe van de mathematische verwachting om gelijke contracten te vormen.
De Witt somde de contante waarden op 4 procent van lijfrente-uitkeringen van 10.000.000 stuyvers (om decimalen te vermijden) per half jaar, en sommeerde de mathematische verwachtingen met behulp van hypothetische sterftecijfers voor verschillende leeftijden. Hij veronderstelde eerst dat een man evenveel kans had om in de eerste als in de laatste helft van een jaar te sterven, en breidde dit vervolgens uit tot elk half jaar van de “jaren van volle kracht” van drie tot drieënvijftig jaar, aangezien lijfrenten over het algemeen werden gekocht op jonge levens. Eenvoudigheidshalve beschouwde hij de eerste honderdhalf jaar als even destructief of sterfelijk, hoewel hij verklaarde dat de kans op overlijden in de eerste jaren in feite kleiner is. Zo stopte hij ook op de leeftijd van tachtig jaar, hoewel velen langer leven dan die leeftijd. In de volgende tien jaar, van drieënvijftig tot drieënzestig, is de kans om te sterven niet meer dan in de verhouding van 3 tot 2 de kans om te sterven in de eerste periode; van drieënzestig tot drieënzeventig is de kans om te sterven niet meer dan 2 tot 1; en van drieënzeventig tot tachtig, niet meer dan 3 tot 1.
De Witt geeft vele voorbeelden om het gebruik van het concept van wiskundige verwachting uit te leggen. Het volgende is fundamenteel voor zijn latere berekeningen, en is door veel commentatoren over het hoofd gezien. Beschouw een man van veertig en een man van achtenvijftig. Volgens zijn vooronderstellingen is de kans dat de oudste overlijdt even groot als de kans dat de jongste overlijdt, namelijk 3 tegen 2. Men zou een gelijkwaardig contract kunnen opstellen: als de man van achtenvijftig binnen zes maanden overlijdt, erft de jongste 2.000 florijnen, maar als de man van veertig binnen zes maanden overlijdt, erft de oudste 3.000 florijnen. Dat wil zeggen, de kans dat de man van achtenvijftig 3.000 florijnen krijgt. is als 2 tot 3, of, in termen van de lijfrenteberekeningen van De Witt, de kans dat hij in de tweede periode een bepaalde lijfrente-uitkering ontvangt is tweederde van die in de eerste periode.
Van hieruit zijn de berekeningen van De Witt eenvoudig: hij telt de contante waarden voor de eerste honderd halve jaren op; twee derde van de contante waarden voor de volgende twintig halve jaren; voor de volgende twintig, de helft van de contante waarden; en een derde voor de laatste veertien. Al deze bedragen worden bij elkaar opgeteld en het gemiddelde wordt genomen, wat iets meer dan zestien florijnen oplevert als de contante waarde van één florijn lijfrente bij een jong en gezond leven. Als de methode was toegepast op de werkelijke sterftetafels, zou het werk enorm zijn geweest. Later in 1671 correspondeerden de Witt en Jan Hudde over het probleem van overlevingsrenten op meer dan één leven, en hier gebruikten beiden werkelijke sterftecijfers uit de lijfrenteregisters van Holland. Door te werken met verschillende groepen van minstens honderd personen van een bepaalde leeftijd ontwikkelde De Witt geschikte tarieven voor lijfrenten op twee levens. Deze werden a posteriori uitgebreid tot een willekeurig aantal levens door een driehoek van Pascal, met de belofte aan Hudde om de resultaten a priori vast te stellen. Dit was het hoogtepunt van de Witt’s werk met lijfrentes, maar om politieke redenen stelde hij Hudde voor het publiek niet op de hoogte te brengen van de resultaten van hun studie, omdat zij bereid waren lijfrentes op meer dan één leven te kopen tegen de huidige koers, die gunstig was voor de overheid.
BIBLIOGRAPHY
I. Oorspronkelijke werken. Elementa curvarum linearum, in Frans van Schooten’ Latijnse ed. van Descartes’ Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Den Haag, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Zes brievenbundels in Werken van het Historisch Genootschap te Utrecht, 3e ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Deel XXXIII bevat brieven aan en van wiskundigen, waaronder de brieven aan Jan Hudde over lijfrenten op meer dan één leven.
II. Secundaire literatuur. Van de vele biografieën van de Witt is Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), onmisbaar. Nog waardevol is G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vols. (Parijs, 1884); Engelse trans., S. F. Stephenson en A. Stephenson (Londen, 1885). Voor een betrouwbare bespreking van de periode, en de betrekkingen tussen de Witt en Willem III, zie Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Londen, 1964), en zijn Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), Engelse trans., Arnold Pomerans (Londen, 1969). Voor de meetkunde zie P. van Geer, “Johan de Witt als Wiskundige,” in Nieuw Archief voor Wiskundigen, 2e ser., 11 (1915), 98-126; en C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
Een Engelse vertaling van het werk over lijfrenten is te vinden in Frederick Hendricks, “Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities,” in The Assurance Magazine (nu Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908), en 11 (1909) van het Archief voor Verzekeringe Wetenschap bevatten artikelen met wisselende kritiek op en uitleg van de Witt’ geschriften over lijfrenten.
Joy B. Easton