nLab Teoria Yang-Mills

Ideea

Teoria YangâMills este o teorie gauge pe o mulțime (pseudo-)riemanniană 4-dimensională XX al cărei câmp este câmpul YangâMills â un cociclu ââH(X,B¯U(n))\nabla \în \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) în cohomologia diferențială nonabeliană reprezentată de un pachet vectorial cu conexiune â și a cărei funcțională de acțiune este

pentru

• F âF_\nabla intensitatea câmpului, local curbura ð²(n)\mathfrak{u}(n)-forma diferențială cu valoare de algebră Lie pe XX ( cu ð²(n)\mathfrak{u}(n) algebra Lie a grupului unitar U(n)U(n));

• â\star operatorul stelar Hodge al metricii gg;

• 1g 2\frac{1}{g^2} constanta de cuplaj Yang-Mills și θ\theta unghiul theta, niște numere reale (a se vedea la S-dualitate).

(Vezi acest exemplu la O primă idee despre teoria cuantică a câmpurilor.)

Proprietăți

Clasificarea soluțiilor

• Teorema Narasimhan-Seshadri

• Teorema Donaldson-Uhlenbeck-Yau

Cuantizare

În ciuda rolului său fundamental în modelul standard al fizicii particulelor, diferite detalii ale cuantificării teoriei Yang-Mills sunt încă deschise. Vezi la cuantificarea teoriei Yang-Mills.

Aplicații

Toate câmpurile gauge din modelul standard al fizicii particulelor, precum și din modelele GUT sunt câmpuri YangâMills.

Câmpurile de materie din modelul standard sunt spinori încărcați sub câmpul Yang-Mills. Vezi

• spinori în teoria Yang-Mills

Istorie

Din Jaffe-Witten:

Până în anii 1950, când a fost descoperită teoria YangâMills, se știa deja că versiunea cuantică a teoriei Maxwell – cunoscută sub numele de Electrodinamica cuantică sau QED – oferă o descriere extrem de precisă a câmpurilor și forțelor electromagnetice. De fapt, QED a îmbunătățit acuratețea anumitor predicții anterioare ale teoriei cuantice cu câteva ordine de mărime, precum și a prezis noi diviziuni ale nivelurilor de energie.

Atunci a fost firesc să ne întrebăm dacă teoria gauge non-abeliană descrie și alte forțe din natură, în special forța slabă (responsabilă, printre altele, de anumite forme de radioactivitate) și forța puternică sau nucleară (responsabilă, printre altele, de legarea protonilor și neutronilor în nuclee). Natura fără masă a undelor clasice YangâMills a reprezentat un obstacol serios în calea aplicării teoriei YangâMills la celelalte forțe, deoarece forțele slabe și nucleare au rază scurtă de acțiune, iar multe dintre particule sunt masive. Prin urmare, aceste fenomene nu păreau a fi asociate cu câmpuri cu rază lungă de acțiune care descriu particule fără masă.

În anii 1960 și 1970, fizicienii au depășit aceste obstacole în calea interpretării fizice a teoriei gauge non-abeliene. În cazul forței slabe, acest lucru a fost realizat prin teoria electrofobică GlashowâSalamâWeinberg cu grupul gauge H=H = SU(2) Ã\times U(1). Prin elaborarea teoriei cu un „câmp Higgs” suplimentar, s-a evitat natura fără masă a undelor clasice YangâMills. Câmpul Higgs se transformă într-o reprezentare bidimensională a HH; valoarea sa diferită de zero și aproximativ constantă în starea de vid reduce grupul de structură din HH la un subgrup U(1)U(1) (încorporat pe diagonală în SU(2)ÃU(1)SU(2) \times U(1). Această teorie descrie atât forțele electromagnetice, cât și forțele slabe, într-un mod mai mult sau mai puțin unificat; datorită reducerii grupului de structură la U(1)U(1), câmpurile cu rază lungă de acțiune sunt doar cele ale electromagnetismului, în concordanță cu ceea ce observăm în natură.

Soluția la problema câmpurilor YangâMills fără masă pentru interacțiunile puternice are o natură complet diferită. Această soluție nu a venit prin adăugarea de câmpuri la teoria YangâMills, ci prin descoperirea unei proprietăți remarcabile a teoriei cuantice YangâMills însăși, adică a teoriei cuantice al cărei lagrangian clasic a fost dat ]. Această proprietate se numește „libertate asimptotică”. În linii mari, aceasta înseamnă că, la distanțe scurte, câmpul prezintă un comportament cuantic foarte asemănător cu comportamentul său clasic; totuși, la distanțe mari, teoria clasică nu mai este un bun ghid pentru comportamentul cuantic al câmpului.

Libertatea asimptotică, împreună cu alte descoperiri experimentale și teoretice făcute în anii 1960 și 1970, au făcut posibilă descrierea forței nucleare printr-o teorie gauge neabeliană în care grupul gauge este G=G = SU(3). Câmpurile suplimentare descriu, la nivel clasic, „quarcurile”, care sunt obiecte cu spin 1/2 oarecum analoge cu electronul, dar care se transformă în reprezentarea fundamentală SU(3)SU(3). Teoria gauge non-abeliană a forței puternice se numește Cromodinamică Cuantică (QCD).

Utilizarea QCD pentru a descrie forța puternică a fost motivată de o serie întreagă de descoperiri experimentale și teoretice făcute în anii 1960 și 1970, care implică simetriile și comportamentul la energii înalte al interacțiunilor puternice. Dar teoria gauge clasică non-abeliană este foarte diferită de lumea observată a interacțiunilor puternice; pentru ca QCD să descrie cu succes forța puternică, ea trebuie să aibă la nivel cuantic următoarele trei proprietăți, fiecare dintre ele fiind dramatic diferită de comportamentul teoriei clasice:

(1) Trebuie să aibă un „decalaj de masă”;â și anume trebuie să existe o anumită constantă Î>0\Delta \gt 0 astfel încât fiecare excitație a vidului să aibă o energie de cel puțin Î\Delta.

(2) Trebuie să aibă o „confinare a quarkilor”, adică, chiar dacă teoria este descrisă în termeni de câmpuri elementare, cum ar fi câmpurile de quark, care se transformă non-trivial în SU(3), stările particulelor fizice – cum ar fi protonul, neutronul și pionul – sunt invariante în SU(3).

(3) Trebuie să aibă „ruperea simetriei chirale”, ceea ce înseamnă că vidul este potențial invariant (la limită, că masele quark-bare dispar) numai sub un anumit subgrup al grupului de simetrie complet care acționează asupra câmpurilor quark.

Primul punct este necesar pentru a explica de ce forța nucleară este puternică, dar cu rază scurtă de acțiune; al doilea este necesar pentru a explica de ce nu vedem niciodată quarci individuali; iar al treilea este necesar pentru a explica teoria „algebrei curente” a pionilor moi, care a fost dezvoltată în anii 1960.

Atât experimentul – deoarece QCD are numeroase succese în confruntarea cu experimentul – cât și simulările pe calculator, efectuate de la sfârșitul anilor 1970, au încurajat puternic faptul că QCD are într-adevăr proprietățile citate mai sus. Aceste proprietăți pot fi observate, într-o oarecare măsură, în calculele teoretice efectuate într-o varietate de modele extrem de simplificate (cum ar fi teoria gauge cu rețea puternic cuplată). Dar ele nu sunt pe deplin înțelese din punct de vedere teoretic; nu există un calcul teoretic convingător, fie că este sau nu complet din punct de vedere matematic, care să demonstreze oricare dintre cele trei proprietăți în QCD, spre deosebire de o trunchiere puternic simplificată a acesteia.

Aceasta este problema cuantificării neperturbative a teoriei Yang-Mills. A se vedea acolo pentru mai multe informații.

• Teoria Yang-Mills D=5

• teoria Yang-Mills masivă

• teoria Yang-Mills autoduală

• teoria Yang-Mills autoduală

• super Yang-.Mills

• cuplaj minim

• notația cu linie dublă a lui’t Hooft

• teoria Einstein-Yang-Mills

  • Einstein-Teoria Maxwell

  • Teoria Einstein-Yang-Mills-Dirac

  • Teoria Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs

• Teoria Yang-Mills equation

• model standard al fizicii particulelor

  • electromagnetism

  • spinori în teoria Yang-Mills

  • QED, QCD,

  • câmp electrodezvoltat

• Monopolul Yang, monopolul ‘t Hooft-Polyakov

• Dualitatea S, dualitatea Montonen-Olive

  • dualitatea electrică-magnetică

  • dualitatea geometrică Langlands

• teoria Chern-Simons

• Yang-.Mills instanton

  • confinament

• libertate asimptotică

Teoria generală

Yang-Mills este numită după articolul

• Chen Ning Yang, Robert Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

care a fost primul care a generalizat principiul electromagnetismului la un grup gauge non-abalian. Aceasta a fost acceptată ca formulare a QCD și a interacțiunilor slabe (doar) după ce ruperea spontană a simetriei (mecanismul Higgs) a fost înțeleasă în anii 1960.

Revizuiri moderne ale noțiunilor de bază

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Teoria Gauge

• Karen Uhlenbeck, note de Laura Fredrickson, Equations of Gauge Theory, prelegere la Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pagini 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, autor pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Secțiunea 10.5.4 din: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Vezi, de asemenea, referințele la QCD, gauge theory, Yang-Mills monopole, Yang-Mills instanton și la super Yang-Mills theory.

Discuția clasică a teoriei YM pe suprafețe Riemann (care este strâns legată de teoria Chern-Simons, vezi și la spațiul modulelor conexiunilor plane) este în

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, nr. 1505 (17 martie 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

care este revizuită în notele de curs

• Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

Pentru relația cu omologia Floer instantanee a se vedea și

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

Pentru relația cu numerele Tamagawa vezi

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Soluții clasice

Wu și Yang (1968) au găsit o soluție statică la ecuațiile fără sursă SU(2)SU(2) Yang-Mills fără sursă. Referințele recente includ

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

Există o recenzie veche,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

care oferă unele dintre soluțiile cunoscute ale teoriei gauge SU(2)SU(2) în spațiul Minkowski (monopoli, unde plane etc.) și în spațiul euclidian (instantoni și verii lor). Pentru grupuri de gabarit generale, se pot obține soluții prin încorporarea SU(2)SU(2)âs.

Pentru instantonii Yang-Mills se cunoaște cea mai generală soluție, elaborată mai întâi de

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

pentru grupurile clasice SU, SO , Sp, și apoi de

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

pentru grupurile Lie excepționale. Cea mai recentă întorsătură a poveștii instantonilor Yang-Mills este construcția de soluții cu holonomie non-trivială:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with non-trivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Există un set frumos de note de curs

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

supra soluțiilor topologice cu diferite co-dimensiuni (instantoni, monopoli, vortexuri, pereți de domeniu). Rețineți, totuși, că, cu excepția instantonilor, aceste soluții necesită de obicei scalari suplimentari și U(1)â-uri rupte, așa cum se poate găsi în teoriile super Yang-Mills.

O parte din materialul folosit aici a fost preluat din

• TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?

Un alt model cu câmpuri Yang-Mills a fost propus de Curci și Ferrari, vezi modelul Curci-Ferrari.

Vezi și

• DispersiveWiki, Ecuațiile Yang-Mills

.