Technika filtrowanej projekcji wstecznej jest jedną z najbardziej uznanych technik algorytmicznych dla tego problemu. Jest ona koncepcyjnie prosta, przestrajalna i deterministyczna. Nie jest to jednak jedyna dostępna technika: oryginalny skaner EMI rozwiązał problem rekonstrukcji tomograficznej za pomocą algebry liniowej, ale podejście to było ograniczone przez wysoką złożoność obliczeniową, zwłaszcza biorąc pod uwagę dostępną wówczas technologię komputerową. Ostatnio, producenci opracowali iteracyjne techniki maksymalizacji oczekiwań oparte na modelu fizycznym. Techniki te są korzystne, ponieważ wykorzystują wewnętrzny model fizycznych właściwości skanera i fizycznych praw oddziaływań promieniowania rentgenowskiego. Wcześniejsze metody, takie jak filtrowana projekcja wsteczna, zakładają istnienie doskonałego skanera i wysoce uproszczonej fizyki, co prowadzi do powstawania szeregu artefaktów, wysokiego poziomu szumów i pogorszenia rozdzielczości obrazu. Techniki iteracyjne zapewniają obrazy o lepszej rozdzielczości, zmniejszonym poziomie szumów i mniejszej ilości artefaktów, a także możliwość znacznej redukcji dawki promieniowania w pewnych okolicznościach. Wadą jest bardzo wysoki wymóg obliczeniowy, ale postęp w technologii komputerowej i wysokowydajne techniki obliczeniowe, takie jak wykorzystanie wysoce równoległych algorytmów GPU lub wykorzystanie wyspecjalizowanego sprzętu, takiego jak FPGA lub ASIC, umożliwiają obecnie praktyczne zastosowanie.
Zasada podstawowaEdit
W tej sekcji zostanie wyjaśniona podstawowa zasada tomografii w przypadku, w którym szczególnie wykorzystuje się tomografię wykorzystującą system optyczny napromieniania wiązką równoległą.
Tomografia jest technologią, która wykorzystuje tomograficzny system optyczny do uzyskiwania wirtualnych „plasterków” (obraz tomograficzny) określonych przekrojów skanowanego obiektu, co pozwala użytkownikowi zobaczyć wnętrze obiektu bez konieczności cięcia. Istnieje kilka rodzajów tomograficznych systemów optycznych, w tym system optyczny naświetlania wiązką równoległą. System optyczny naświetlania wiązką równoległą może być najprostszym i najbardziej praktycznym przykładem tomograficznego systemu optycznego, dlatego w tym artykule wyjaśnienie „Jak uzyskać obraz tomograficzny” będzie oparte na „systemie optycznym naświetlania wiązką równoległą”. Rozdzielczość w tomografii jest zwykle opisywana za pomocą kryterium Crowthera.
Rys. 3 ma na celu zilustrowanie modelu matematycznego i zobrazowanie zasady działania tomografii. Na Rys.3 współczynnik pochłaniania we współrzędnej przekroju poprzecznego (x, y) obiektu jest modelowany jako μ(x, y). Rozważania oparte na powyższych założeniach mogą wyjaśnić poniższe punkty. Dlatego w tej części wyjaśnienie jest zaawansowane zgodnie z następującą kolejnością:
- (1)Wyniki pomiaru, tj. seria obrazów uzyskanych przez światło przechodzące są wyrażone (modelowane) jako funkcja p (s,θ) uzyskana przez wykonanie transformaty radonowej do μ(x, y), a
- (2)μ(x, y) jest odtworzona przez wykonanie odwrotnej transformaty radonowej do wyników pomiaru.
(1)Wyniki pomiaru p(s,θ) równoległego układu optycznego napromieniania wiązkąEdit
Rozważa się model matematyczny taki, że współczynniki absorpcji obiektu w każdym (x,y) są reprezentowane przez μ(x,y) i zakłada się, że „wiązka transmisyjna przenika bez dyfrakcji, dyfuzji lub odbicia, chociaż jest pochłaniana przez obiekt i zakłada się, że jej tłumienie zachodzi zgodnie z prawem Beera-Lamberta.W tym przypadku to, co chcemy wiedzieć” to μ(x,y), a to, co możemy zmierzyć, będzie wynikało z p(s,θ).
Gdy tłumienie jest zgodne z prawem Beer’a-Lambert’a, zachodzi zależność pomiędzy I 0 {\i0}
a I {displaystyle I}
jest jak poniżej (eq.1) i dlatego absorbancja ( p l {displaystyle p_{l}}
) wzdłuż drogi wiązki światła (l(t)) jest jak poniżej (eq.2). Tutaj I 0 {\i0} {\i0}
jest natężeniem wiązki światła przed transmisją I {displaystyle I}
jest natężeniem wiązki po transmisji. I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ( t ) | d t ) {{displaystyle I=I_{0}}exp \left({-{int \mu (x,y)\,dl}right)=I_{0}exp \left({-{int }_{-{infty }^{infty }\mu (l(t))\),|{dot {l}(t)|dt}}}}
(eq. 1) p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ ∞ μ ( l ( t ) | l ˙ ( t ) | d t {displaystyle p_{l}==-int \u(I/I_{0})=-{int \u(x,y)\,dl=-{int }_{-{infty }^{infty }\u(l(t))\,|{dot {l}}(t)|dt}.
(eq. 2)
Tutaj kierunek od źródła światła w kierunku ekranu jest definiowany jako kierunek t, a kierunek prostopadły do kierunku t i równoległy do ekranu jest definiowany jako kierunek s. (Oba układy współrzędnych t-s i x-y są ustawione w taki sposób, że są wzajemnie odbijane bez transformacji lustrzano-odbiciowej.)
Używając układu optycznego z równoległą wiązką promieniowania, można eksperymentalnie uzyskać serię obrazów fluoroskopowych (jednowymiarowych obrazów” pθ(s) określonego przekroju skanowanego obiektu) dla każdego θ. Tutaj, θ reprezentuje kąt pomiędzy obiektem a wiązką światła transmisyjnego. Na Rys.3, płaszczyzna X-Y obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół punktu początkowego na płaszczyźnie w taki sposób, „aby utrzymać wzajemną relację położenia pomiędzy źródłem światła (2) i ekranem (7) przechodzącym przez trajektorię (5).” Kąt obrotu w tym przypadku jest taki sam jak wspomniany wyżej θ.
Wiązka mająca kąt θ,to będzie zbiorem lays, reprezentowanym przez l ( t ) {przykład {l}_{}(t)}
o następującej (eq. 3). l ( t ) = t + {{displaystyle {l}_{}(t)=t{begin{bmatrix}- sin \theta \\\cos \theta \end{bmatrix}}+{begin{bmatrix}sin \cos \theta \sin \theta \sin \end{bmatrix}}.
(eq. 3)
Pθ(s) jest zdefiniowane przez następujące (eq. 4). Że p θ ( s ) {displaystyle p_{theta }(s)}
jest równe całce liniowej μ(x,y) wzdłuż l ( t ) {displaystyle {l}_{}(t)}
z (eq. 3) w taki sam sposób jak w (eq.2). Oznacza to, że, p ( s , θ ) {{displaystyle p(s,θ )}
z poniższego (eq. 5) jest wypadkową transformacji Radona dla μ(x,y). p θ ( s ) = – ∫ – ∞ ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {{displaystyle p_{theta }(s)=-{int }_{-{infty }^{infty }}}mu (s cos θ -t sin θ ,s cos θ +t cos θ )dt}
(eq. 4)
Można zdefiniować następującą funkcję dwóch zmiennych (eq. 5). W tym artykule następująca funkcja p(s, θ) jest nazywana „zbiorem obrazów fluoroskopowych”.
p (s, θ)=pθ(s) (eq. 5)
(2)μ(x, y) jest przywracany przez wykonanie odwrotnej transformaty radonowej do wyników pomiarówEdit
„To, co chcemy wiedzieć (μ(x,y))” można zrekonstruować z „Tego, co zmierzyliśmy ( p(s,θ))” za pomocą odwrotnej transformaty radonowej .W powyższych opisach „To, co zmierzyliśmy” to p(s,θ) . Z drugiej strony, „to co chcemy wiedzieć” to μ(x,y). Zatem następne pytanie będzie brzmiało „Jak zrekonstruować μ(x,y) z p(s,θ)”.