W swoim codziennym życiu najprawdopodobniej setki razy spotkałeś się z jednostronnymi obiektami – takimi jak uniwersalny symbol recyklingu, który można znaleźć na odwrocie aluminiowych puszek i plastikowych butelek.
Ten matematyczny obiekt nazywany jest paskiem Mobiusa. Fascynował on ekologów, artystów, inżynierów, matematyków i wielu innych od czasu jego odkrycia w 1858 roku przez Augusta Möbiusa, niemieckiego matematyka, który zmarł 150 lat temu, 26 września 1868 roku.
Möbius odkrył jednostronny pasek w 1858 roku, gdy pełnił funkcję katedry astronomii i mechaniki wyższej na Uniwersytecie w Lipsku. (Inny matematyk o nazwisku Listing faktycznie opisał go kilka miesięcy wcześniej, ale nie opublikował swojej pracy aż do 1861 roku). Wydaje się, że Möbius zetknął się z paskiem Möbiusa podczas pracy nad geometryczną teorią wielościanów, figur stałych złożonych z wierzchołków, krawędzi i płaskich powierzchni.
A Möbius strip can be created by taking a strip of paper, giving it an odd number of half-twisted, then taping the ends back together to form a loop. Jeśli weźmiesz ołówek i narysujesz linię wzdłuż środka paska, zobaczysz, że linia najwyraźniej biegnie wzdłuż obu stron pętli.
Koncepcja jednostronnego obiektu zainspirowała artystów takich jak holenderski grafik M.C. Escher, którego drzeworyt „Pasek Möbiusa II” przedstawia czerwone mrówki pełzające jedna za drugą wzdłuż paska Möbiusa.
Pasek Möbiusa ma więcej niż tylko jedną zaskakującą własność. Na przykład, spróbuj wziąć nożyczki i przeciąć pasek na pół wzdłuż linii, którą właśnie narysowałeś. Możesz być zdumiony, gdy odkryjesz, że nie zostały ci dwa mniejsze jednostronne paski Möbiusa, ale jedna długa dwustronna pętla. Jeśli nie masz pod ręką kartki papieru, drzeworyt Eschera „Pasek Möbiusa I” pokazuje, co się dzieje, gdy pasek Möbiusa jest przecięty wzdłuż jego linii środkowej.
Choć pasek z pewnością jest atrakcyjny wizualnie, jego największy wpływ miał miejsce w matematyce, gdzie pomógł przyspieszyć rozwój całej dziedziny zwanej topologią.
Topolog bada właściwości obiektów, które są zachowane, gdy są przesuwane, zginane, rozciągane lub skręcane, bez cięcia lub sklejania części razem. Na przykład, splątana para wkładek dousznych jest w sensie topologicznym taka sama jak nie splątana para wkładek dousznych, ponieważ zmiana jednej w drugą wymaga tylko przesuwania, zginania i skręcania. Nie cięcie lub klejenie jest wymagane do przekształcenia między nimi.
Inna para obiektów, które są topologicznie takie same są filiżanka do kawy i pączek. Ponieważ oba obiekty mają tylko jeden otwór, jeden może być zdeformowany w drugi przez zwykłe rozciąganie i zginanie.
Liczba otworów w obiekcie jest właściwością, którą można zmienić tylko poprzez cięcie lub klejenie. Ta własność – zwana „rodzajem” obiektu – pozwala nam powiedzieć, że para słuchawek i pączek są topologicznie różne, ponieważ pączek ma jedną dziurę, podczas gdy para słuchawek nie ma dziur.
Niestety, pasek Möbiusa i dwustronna pętla, jak typowa silikonowa opaska uświadamiająca, wydają się mieć jedną dziurę, więc ta własność jest niewystarczająca, aby je odróżnić – przynajmniej z punktu widzenia topologa.
Zamiast tego, właściwość, która odróżnia pasek Möbiusa od dwustronnej pętli nazywa się orientowalnością. Podobnie jak liczba otworów, orientowalność obiektu może być zmieniona tylko przez cięcie lub klejenie.
Wyobraź sobie, że piszesz notatkę na przezroczystej powierzchni, a następnie spacerujesz po tej powierzchni. Powierzchnia jest orientowalna, jeśli po powrocie ze spaceru zawsze możesz przeczytać notatkę. Na powierzchni nieorientowalnej możesz wrócić ze spaceru tylko po to, by odkryć, że słowa, które napisałeś, najwyraźniej zamieniły się w swoje lustrzane odbicie i można je czytać tylko od prawej do lewej strony. Na dwustronnej pętli, notatka zawsze będzie czytana od lewej do prawej, bez względu na to, dokąd zaprowadziła cię twoja podróż.
Ponieważ pasek Möbiusa jest nieorientowalny, podczas gdy pętla dwustronna jest orientowalna, oznacza to, że pasek Möbiusa i pętla dwustronna są topologicznie różne.
Koncepcja orientowalności ma ważne implikacje. Weźmy na przykład enancjomery. Te związki chemiczne mają takie same struktury chemiczne z wyjątkiem jednej kluczowej różnicy: Są one lustrzanymi odbiciami siebie nawzajem. Na przykład, związek chemiczny L-metamfetamina jest składnikiem inhalatorów Vicks Vapor. Jej lustrzane odbicie, D-metamfetamina, jest nielegalnym narkotykiem klasy A. Gdybyśmy żyli w nieorientowalnym świecie, te substancje chemiczne byłyby nie do odróżnienia.
Odkrycie Augusta Möbiusa otworzyło nowe sposoby badania świata przyrody. Badania topologii nadal przynoszą oszałamiające rezultaty. Na przykład w zeszłym roku topologia doprowadziła naukowców do odkrycia nowych, dziwnych stanów materii. Tegoroczny Medal Fieldsa, najwyższe wyróżnienie w matematyce, otrzymał Akshay Venkatesh, matematyk, który pomógł zintegrować topologię z innymi dziedzinami, takimi jak teoria liczb.