TECHNICAL PAPERS
Identyfikacja parametrów trzepotania dla modelu skrzydła
Carlos De Marqui JuniorI; Daniela C. RebolhoII; Eduardo M. BeloIII; Flávio D. MarquesIV
Engineering School of Sao Carlos; University of Sao Paulo; Laboratory of Aeroelasticity; Flight Dynamics and Control; Av. Trabalhador Sancarlense 400; 13566- 590 Sao Carlos, SP. Brazylia; [email protected]
[email protected]
[email protected]
[email protected]
ABSTRACT
Opracowano elastyczny system mocowania do badań trzepotania sztywnych skrzydeł w tunelu aerodynamicznym. Trzepotanie o dwóch stopniach swobody uzyskane za pomocą tego systemu eksperymentalnego może być opisane jako kombinacja trybów drgań zginających i skręcających konstrukcji. Za pomocą tego układu eksperymentalnego można testować aktywne schematy sterowania dla tłumienia trzepotania, używając klapy na krawędzi spływu jako siłownika. Przed opracowaniem schematu sterowania należy zbadać charakterystykę dynamiczną i aeroelastyczną systemu. Przeprowadzana jest eksperymentalna analiza modalna, w wyniku której wyznaczane są kształty i częstotliwości modów. Następnie przeprowadzono testy w tunelu aerodynamicznym w celu scharakteryzowania zjawiska trzepotania, określając krytyczną prędkość i częstotliwość trzepotania. Uzyskano również funkcje odpowiedzi częstotliwościowej dla zakresu prędkości poniżej prędkości krytycznej, pokazujące ewolucję trybów pitch i plunge oraz tendencję sprzężenia wraz ze wzrostem prędkości. Dane uzyskane w dziedzinie czasu podczas tych badań są wykorzystywane do oceny zdolności algorytmu Extended Eigensystem Realization Algorithm do identyfikacji parametru trzepotania ze wzrostem prędkości. Wyniki procesu identyfikacji są demonstrowane w kategoriach ewolucji częstotliwości i tłumienia modów biorących udział we flutter.
Keywords: Identification, flutter, EERA, aeroelasticity
Wprowadzenie
Zjawiska aerosprężyste są wynikiem oddziaływania obciążeń sprężystych, inercyjnych i aerodynamicznych na struktury aeronautyczne. Kiedy ciała sprężyste są wystawione na działanie strumienia powietrza, odkształcenia strukturalne wywołują dodatkowe siły aerodynamiczne, a te siły wywołują dodatkowe odkształcenia strukturalne, które ponownie wywołują większe siły aerodynamiczne. Ta interakcja może prowadzić do niestabilności aeroelastycznych, takich jak trzepotanie, na przykład patrz Försching (1979). Po II Wojnie Światowej wzrost prędkości lotu i modyfikacje konstrukcji spowodowały, że problemy aeroelastyczne stały się bardziej znaczące. Zmiany i ewolucja aeroelastyczności na przestrzeni dziejów są opisane w Ashley (1970), Collar (1959), Garrick i Reed (1981), oraz Garrick (1976).
Flutter jest jednym z najbardziej reprezentatywnych tematów aeroelastyczności. Trzepotanie jest złożonym zjawiskiem, w którym tryby strukturalne są jednocześnie sprzężone i wzbudzone przez obciążenia aerodynamiczne. W bardziej formalnym ujęciu, trzepotanie jest stanem, w którym element samolotu wykazuje samopodtrzymujące się zachowanie oscylacyjne przy prędkościach wyższych niż krytyczne (Wright, 1991). Ogólnie rzecz biorąc, trzepotanie występuje na powierzchniach nośnych poddanych dużym obciążeniom aerodynamicznym, takich jak skrzydła i ogony.
Testy trzepotania w locie (Kehoe, 1995) są bardzo ważną częścią certyfikacji samolotu. Podczas tych czasochłonnych i kosztownych testów obwiednia lotu musi być bezpiecznie rozszerzona w celu wykazania, że samolot jest wolny od trzepotania w pożądanych warunkach. Procedura składa się z trzech etapów (Cooper i Crowther, 1999):
- Statek powietrzny jest wzbudzany w pewien sposób i odpowiedzi są mierzone przy pewnej prędkości;
- Parametry trzepotania są szacowane przy użyciu metod identyfikacji systemu;
- Podejmowana jest decyzja o przejściu do następnego punktu prób w locie lub nie.
Głównym zadaniem tych prób w locie jest przewidywanie stabilności przy kolejnej prędkości próbnej z ufnością, na którą pozwala oszacowanie parametrów aeroelastycznych (etap drugi). Rozwój metod dokładnego przewidywania prędkości związanej z początkiem trzepotania na podstawie zmierzonych danych testowych, lub jakiejkolwiek innej niestabilności aeroelastycznej, jest ważnym sposobem na zwiększenie bezpieczeństwa, a nawet na zmniejszenie kosztów tych testów (Lind, 2003). W celu osiągnięcia tego celu opracowano kilka metod. Na ogół metody te są opracowywane i testowane przy użyciu danych z symulacji, ale oceny obejmujące dane z prób w locie muszą być przeprowadzone zanim dane podejście będzie mogło być wiarygodnie wykorzystane do rozszerzenia obwiedni.
Niektóre metody okazały się teoretycznie uzasadnione do przewidywania prędkości trzepotania, na przykład te dotyczące ekstrapolacji trendów tłumienia opisane przez Kehoe (1995). Inną metodą jest funkcja obwiedni opracowana przez Coopera; Emmetta i Wrighta (1993). Funkcja ta opiera się na założeniu, że funkcja odpowiedzi impulsowej zawiera informacje o ogólnej stabilności systemu. Podobnie, dyskretny czasowy model autoregresyjnej średniej ruchomej (ARMA) wykorzystuje kryterium Jury Stability i również bierze pod uwagę ogólną stabilność systemu (Torii i Matsuzaki, 2001). Inną metodą jest metoda marginesu trzepotania Zimmermana-Weissenburgera, w której zamiast śledzenia tłumienia należy zastosować kryterium stabilności Routha (Zimmerman i Weissenburger, 1964). Flutterometr jest narzędziem on-line, opartym na modelu, służącym do przewidywania marginesów trzepotania, opracowanym przez Linda i Brennera (2000). Narzędzie to wykorzystuje dane eksperymentalne i modele teoretyczne do przewidywania początku trzepotania.
Zdolność wyżej wymienionych metod do przewidywania parametrów trzepotania z prób w locie została oceniona przez Linda (2003). Próby w locie przeprowadzono na samolocie F-15 jako nośniku skrzydła do badań aerostrukturalnych (ATW). ATW nie jest kompletnym samolotem, ale jest skrzydłem realistycznym i jego obwiednia może być rozszerzona podczas prób w locie do punktu, w którym prędkość trzepotania zostanie osiągnięta. Ponieważ znana jest rzeczywista prędkość trzepotania, można ją wykorzystać do oceny przewidywanych prędkości trzepotania. Wyniki uzyskane z tych ocen wskazują na mocne i słabe strony każdej metody w różnych warunkach. Na przykład metody oparte na danych nie są w stanie dokładnie przewidzieć prędkości trzepotania przy wykorzystaniu danych z badań przy niskich prędkościach, ale zbiegają się do dobrego rozwiązania w miarę zwiększania prędkości powietrza. Jednakże flutterometr oparty na modelu jest konserwatywny przy wykorzystaniu danych z badań przy małych prędkościach, ale przewidywania pozostają konserwatywne i nie zbiegają się do prawdziwej prędkości trzepotania przy wykorzystaniu danych z badań przy dużych prędkościach. Fakty te sugerują, że bardziej efektywny program prób w locie dla rozszerzenia obwiedni mógłby być sformułowany z połączeniem różnych podejść identyfikacyjnych.
W niniejszej pracy przedstawiono podejście oparte na identyfikacji parametrów trzepotania, mianowicie częstotliwości i tłumienia, przy użyciu algorytmu Extended Eigensystem Realization Algorithm (EERA). Identyfikację tych parametrów przeprowadza się analizując dane z badań w tunelu aerodynamicznym. Badania w tunelu aerodynamicznym przeprowadzono z elastycznym systemem mocowania zaprojektowanym w celu osiągnięcia trzepotania o dwóch stopniach swobody w połączeniu ze sztywnym modelem skrzydła. Charakterystyki oderwania od wiatru oraz charakterystyki aeroelastyczne tego systemu eksperymentalnego zostały szczegółowo określone poprzez symulacje metodą elementów skończonych, eksperymentalną analizę modalną oraz badania w tunelu aerodynamicznym (De Marqui Jr et al., 2004). Dlatego ten dobrze znany system doświadczalny może być wykorzystany do przewidywania prędkości trzepotania przy użyciu metody EERA.
Metoda EERA jest zmodyfikowaną formą algorytmu Eigensystem Realization Algorithm (ERA), który jest algorytmem działającym w dziedzinie czasu, umożliwiającym jednoczesną identyfikację modów (Juang, 1994). EERA oblicza parametry modalne poprzez manipulowanie blokowymi macierzami Hankela z obu historii czasu wejścia i wyjścia (Tasker; Bosse i Fisher, 1998). Rozwój tych metod identyfikacji podprzestrzeni jest motywowany trudnościami w estymacji parametrów modalnych dla układów drgających o wielu wejściach i wielu wyjściach. W ciągu ostatnich kilku lat metody podprzestrzenne przyciągnęły uwagę w dziedzinie identyfikacji systemów, ponieważ są one zasadniczo nieiteracyjne i szybkie (Favoreel et al., 1999). W związku z tym nie pojawiają się problemy zbieżności, a ponieważ metody podprzestrzenne opierają się jedynie na stabilnych technikach algebry liniowej, są one również odporne numerycznie. Metody te osiągają znaczną filtrację danych przy użyciu dekompozycji wartości własnych lub wartości pojedynczych i są szczególnie skuteczne, gdy istnieją blisko rozmieszczone tryby. W istocie, dane są rozdzielone na ortogonalne podprzestrzenie sygnału i zerową, z których każda może być użyta do oszacowania parametrów modalnych (Tasker; Bosse i Fisher, 1998).
Nomenklatura
m = liczba wyjść
n = stopień swobody
r = liczba wzbudzeń zewnętrznych
k = chwila próby
M = liczba próbek w oknie czasowym
N = liczba próbek w oknie czasowym okno czasowe
u(k) = wektor wejściowy
x(k) = wektor stanu
y(k) = wektor odpowiedzi
Ad = macierz systemu
Bd = macierz wejściowa
Cd = macierz wyjściowa
Dd = macierz bezpośredniej transmisji
G = blokowa macierz Toeplitza macierz
I = macierz tożsamości
R = macierz lewych wektorów singularnych
S = macierz prawych wektorów singularnych
U = blokowe macierze Hankela wejść
X = macierz sekwencji stanów
Y = blokowe macierze Hankela wyjść
0 = macierz zerowa
Symbole greckie
G = rozszerzona macierz obserwowalności
å = macierz wartości osobliwych
Subskrypty
s przesunięte
2n pierwsze 2n kolumn
Superskrypty
-1 inverse
T transpose
^ orthogonal
pseudoinverse
Model fizyczny
Model fizyczny jest sztywnym prostokątnym skrzydłem o przekroju profilu NACA 0012 związanym z elastycznym systemem mocowania. Elastyczny system mocowania zapewnia dobrze zdefiniowany system dynamiczny o dwóch stopniach swobody, w którym sztywne skrzydło napotka trzepotanie. Na rys. 1 przedstawiono widok boczny i perspektywiczny systemu mocowania trzepoczącego. System montażu trzepoczącego składa się z ruchomej płyty wspartej na układzie czterech okrągłych prętów i wyśrodkowanej rozpórki z płaskiej płyty, podobnej do systemu opracowanego w Danberry et al. (1993).
Pręty i płaska płyta zapewniają ograniczenia sprężyste, a model sztywnego skrzydła zamocowany w ruchomej płycie będzie oscylował w trybie dwóch stopni swobody, tj. skoku i zanurzenia, gdy napotka trzepotanie. Pręty, płyta płaska i płyta ruchoma są wykonane ze stali, a wszystkie połączenia są połączeniami o stałym końcu. Model skrzydła i płyta ruchoma są wykonane z aluminium, a klapa krawędzi spływu jest wykonana z żywicy ABS. Ich wymiary to: pręty o średnicy 0,0055 m; ruchoma płyta 0,6 ´ 0,3 m; płaska płyta 0,7 ´ 0,1 ´ 0,002 m i model skrzydła 0,8 ´ 0,45 m. Klapa na krawędzi spływu wynosi od 37,5 % do 62.5 % rozpiętości skrzydła, a jego cięciwa stanowi 35 % cięciwy pełnej skrzydła.
Na charakterystykę wind-off systemu mocowania trzepotu duży wpływ mają wymiary rozpórki płaskiej, prętów oraz masa płyty ruchomej i modelu skrzydła. Modyfikacje w długości i przekroju poprzecznym rozpórki płaskiej i prętów modyfikują częstotliwości i kształty modów elastycznego systemu mocującego. Obciążniki mogą być dodane w celu odsprzężenia trybów nachylenia i wgłębienia poprzez przesunięcie środka ciężkości modelu elastycznego mocowania i skrzydła do osi sprężystości układu. Oś sprężystości systemu znajduje się w pionowej linii środkowej płaskiej płyty rozporowej i środka ruchomej płyty. Cztery pręty zapewniają również równoległe wychylenie i przesunięcie wgłębne względem ściany tunelu wiatrowego.
W celu zaprojektowania układu elastycznego opracowano model elementów skończonych przy użyciu programu Ansysâ. Zastosowano dwa rodzaje elementów: Beam 4 i Shell 63, odpowiednio dla prętów i płaskiej rozpórki płytowej. Przyjęto wspornikowy warunek brzegowy dla elastycznego systemu mocowania w podstawie prętów i rozpórki płaskiej. Wymiary i charakterystyki dynamiczne układu eksperymentalnego otrzymane z MES były modyfikowane do momentu dostosowania zachowania aerosprężystego tego układu do dostępnego tunelu aerodynamicznego. Zachowanie aeroelastyczne tego systemu było symulowane za pomocą modelu matematycznego opisanego w De Marqui Jr, Belo i Marques (2005).
Po zaprojektowaniu i skonstruowaniu aparatury eksperymentalnej, przeprowadzono eksperymentalną analizę modalną w celu zweryfikowania częstotliwości drgań własnych i trybów przed wykonaniem testu trzepotania w tunelu aerodynamicznym. W tym teście badane były częstotliwości poniżej 25 Hz, a powierzchnia sterująca skrzydła była zablokowana. Punkty pomiarowe umieszczono na rozpórce płaskiej, ponieważ zapewnia ona ograniczenia sprężyste dla systemu. Algorytm Eigensystem Realization Algorithm (ERA) zmodyfikowany przez Tsunaki (1999) jest stosowany do identyfikacji kształtów i częstotliwości drgań własnych na podstawie danych eksperymentalnych. Najbardziej znaczące częstotliwości drgań własnych zestawiono w Tab. 1. 1. W niniejszej analizie modalnej nie badano trybów pracy prętów i cięgien.
Tabela 1 pokazuje pierwsze tryby zginania i pierwsze tryby skręcania dobrze zdefiniowane, a także pokazuje trzeci tryb wyższy od nich. Teoretycznie, warunek ten zapewnia układ o dwóch stopniach swobody podczas badań w tunelu aerodynamicznym, wyższe tryby nie będą znacząco wzbudzone podczas badań w tunelu aerodynamicznym (Dansberry et al., 1993). Szczegóły dotyczące procedury projektowania elastycznego systemu mocowania oraz więcej wyników można znaleźć w De Marqui Jr et al. (2004).
Analiza modalna uwzględnia tylko strukturalne aspekty problemu trzepotania. Oczywiście interakcja tych charakterystyk z charakterystykami aerodynamicznymi musi być uwzględniona w analizie trzepotania. Siły i momenty aerodynamiczne, w tym przypadku siła nośna i moment skoku, będą wzbudzać tryby występujące w klasycznym trzepotaniu zginająco-skrętnym. W konsekwencji, sprężyste charakterystyki konstrukcji i wynikające z nich aerodynamiczne siły przywracające, odpowiedzialne za tłumienie aerodynamiczne, gdy nie zakłada się tarcia mechanicznego i spowodowane przez wznoszenie indukowane przez wiry nadlotniskowe, będą reagować i rozpraszać energię do strumienia powietrza. Po osiągnięciu prędkości krytycznej tłumienie aerodynamiczne zanika, ponieważ aerodynamiczne siły przywracające tracą swoje właściwości dyssypacyjne i następuje weryfikacja samopodtrzymującego się zachowania oscylacyjnego.
Układ doświadczalny, skrzydło związane z systemem mocowania, jest oprzyrządowany w dwa tensometry i trzy akcelerometry, jak widać na rys. 1. Jeden przyspieszeniomierz (Kistler KBeam 8303A10M4) umieszczony jest w osi symetrii rozpórki płaskiej płyty i mierzy przyspieszenie zanurzenia. Pozostałe dwa akcelerometry (Kistler KBeam 8304B10) są zainstalowane w płycie ruchomej. Sygnały mierzone za pomocą tych akcelerometrów są wykorzystywane do obliczania przyspieszenia nachylenia.
Tensometry są umieszczone w linii środkowej płaskiego wspornika płytowego w położeniu maksymalnego odkształcenia określonego na podstawie analiz elementów skończonych. Jeden tensometr (Kiowa KFG-5120C123) jest skalibrowany do pomiaru przemieszczeń wgłębnych, a drugi (Kiowa KFC-2D211) do pomiaru kątów nachylenia.
Bezszczotkowy silnik elektryczny (Thompson BLD2315B10200) zainstalowany w dolnej powierzchni płyty ruchomej (por. Rys. 1) służy do napędu klapy krawędzi spływu. Klapa połączona jest z silnikiem za pomocą wału. Silnik elektryczny wyposażony jest w enkoder, który służy do pomiaru aktualnego położenia kątowego klapy. Sterownik PID został dostrojony w celu zapewnienia prawidłowego sterowania położeniem klapy krawędzi spływu przez silnik.
Extended Eigensystem Realization Algorithm – EERA
Dowolny liniowy, niezmienny w czasie układ dynamiczny o n stopniach swobody może być modelowany następującymi równaniami przestrzeni stanu czasu dyskretnego:
gdzie x(k) jest 2n wymiarowym wektorem stanu w k-tej chwili próby, u(k) jest r wymiarowym wektorem wejściowym, r jest liczbą zewnętrznych wzbudzeń, y(k) jest m wymiarowym wektorem odpowiedzi, m jest liczbą wyjść lub odpowiedzi systemu, Ad jest 2n ´ 2n macierzą systemu, Bd jest 2n ´ r macierzą wejściową, Cd jest m ´ 2n macierzą wyjściową, a Dd jest m ´ r macierzą bezpośredniej transmisji.
Procedura identyfikacji z wykorzystaniem EERA polega na wyznaczeniu macierzy systemu Ad z historii czasowej wejść i wyjść. Cechy związane z trzepotaniem, mianowicie częstotliwości i tłumienie, mogą być oszacowane przy użyciu macierzy systemowej Ad. Identyfikacja macierzy systemowej Ad metodą EERA opisana jest następującą procedurą opartą na teorii przedstawionej przez Taskera; Bosse i Fischera (1998).
Blokowe macierze Hankela wejść (U) i wyjść (Y) mogą być otrzymane bezpośrednio z czasu wejść i wyjść (Overschee i De Moor, 1996)
gdzie, M i N są liczbą próbek w oknie czasowym, które będą użyte podczas procesu identyfikacji.
Można sprawdzić, że blokowa macierz Hankela wyjść jest reprezentowana w sposób opisany w Verhaegen i Dewilde (1992),
gdzie G jest rozszerzoną macierzą obserwowalności, X jest macierzą sekwencji stanu, a G jest blokową macierzą Toeplitza parametrów Markowa lub odpowiedzi impulsowej, czyli,
Z definicji, macierz ortogonalna może być zapisana jako (Van Overschee i De Moor, 1996),
Potem mnożąc równanie (3) przez prawy i lewy człon równania (5), odpowiednio, i wykorzystując to, że macierz ortogonalna jest macierzą ortogonalną. (5), odpowiednio, i korzystając z definicji ortogonalności, można otrzymać następujące wyrażenie,
Zastosowując rozkład wartości osobliwych do:
gdzie R (mM ´ mM) jest macierzą lewych wektorów osobliwych, są odpowiadającymi im macierzami wartości osobliwych, a S (N ´ N) jest macierzą prawych wektorów osobliwych. Kolumny tych macierzy są ortonormalne.
Pseudoinwersję można uzyskać z równania (7) podając(7) dając:
czasem,
W tym momencie można wprowadzić przesuniętą postać blokowej macierzy Hankela wyjścia, czyli odpowiedzi, jako:
Wymiary tej nowej macierzy są związane z długością wektora historii czasu wyjścia (liczba próbek w oknie czasowym), który będzie używany podczas procesu identyfikacji. Jednakże okno to musi być przesunięte o jeden lub więcej kroków w czasie.
W sposób podobny do równania Eq. (3), wynika, że:
gdzie Gs i Gs są przesuniętymi wersjami macierzy rozszerzonej obserwowalności i blokowej macierzy Toeplitza parametrów Markowa, odpowiednio:
Postępując w ten sam sposób, jak w przypadku równania (6), możliwe jest obliczenie parametrów Markowa. (6), można następnie otrzymać:
gdzie, wyrażenie po prawej stronie tego równania można łatwo otrzymać porównując oryginalną i przesuniętą wersję macierzy obserwowalności, czyli Gs = GAd.
Macierz YsU^ z równania (13) można wygodnie przepisać jako,
Wstawiając równania (7) i (8) do równania (14), otrzymujemy
Na tym etapie można określić kryterium wyznaczania liczby niezbędnych wartości singularnych. Liczba ta może być modyfikowana w zależności od trudności występujących w procesie identyfikacji. Liczba ta określa wymiar identyfikowanego modelu i musi być modyfikowana w trakcie procesu identyfikacji. Biorąc pod uwagę, że liczba wartości osobliwych jest określona jako 2n, macierz wartości osobliwych może być przedstawiona jako:
Macierze te mogą być wygodnie zapisane jako
gdzie, R2n zawiera pierwsze 2n kolumn R i S2n zawiera pierwsze 2n kolumn S.
Macierze R2n i S2n spełniają następującą zależność:
Wykorzystując zależności w równ. (17) do problemu rozkładu wartości pojedynczych, wynika:
i, jeśli S=S-1 (Watkins, 1991), wynika:
Rozważając, że
i podstawiając Eq. (19) i Eq. (20) do Eq. (15)
gdzie
Z równania (18) wynika, że:
Wynik (24) można porównać z równaniem (13). (13) i wtedy macierz systemu można oszacować w następujący sposób:
Macierz systemu Ad jest minimalną realizacją systemu. Wymiar tej macierzy wynosi 2n i określa ona również wymiar zidentyfikowanego systemu. Realizacja ta może być przekształcona na równania stanu we współrzędnych modalnych, a częstotliwości drgań własnych i tłumienie można uzyskać poprzez obliczenie wartości własnych. Powyższe wyrażenie różni się od wyrażenia ERA jedynie obecnością członu wejściowego. Kiedy odpowiedzi są spowodowane impulsowymi wejściami, wyrażenie jest identyczne z wyrażeniami obserwowanymi w ERA (Juang, 1994).
Eksperymentalna weryfikacja trzepotania
Płyta procesorowa dSPACE® DS 1103 jest używana do rozwoju sterowania klapą w czasie rzeczywistym oraz do akwizycji danych. Płyta ta posiada procesor Power PC 604e 400 MHz, interfejsy I/O z 16 kanałami A/D i 8 kanałami D/A oraz interfejs enkodera inkrementalnego (DSPACE®, 2001). Sygnały z akcelerometrów, mostków tensometrycznych i pozycji klapy mogą być zbierane jednocześnie. Kody obliczeniowe do akwizycji danych i przetwarzania sygnałów są opracowane w Matlab/Simulink®. Kod Simulink® jest kompilowany w Matlab® przy użyciu kompilatora Real-Time Workshop® , w wyniku czego powstaje kod C. Ten kod C jest pobierany na płytkę dSPACE® w celu wykonania przetwarzania sygnału i sterowania wejściami/wyjściami.
Rysunek 2 przedstawia uproszczony schemat systemu akwizycji danych. Wzmocnienia w systemie obliczeniowym są wykorzystywane do konwersji mierzonych sygnałów na niezbędne jednostki fizyczne, mV na m/s2 lub rad/s2 dla akcelerometrów i mV na m lub rad dla tensometrów. Enkoder silnika elektrycznego używanego do napędu klapy krawędzi spływu ma 1000 linii. W związku z tym w pomiarach położenia krawędzi spływu można uzyskać rozdzielczość 0,36 stopnia. Podczas eksperymentów stosowana jest szybkość akwizycji 1000 próbek na sekundę.
W pierwszym teście eksperymentalnym przeprowadzana jest weryfikacja krytycznej prędkości trzepotania. Prędkość w tunelu aerodynamicznym jest stopniowo zwiększana, a sygnały pitch i plunge mierzone przy użyciu systemu dSPACE®. Prędkość w tunelu aerodynamicznym jest uzyskiwana z pomiarów ciśnienia wykonywanych za pomocą statycznej rurki pitota współpracującej z manometrem Betza, barometrem i czujnikiem temperatury zainstalowanym w komorze testowej. Trzepotanie obserwowane jest przy krytycznej prędkości przepływu 25 m/s, kiedy to mierzone jest zachowanie oscylacyjne. Na rysunku 3 przedstawiono odpowiednio sygnały pitch i plunge, zmierzone podczas eksperymentów.
Jedną z cech charakterystycznych zjawiska trzepotania jest sprzężenie modów biorących udział w zjawisku tj. w tym przypadku pitch i plunge. Warunek ten jest weryfikowany na rys. 4, gdzie sygnały w dziedzinie czasu przedstawione na rys. 3 są przedstawione pod względem ich zawartości częstotliwościowej.
Test ten pokazuje zachowanie układu tylko przy prędkości krytycznej. Jednak niektóre charakterystyki dynamiczne zmieniają się wraz ze wzrostem prędkości przepływu w tunelu aerodynamicznym. W celu weryfikacji tych zmian wykonywane są inne testy. Zasadniczo uzyskuje się funkcje odpowiedzi częstotliwościowej dla kilku prędkości, pokazujące ewolucję pierwszych modów zginania i skręcania wraz ze wzrostem prędkości. Sygnałem wejściowym w tych badaniach jest położenie krawędzi spływu, a sygnałem wyjściowym przyspieszenie mierzone w krawędzi spływu skrzydła.
A B&K Do uzyskania odpowiedzi częstotliwościowych zastosowano dwukanałowy cyfrowy analizator widma typu 2032. Odpowiedzi te są uzyskiwane od stanu wyłączonego w tunelu aerodynamicznym do prędkości jak najbardziej zbliżonych do krytycznej. Sygnałem wejściowym jest biały szum generowany w systemie dSPACE® i przesyłany do klapy krawędzi spływu. Sygnał ten oraz przyspieszenie są przetwarzane w analizatorze widma. Procedura ta jest powtarzana dla wszystkich pośrednich prędkości testowych.
Na Rys. 5 można zweryfikować ewolucję trybów wraz ze wzrostem prędkości w tunelu aerodynamicznym. Odpowiedź częstotliwościowa uzyskana przy prędkości zerowej przedstawia szczyty związane z pierwszymi modami zginania i skręcania, które są dobrze zdefiniowane i mają te same częstotliwości drgań własnych uzyskane podczas EMA, zgodnie z oczekiwaniami. W ostatniej odpowiedzi częstotliwościowej, zmierzonej w pobliżu prędkości krytycznej, można zweryfikować tendencję do sprzężenia pomiędzy modami zaangażowanymi w trzepotanie. Sprzężenie to ma tendencję do występowania przy częstotliwości około 1.6 Hz, potwierdzając wynik zaobserwowany na Rys. 4.
W odpowiedziach częstotliwościowych uzyskanych w prędkościach pośrednich, można zaobserwować zmiany w częstotliwościach pitch i plunge. Widać również, że szczyty trybów pitch i plunge nie są tak ostre jak szczyty odpowiedzi częstotliwościowej przy prędkości zerowej. Fakt ten może być postrzegany jako wpływ interakcji płynu i struktury na wzrost tłumienia. Tendencja ta jest oczekiwana do prędkości bliskich krytycznej, kiedy to tłumienie zanika i następuje trzepotanie.
Wyniki Identyfikacji
Rozszerzony Algorytm Urzeczywistniania Eigensystemu (EERA) jest stosowany do ilościowej oceny zmian częstotliwości i wartości tłumienia w tunelu aerodynamicznym przy wzrastającej prędkości w odniesieniu do trybów biorących udział w trzepotaniu. Poprzez sprawdzenie ewolucji tłumienia wraz ze zmianą prędkości powietrza przy użyciu EERA można przewidzieć, kiedy trzepotanie jest spodziewane. Dane wykorzystywane w procesie identyfikacji są pozyskiwane podczas badań aeroelastycznych wykonywanych w celu uzyskania funkcji odpowiedzi częstotliwościowej opisanej wcześniej w niniejszej pracy. Równolegle do badań w dziedzinie częstotliwości, sygnał wejściowy (ruch klapy krawędzi spływu) oraz sygnał mierzony przez tensometry (przemieszczenia skokowe i wgłębne) były rejestrowane w dziedzinie czasu przy użyciu systemu akwizycji dSPACE®. Rysunki 6 do 8 przedstawiają przykłady sygnałów wejściowych i wyjściowych zmierzonych podczas jednego z testów w tunelu aerodynamicznym. Na Rys. 6 przedstawiono ugięcie klapy w stopniach. Reprezentuje ono losowo wygenerowany (o równomiernym rozkładzie) sygnał do kąta wychylenia klapy, aby zadziałać jako wzbudzenie dla systemu aeroelastycznego. Odpowiedzi zarówno w płaszczyźnie pionowej jak i poziomej, w odniesieniu do ruchu klapy (patrz Rys. 6), przedstawiono odpowiednio na Rys. 7 i 8.
Proces identyfikacji przeprowadzono po akwizycji danych wejściowych i wyjściowych w dziedzinie czasu. Wymiary blokowych macierzy Hankela wejść i wyjść (M i N=2M) oraz liczba uwzględnianych wartości singularnych (2n) były modyfikowane dla każdej identyfikacji przeprowadzanej dla każdej prędkości przepływu. Różnice te można wytłumaczyć trudnościami związanymi z identyfikacją parametrów na podstawie danych uzyskanych przy wyższych prędkościach w tunelu aerodynamicznym, kiedy tryby stają się sprzężone.
Końcowe wyniki uzyskane w procesie identyfikacji można zaobserwować na Rys. 9. Pokazano ewolucję wraz z prędkością lotu częstotliwości pitch i plunge oraz współczynników tłumienia. Widać, że trzepotanie można przewidzieć przy prędkości powietrza bliskiej 25 m/s, zgodnie z wynikami eksperymentalnymi (patrz poprzedni rozdział). Dla każdego testu uzyskano częstość i współczynnik tłumienia dla ruchów pitch i plunge w postaci ich średnich wartości dla różnych parametrów identyfikacyjnych prowadzących do różnych zidentyfikowanych macierzy stanu systemu. Na Rys. 9 chmura punktów związana jest ze zmiennością identyfikowanych parametrów, a krzywe reprezentują wartości średnie częstotliwości i tłumienia. W przypadku obliczeń częstotliwościowych można zauważyć, że metoda EERA była w stanie zapewnić dobrą predykcję dla różnych parametrów identyfikacyjnych. Niemniej jednak, dla identyfikacji współczynnika tłumienia wartości dla prędkości lotu były bardziej rozproszone. Wartości tłumienia dla trybu pitch wydają się być mniej rozproszone niż dla trybu plunge. Przyczyny takiego stanu rzeczy nie zostały jeszcze ustalone i muszą być przedmiotem bieżących badań nad przewidywaniem trzepotania za pomocą EERA. Chociaż wyniki te mogą być gorsze niż te dla częstotliwości, średnie wartości tłumienia pokazują krzywe, które są zgodne z fizyką klasycznego trzepotania 2D. Podczas gdy tryb pitch (torsion) prowadzi do trzepotania, tryb plunge (bending) zmierza w kierunku nadmiernego tłumienia.
Wnioski
Doświadczalne badania aeroelastyczne w tunelu aerodynamicznym zostały wykorzystane do identyfikacji parametrów trzepotania. Badania w tunelu aerodynamicznym zostały przeprowadzone w celu scharakteryzowania trzepotania, a zjawisko można było zaobserwować w dziedzinie czasu i częstotliwości. W dziedzinie czasu wykazano samoistne oscylacyjne zachowanie trzepotania. W dziedzinie częstotliwości zaobserwowano również ewolucję modów z rosnącą prędkością w tunelu aerodynamicznym. Przy prędkości krytycznej wyraźnie widać tendencję do sprzężenia. Zmiany tłumienia skokowego i wgłębnego można było uzyskać w tych badaniach jedynie w sposób jakościowy.
W celu ilościowego określenia ewolucji trybów skokowego i wgłębnego ze wzrostem prędkości zastosowano metodę identyfikacji. Zastosowano algorytm Extended Eigensystem Realization Algorithm wykorzystujący dane wejściowe i wyjściowe uzyskane w dziedzinie czasu podczas badań przeprowadzonych w celu scharakteryzowania trzepotania. Metoda ta została zastosowana do identyfikacji parametrów trzepotania w celu zweryfikowania jej działania w odniesieniu do prędkości i ewentualnych problemów numerycznych podczas procesu. Zastosowanie EERA można uznać za właściwe, biorąc pod uwagę spójność wyników uzyskanych tą metodą identyfikacji z wynikami uzyskanymi we wcześniejszych badaniach w tunelu aerodynamicznym. Wystąpiły pewne trudności w identyfikacji wartości współczynnika tłumienia, w szczególności dla trybu pogrążania. Dalsze badania przyczyn występowania takich problemów są konieczne i są w toku.
Nawet biorąc pod uwagę, że proces identyfikacji przedstawiony w niniejszej pracy jest procesem off-line, uzyskane dotychczas wyniki wskazują, że można zbadać możliwość identyfikacji on-line parametrów trzepotania podczas badań w tunelu aerodynamicznym. Rozwój adaptacyjnego systemu sterowania uzyskany poprzez skojarzenie metody identyfikacji on-line i prawa sterowania dla tłumienia trzepotania może być osiągalny w dalszych badaniach.
Podziękowania
Autorzy z wdzięcznością przyjmują wsparcie finansowe udzielone przez CAPES i FAPESP (Sao Paulo State Foundation for Research Support Brazil) poprzez numery kontraktów 1999/04980-0 i 2000/00390-3.
Ashley, H., 1970, „Aeroelasticity”, Applied Mechanics Reviews, pp.119-129.
Collar, A.R., 1959, „Aeroelasticity Retrospect and Prospect”, The Journal of the Royal Aeronautical Society, Vol. 63, No. 577, pp.1-15, 1959.
Cooper, J.E. and Crowther, W.J., 1999, „Flutter Speed Prediction During Flight Testing Using Neural Networks”, CEAS/AIAA/ICASE/NASA Langley International Forum on Aeroelasticity and Structural Dynamics, pp. 255-264.
Cooper, J.E., Emmett, P.R. and Wright, J.R., 1993, „Envelope Function: A Tool for Analysing Flutter Data”, Journal of Aircraft, Vol. 30, No. 5, pp. 785-790.
Dansberry, B.E., Durham, M. H., Bennett, R. M., Turnock, D. L., Silva, E. A. and Rivera Jr, J. A., 1993, „Physical Properties of the Benchmark Models Program Supercritical Wing”, NASA TM-4457.
De Marqui Jr, C., Belo, E.M. and Marques, F.D., 2005, „A flutter suppression active controller”, Proc I.Mech.E Part G – Journal of Aerospace Engineering, Vol. 219.
De Marqui Jr, C., Belo, E.M., Tsunaki, R.H., Rebolho, D.C. and Marques, F.D., 2004, „Design and Tests of an Experimental Flutter Mount System”, Proceedings of the XXII IMAC, Dearborn, MI.
DS1103 PPC Controller Board, 2001, Hardware Reference, www.dspace.de.
Favoreel, W., Huffel, S.V., De Moor, B, Sima, V. and Verhaegen, M., 1999, „Comparative study between three subspace identification algorithms”, Proceedings of the European Control Conference, Karlsruhe-Germany, 31st August-3rd September, 6p.
Försching, H., 1979, „Aeroelastic Problems in Aircraft Desing”, von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture series 08: A Survey of Aeroelastic Problems.
Garrick, I.E. and Reed, W.H., 1981, „Historical Development of Aircraft Flutter”, Journal of Aircraft, Vol.18, No. 11, pp. 897-912.
Garrick, I.E., 1976, „Aeroelasticity frontiers and beyond”, 13th Von Karman Lecture, Journal of Aircraft, Vol.13, No. 9, pp. 641-657.
Juang, J.N., 1994, „Applied System Identification”, Prentice Hall PTR, New Jersey, USA.
Kehoe, M.W., 1995, „A Historical Overview of Flight Flutter Testing”, NASA TM-4720.
Ko, J., Kurdila, A.J. and Strganac, T.J., 1997, „Adaptive Feedback Linearization for the Control of a Typical Wing Section with Structural Nonlinearity”, ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Dallas, Texas.
Lind, R. i Brenner, M., 2000, „Flutterometer: An On-Line Tool to Predict Robust Flutter Margins”, Journal of Aircraft, Vol. 37, No. 6, pp. 1105-1112.
Lind, R., 2003, „Flight-Test Evaluation of Flutter Prediction Methods”, Journal of Aircraft, Vol. 40, No. 5, pp. 964-970.
Mukhopadhyay, V., 1995, „Flutter suppression control law design and testing for the active flexible wing”, Journal of Aircraft, Vol.32, No. 1, pp. 45-51.
Tasker, F., Bosse, A. and Fisher, S., 1998, „Real-time modal parameters estimation using subspace methods: Theory”. Mechanical Systems and Signal Processing, Vol.12, No. 6, pp. 797-808.
Torii, H. and Matsuzaki, Y., 2001, „Flutter Margin Evaluation for Discrete-Time Systems”, Journal of Aircraft, Vol. 38, No. 1, pp. 42-47.
Tsunaki, R. H., 1999, „Identificação Automatizada de Modelos Dinâmicos no Espaço de Estados”, Ph.D. Thesis, University of Sao Paulo.
Van Overschee, P. and De Moor, B., 1996, „Subspace identification for linear systems: theory, implementation, applications”, Kluwer Academic Publishers, Boston, United States.
Verhaegen, M. and Dewilde, P., 1992, „Subspace model identification part 1. The output-error state space model identification class of algorithms”, International Journal of Control, Vol. 56, pp. 1187-1210.
Waszak, M.R., 1998, „Modeling the benchmark active control technology wind-tunnel model for active control design applications”, NASA TP-1998-206270.
Watkins, D.S., 1991, „Fundamental of Matrix Computations”, New York, Wiley,USA.
Wright, J.R., 1991, „Introduction to Flutter of Winged Aircraft”, von Karman Institute for Fluid Dynamics, Lecture series 01: Elementary Flutter Analysis.
Zimmerman, N.H. and Weissnburger, J.T., 1964, „Prediction of Flutter Onset Speed Based on Flight Testing at Subcritical Speeds”, Journal of Aircraft, Vol. 1, No. 4, pp. 190-202.