A percentile is a location in a distribution that has a specified amount (or percentage) of the distribution „below it” (to its left). Innymi słowy, jeśli #n^”th „# percentyl jest #x#, a my losujemy liczbę losową #X# z rozkładu, to szansa, że #X# jest mniejsza niż #x# jest #n %#:
#n^”th” ” percentyl” = x” „#means#” ” P(X < x)=n%.#
Na przykład, w standardowej krzywej normalnej (z #mu = 0# i #sigma = 1#), punkt, w którym #x=0# (tj. na osi #y#) jest 50 percentylem, ponieważ 50% powierzchni krzywej wypada na lewo od #x=0#:
Standardowy rozkład normalny #Z# jest tak dobrym punktem odniesienia, że mamy tabelę wartości zaprojektowaną specjalnie do wyszukiwania percentyli dla tej krzywej. Nazywa się ona tablicą #z# i wygląda mniej więcej tak:
Jak z niej korzystać? Powiedzmy, że chcemy uzyskać 25 percentyl dla standardowego rozkładu normalnego. Znajdujemy w tabeli wartość najbliższą 0,25 (czyli 0,2514) i widzimy, że znajduje się ona w wierszu #”-„0,6# i kolumnie #0,07#. Dla tej tabeli, oznacza to, że 25 percentyl jest (w przybliżeniu) #”-„0.67#.
Ale czekaj, jak to pomoże, gdy chcemy percentyl dla dowolnego rozkładu normalnego #X#? Musimy znaleźć związek między dowolną krzywą a standardową krzywą normalną. To połączenie znajdziemy przesuwając rozkład #X# z lewej strony na prawą tak, aby był wyśrodkowany w #0#, a następnie rozciągając go tak, aby jego odchylenie standardowe wynosiło #1#. Wzór na to to:
#Z=(X-mu)/sigma#
gdzie #mu# jest średnią #X#, a #sigma# jest s.d. #X#.
Jeśli znamy poszukiwany percentyl z rozkładu #Z#, możemy rozwiązać dla #X# przez przekształcenie równania w
#X=sigma Z + mu#.
Jako przykładu użyjmy pierwszego pytania, które zadałeś, gdzie #X# ma rozkład normalny z #mu = 81.2# i #sigma = 12.4#, a my szukamy 16. percentyla.
Z powyższej tabeli wynika, że 16. percentyl z rozkładu #Z# wynosi w przybliżeniu #”-„0.99#. Równoważne położenie w naszym rozkładzie #X# wynosi więc:
#X=(12,4)(„-„0,99)+81,2#
#color(white)X=”-„12,276+81.2#
#color(white)X=68.924#
What this says is: if #X# is a normal curve with #mu=81.2 ” feet „# and #sigma = 12.4 „stopy „#, to istnieje 16% szans na to, że obserwacja z #X# będzie mniejsza niż #68.924 „stopy „#.
Zostawiam resztę jako ćwiczenie; z powyższymi wzorami, nie powinno to być takie trudne.
Mam nadzieję, że to pomoże!
.