MATEMATYKA XVIII WIEKU

Kalkulator wariacji

Większą część końca XVII wieku i sporą część początku XVIII zajęły prace uczniów Newtona i Leibniza, którzy zastosowali ich idee rachunku do rozwiązywania różnych problemów z dziedziny fizyki, astronomii i inżynierii.

Okres ten został jednak zdominowany przez jedną rodzinę, Bernoulli’ch z Bazylei w Szwajcarii, która mogła się poszczycić dwoma lub trzema pokoleniami wyjątkowych matematyków, w szczególności braćmi Jacobem i Johannem. Byli oni w dużej mierze odpowiedzialni za dalszy rozwój rachunku nieskończoności Leibniza – w szczególności poprzez uogólnienie i rozszerzenie rachunku znanego jako „rachunek wariacji” – jak również teorii prawdopodobieństwa i teorii liczb Pascala i Fermata.

Bazylea była również miastem rodzinnym największego z matematyków XVIII wieku, Leonharda Eulera, chociaż, częściowo z powodu trudności w odnalezieniu się w mieście zdominowanym przez rodzinę Bernoullich, Euler spędzał większość czasu za granicą, w Niemczech i Petersburgu w Rosji. Doskonale radził sobie we wszystkich dziedzinach matematyki, od geometrii, przez rachunek, trygonometrię, algebrę, po teorię liczb i potrafił znaleźć nieoczekiwane powiązania między różnymi dziedzinami. Udowodnił wiele twierdzeń, opracował nowe metody, ujednolicił notację matematyczną i napisał wiele wpływowych podręczników w ciągu swojego długiego życia naukowego.

W liście do Eulera w 1742 roku, niemiecki matematyk Christian Goldbach zaproponował Goldbach Conjecture, który stwierdza, że każda parzysta liczba całkowita większa niż 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych (np.np. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; itd.) lub, w innej równoważnej wersji, każda liczba całkowita większa od 5 może być wyrażona jako suma trzech liczb pierwszych. Jeszcze inną wersją jest tak zwane „słabe” domniemanie Goldbacha, że wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb nieparzystych. Pozostają one jednymi z najstarszych nierozwiązanych problemów w teorii liczb (i w całej matematyce), choć słaba postać tego przypuszczenia wydaje się być bliższa rozwiązania niż silna. Goldbach udowodnił również inne twierdzenia w teorii liczb, takie jak twierdzenie Goldbacha-Eulera o potęgach doskonałych.

Pomimo dominacji Eulera i Bernouliego w matematyce XVIII wieku, wielu innych ważnych matematyków pochodziło z Francji. Na początku wieku, Abraham de Moivre jest prawdopodobnie najbardziej znany z formuły de Moivre’a, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), która łączy liczby zespolone i trygonometrię. Ale uogólnił on również słynne twierdzenie dwumianowe Newtona na twierdzenie wielomianowe, był pionierem w rozwoju geometrii analitycznej, a jego prace nad rozkładem normalnym (podał pierwszy wzór na krzywą rozkładu normalnego) i teorią prawdopodobieństwa miały ogromne znaczenie.

Francja stała się jeszcze bardziej znacząca pod koniec wieku, a garstka francuskich matematyków z końca XVIII wieku zasługuje na wzmiankę w tym miejscu, zaczynając od „trzech L”.

Joseph Louis Lagrange współpracował z Eulerem w ważnej wspólnej pracy nad rachunkiem wariacyjnym, ale przyczynił się również do równań różniczkowych i teorii liczb, i zwykle przypisuje mu się autorstwo teorii grup, która stała się tak ważna w matematyce XIX i XX wieku. Jego imię nosi wczesne twierdzenie w teorii grup, które mówi, że liczba elementów każdej podgrupy grupy skończonej dzieli się równo na liczbę elementów pierwotnej grupy skończonej.

Twierdzenie o wartości średniej Lagrange’a

Twierdzenie o wartości średniej Lagrange’a

Lagrange’owi przypisuje się również twierdzenie o czterech kwadratach, że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np.np. 3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; itd.), jak również inne twierdzenie, myląco znane również jako Twierdzenie Lagrange’a lub Twierdzenie średniej wartości Lagrange’a, które stwierdza, że biorąc pod uwagę odcinek gładkiej krzywej ciągłej (różniczkowalnej), istnieje co najmniej jeden punkt na tym odcinku, w którym pochodna (lub nachylenie) krzywej jest równa (lub równoległa) do średniej (lub średniej) pochodnej odcinka. Traktat Lagrange’a z 1788 roku o mechanice analitycznej oferował najbardziej wszechstronne traktowanie mechaniki klasycznej od czasów Newtona i stanowił podstawę rozwoju fizyki matematycznej w XIX wieku.

Pierre-Simon Laplace, czasami nazywany „francuskim Newtonem”, był ważnym matematykiem i astronomem, którego monumentalna praca „Mechanika niebieska” przełożyła geometryczne badania mechaniki klasycznej na badania oparte na rachunku, otwierając znacznie szerszy zakres problemów. Chociaż jego wczesne prace dotyczyły głównie równań różniczkowych i różnic skończonych, już w latach siedemdziesiątych XVII wieku zaczął myśleć o matematycznych i filozoficznych koncepcjach prawdopodobieństwa i statystyki, i niezależnie od Thomasa Bayesa opracował własną wersję tzw. bayesowskiej interpretacji prawdopodobieństwa. Laplace jest dobrze znany ze swojej wiary w całkowity determinizm naukowy i utrzymywał, że powinien istnieć zestaw praw naukowych, które pozwoliłyby nam – przynajmniej w zasadzie – przewidzieć wszystko na temat wszechświata i tego, jak on działa.

Pierwsze sześć wielomianów Legendre’a

Pierwsze sześć wielomianów Legendre’a (rozwiązania równania różniczkowego Legendre’a)

Adrien-Marie Legendre wniósł również ważny wkład do statystyki, teorii liczb, algebry abstrakcyjnej i analizy matematycznej pod koniec XVIII i na początku XIX wieku, chociaż wiele z jego prac (takich jak metoda najmniejszych kwadratów do dopasowywania krzywych i regresji liniowej, prawo wzajemności kwadratów, twierdzenie o liczbach pierwszych i praca nad funkcjami eliptycznymi) zostało doprowadzonych do perfekcji – lub przynajmniej do powszechnej wiadomości – dopiero przez innych, w szczególności Gaussa. Jego „Elementy geometrii”, przeróbka książki Euklidesa, stały się wiodącym podręcznikiem geometrii na prawie 100 lat, a jego niezwykle dokładny pomiar południka ziemskiego zainspirował stworzenie i niemal powszechne przyjęcie metrycznego systemu miar i wag.

Jeszcze inny Francuz, Gaspard Monge, był wynalazcą geometrii opisowej, sprytnej metody przedstawiania obiektów trójwymiarowych za pomocą rzutów na płaszczyznę dwuwymiarową przy użyciu określonego zestawu procedur, techniki, która później stała się ważna w dziedzinie inżynierii, architektury i projektowania. Jego rzut ortograficzny stał się metodą graficzną stosowaną w niemal wszystkich nowoczesnych rysunkach mechanicznych.

Po wielu wiekach coraz dokładniejszych przybliżeń Johann Lambert, szwajcarski matematyk i wybitny astronom, w 1761 roku przedstawił wreszcie rygorystyczny dowód, że π jest irracjonalne, tzn. nie można go wyrazić jako ułamka zwykłego z użyciem samych liczb całkowitych ani jako ułamka dziesiętnego kończącego lub powtarzającego się. To definitywnie udowodniło, że nigdy nie będzie możliwe jej dokładne obliczenie, choć obsesja na punkcie uzyskiwania coraz dokładniejszych przybliżeń trwa do dziś. (Ponad sto lat później, w 1882 roku, Ferdinand von Lindemann udowodnił, że π jest również transcendentalna, tzn. nie może być pierwiastkiem żadnego równania wielomianowego o współczynnikach racjonalnych). Lambert był również pierwszym, który wprowadził funkcje hiperboliczne do trygonometrii i poczynił kilka prekursorskich przypuszczeń dotyczących przestrzeni nieeuklidesowej i własności trójkątów hiperbolicznych.

.