nLab Teoria Yang-Millsa

Idea

Teoria YangâMillsa jest teorią gauge’a na danej 4-wymiarowej (pseudo)riemannianskiej rozmaitości XX, której polem jest pole YangâMillsa â a cocycle ââH(X,B¯U(n))∙nabla ∙w ∙mathbf{H}(X,∙bar ∙mathbf{B}U(n)) w różniczkowej kohomologii nieabelowej reprezentowanej przez wiązkę wektorową z koneksją â i której funktorem działania jest

for

• F âF_nabla natężenie pola, lokalnie forma różniczkowa o wartości krzywizny ð²(n)ðmathfrak{u}(n)-Lie algebry na XX (gdzie ð²(n)ðmathfrak{u}(n) jest algebrą Lie grupy unitarnej U(n)U(n));

• âstar operator gwiazdowy Hodge’a metryki gg;

• 1g 2\frac{1}{g^2} stała sprzężenia Yang-Millsa i θtheta kąt theta, pewne liczby rzeczywiste (patrz na S-dualność).

(Zobacz ten przykład w A first idea of quantum field theory.)

Właściwości

Klasyfikacja rozwiązań

• Twierdzenie Narasimhana-Seshadriego

• Twierdzenie Donaldsona-Uhlenbecka-Yau

Kwantyzacja

Pomimo fundamentalnej roli w modelu standardowym fizyki cząstek, różne szczegóły kwantyzacji teorii Yanga-Millsa są wciąż otwarte. Zobacz kwantyzację teorii Yanga-Millsa.

Zastosowania

Wszystkie pola cechowania w modelu standardowym fizyki cząstek elementarnych, jak również w modelach GUT są polami Yanga-Millsa.

Pola materii w modelu standardowym są spinorami naładowanymi pod polem Yanga-Millsa. Zobacz

• spinory w teorii Yang-Millsa

Historia

Od Jaffe-Witten:

Do lat 50-tych, kiedy odkryto teorię YangâMillsa, było już wiadomo, że kwantowa wersja teorii Maxwella â znana jako Quantum Electrodynamics lub QED â daje niezwykle dokładny opis pól elektromagnetycznych i sił. W rzeczywistości QED poprawiła dokładność pewnych wcześniejszych przewidywań teorii kwantowej o kilka rzędów wielkości, jak również przewidziała nowe podziały poziomów energetycznych.

Więc naturalne było zapytanie, czy nieabelowa teoria gauge opisuje inne siły w przyrodzie, zwłaszcza siłę słabą (odpowiedzialną między innymi za pewne formy radioaktywności) oraz siłę silną lub jądrową (odpowiedzialną między innymi za wiązanie protonów i neutronów w jądra). Bezmasowa natura klasycznych fal YangâMillsa stanowiła poważną przeszkodę w zastosowaniu teorii YangâMillsa do innych sił, ponieważ siły słabe i jądrowe są krótkiego zasięgu, a wiele cząstek jest masywnych. Stąd zjawiska te nie wydawały się być związane z polami dalekiego zasięgu opisującymi bezmasowe cząstki.

W latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych fizycy pokonali te przeszkody w fizycznej interpretacji nieabelskiej teorii gauge. W przypadku siły słabej udało się to dzięki teorii oddziaływań elektrosłabych GlashowâSalamâWeinberga z grupą gauge H=H = SU(2) Ătimes U(1). Rozbudowując teorię o dodatkowe pole Higgsa, uniknięto bezmasowej natury klasycznych fal YangâMillsa. Pole Higgsa przekształca się w dwuwymiarową reprezentację HH; jego niezerowa i w przybliżeniu stała wartość w stanie próżni redukuje grupę strukturalną z HH do podgrupy U(1)U(1) (diagonalnie osadzonej w SU(2)ĂU(1)SU(2) ∙times U(1)). Teoria ta opisuje zarówno siły elektromagnetyczne, jak i słabe, w mniej lub bardziej zunifikowany sposób; z powodu redukcji grupy strukturalnej do U(1)U(1), pola dalekiego zasięgu są tylko polami elektromagnetyzmu, zgodnie z tym, co widzimy w przyrodzie.

Rozwiązanie problemu bezmasowych pól YangâMillsa dla oddziaływań silnych ma zupełnie inny charakter. Rozwiązanie to nie pochodzi z dodawania pól do teorii YangâMillsa, ale z odkrycia niezwykłej własności samej kwantowej teorii YangâMillsa, to znaczy teorii kwantowej, której klasyczny Lagrangian został podany ]. Własność ta nazywana jest âasymptotyczną wolnościąâ. W przybliżeniu oznacza to, że przy małych odległościach pole wykazuje zachowanie kwantowe bardzo podobne do zachowania klasycznego; jednak przy dużych odległościach teoria klasyczna nie jest już dobrym przewodnikiem do kwantowego zachowania pola.

Wolność asymptotyczna, wraz z innymi eksperymentalnymi i teoretycznymi odkryciami dokonanymi w latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych, umożliwiła opisanie siły jądrowej za pomocą nieabelowej teorii gauge’a, w której grupą gauge’a jest G=G = SU(3). Dodatkowe pola opisują, na poziomie klasycznym, âkwarki,â które są obiektami o spinie 1/2, nieco analogicznymi do elektronu, ale przekształcającymi się w fundamentalnej reprezentacji SU(3)SU(3). Nieabelska teoria gauge sił silnych nazywana jest chromodynamiką kwantową (QCD).

Zastosowanie QCD do opisu sił silnych było motywowane całą serią eksperymentalnych i teoretycznych odkryć dokonanych w latach 60-tych i 70-tych, dotyczących symetrii i wysokoenergetycznego zachowania oddziaływań silnych. Ale klasyczna nieabelowa teoria gauge bardzo różni się od obserwowanego świata oddziaływań silnych; aby QCD mogła z powodzeniem opisywać siłę silną, musi mieć na poziomie kwantowym następujące trzy własności, z których każda dramatycznie różni się od zachowania teorii klasycznej:

(1) Musi mieć âprzerwa masowa;â mianowicie musi istnieć pewna stała Î>0Delta ™t 0 taka, że każde wzbudzenie próżni ma energię co najmniej ÎDelta.

(2) Musi mieć âquark confinement â to znaczy, że chociaż teoria jest opisana w kategoriach pól elementarnych, takich jak pola kwarków, które przekształcają się nietrywialnie w ramach SU(3), stany cząstek fizycznych â takich jak proton, neutron i pion â są SU(3)-inwariantne.

(3) Musi mieć âchiralne łamanie symetrii,â co oznacza, że próżnia jest potencjalnie niezmiennicza (w granicy, że masy kwarkowe znikają) tylko pod pewną podgrupą pełnej grupy symetrii, która działa na pola kwarkowe.

Pierwszy punkt jest konieczny do wyjaśnienia, dlaczego siła jądrowa jest silna, ale krótkodystansowa; drugi jest potrzebny do wyjaśnienia, dlaczego nigdy nie widzimy pojedynczych kwarków; a trzeci jest potrzebny do wyjaśnienia teorii âcurrent algebraâ miękkich pionów, która została rozwinięta w latach 60-tych.

Zarówno eksperyment â ponieważ QCD ma liczne sukcesy w konfrontacji z eksperymentem â jak i symulacje komputerowe, prowadzone od późnych lat 70-tych, dały silną zachętę, że QCD ma własności wymienione powyżej. Własności te można do pewnego stopnia dostrzec w obliczeniach teoretycznych prowadzonych w różnych bardzo uproszczonych modelach (jak silnie sprzężona kratowa teoria gauge). Nie są one jednak w pełni zrozumiałe teoretycznie; nie istnieje przekonujące, czy matematycznie kompletne, teoretyczne obliczenie demonstrujące którąkolwiek z tych trzech własności w QCD, w przeciwieństwie do jej mocno uproszczonego okrojenia.

To jest problem nieperturbacyjnej kwantyzacji teorii Jang-Millsa. Zobacz tam po więcej.

• D=5 teoria Yanga-Millsa

• masywna teoria Yanga-Millsa

• samoistna-dualna teoria Yanga-Millsa

• super Yang-Teoria Millsa

• minimalne sprzężenie

• notacja podwójnej linii’t Hoofta

• teoria Einsteina-Yanga-Millsa

  • teoria Einsteina-Maxwella

  • Teoria Einsteina-Yanga-Millsa-Diraca

  • Teoria Einsteina-Maxwella-Yanga-Millsa-Diraca-Higgsa

• Równanie Yanga-Mills equation

• standardowy model fizyki cząstek

  • elektromagnetyzm

  • spinory w teorii Yanga-Millsa

  • QED, QCD,

  • pole elektrosłabe

• monopol Yanga, 't Hooft-Polyakov monopole

• dualność S, dualność Montonen-Olive

  • dwoistość elektryczno-magnetyczna

  • geometryczna dualność Langlandsa

• teoria Cherna-Simonsa

• Transformacja Yang-Mills instanton

  • confinement

• asymptotyczna wolność

ogólna

teoria Yanga-Millsa nosi nazwę od artykułu

• Chen Ning Yanga, Robert Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

która jako pierwsza uogólniła zasadę elektromagnetyzmu na nieabalijską grupę gauge’a. Zostało to przyjęte jako sformułowanie QCD i oddziaływań słabych (tylko) po zrozumieniu spontanicznego łamania symetrii (mechanizm Higgsa) w latach 60-tych.

Nowoczesne przeglądy podstaw

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Kwantowa teoria Yang-Millsa (pdf)

• Simon Donaldson, Teoria i geometria Yang-Millsa (2005) pdf

• JosĂ© Figueroa-O’Farrill, Teoria Gauge

• Karen Uhlenbeck, notatki Laury Fredrickson, Equations of Gauge Theory, wykład na Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, autor pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Section 10.5.4 of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Zobacz też odniesienia przy QCD, teorii gauge, monopolu Yang-Millsa, instantonie Yang-Millsa i przy teorii super Yang-Millsa.

Klasyczna dyskusja teorii YM na powierzchniach Riemanna (która jest ściśle związana z teorią Czerna-Simonsa, patrz też na przestrzeń moduli połączeń płaskich) jest w

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

który jest zrecenzowany w notatkach z wykładów

• Jonathana EvansaAspects of Yang-Mills theory, (web)

W sprawie związku z instantonową homologią Floera patrz też

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

W sprawie związku z liczbami Tamagawy patrz

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Rozwiązania klasyczne

Wu i Yang (1968) znaleźli statyczne rozwiązanie bezźródłowych równań SU(2)SU(2) Yanga-Millsa. Ostatnie referencje obejmują

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

Jest też stara recenzja,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

która podaje niektóre ze znanych rozwiązań teorii gauge SU(2)SU(2) w przestrzeni Minkowskiego (monopole, fale płaskie, itp.) i Euklidesa (instantony i ich kuzyni). Dla ogólnych grup gauge’a można uzyskać rozwiązania przez osadzenie SU(2)SU(2)âs.

Dla instantonów Yanga-Millsa znane jest najbardziej ogólne rozwiązanie, opracowane najpierw przez

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

dla klasycznych grup SU, SO , Sp, a następnie przez

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

dla wyjątkowych grup Lie. Najnowszym zwrotem w historii instantonów Yanga-Millsa jest konstrukcja rozwiązań z nietrywialną holonomią:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with nontrivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Jest ładny zestaw notatek z wykładów

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

o rozwiązaniach topologicznych z różnymi współwymiarami (instantony, monopole, wiry, ściany domenowe). Zauważmy jednak, że z wyjątkiem instantonów, rozwiązania te zwykle wymagają dodatkowych skalarów i złamanych U(1)âs, jak to można znaleźć w teoriach super-Jang-Millsa.

Niektóre z użytych tu materiałów zostały zaczerpnięte z

• TP.SE, Which exact solutions of the classical Yang-Mills equations are known?

Inny model zawierający pola Yang-Millsa został zaproponowany przez Curci i Ferrari, zobacz model Curci-Ferrari.

Zobacz także

• DispersiveWiki, Równania Yang-Millsa

.