Za każdym razem, gdy tworzymy coś nowego, przechodzimy od 0 do 1. Akt tworzenia jest szczególny, podobnie jak moment tworzenia, a rezultatem jest coś świeżego i dziwnego.
Peter Thiel, Zero to One
W badaniu opublikowanym w Nature w 1992 roku pracowano z pięciomiesięcznymi niemowlętami, aby określić ich zdolność do rozumienia dodawania i odejmowania. Eksperymentatorzy pokazali niemowlętom pewien przedmiot, ukryli go za ekranem, a następnie kazali niemowlętom obserwować, jak dodają dodatkowy przedmiot za ekranem. Podczas niektórych prób, eksperymentatorzy ukradkiem usuwali dodatkowy obiekt. Nawet w tym wieku niemowlęta wiedziały, że coś jest nie tak, gdy widziały „zero więcej” obiektów dodanych do grupy zamiast „jednego więcej” obiektu.
W przeważającej części jest to wrodzona intuicja, która przeniosła nas przez nasze wczesne lekcje matematyki. Jeśli mieliśmy szczęście (lub pecha, w zależności od tego, kogo pytamy), po raz pierwszy spróbowaliśmy sformalizować tę intuicję w gimnazjalnej lub licealnej geometrii. Zaczynając od propozycji zwanych „aksjomatami” – rzeczy, które uznaliśmy za prawdziwe – zostaliśmy zmuszeni do zastanowienia się, jak nasze intuicje wynikają z tych aksjomatów i skonstruowaliśmy formalne, choć podstawowe, matematyczne „dowody” na takie wyniki jak prawo cosinusów czy przystawanie dwóch trójkątów.
Jeśli zapomniałeś, Prawo cosinusów mówi, że c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), gdzie aaa, bbb, i ccc są długościami boków trójkąta, a CCC jest kątem przeciwnym do boku ccc. Jeśli wstawisz 90 stopni dla CCC, otrzymasz twierdzenie pitagorejskie.
Na pierwszych zajęciach z geometrii powiedziano nam, co możemy przyjąć za prawdę – ale czy kiedykolwiek zatrzymaliśmy się, aby zapytać dlaczego?
Kto zdecydował, co dokładnie możemy przyjąć za pewnik? Dlaczego akurat te konkretne aksjomaty? Dlaczego nie mogliśmy założyć, że prawo cosinusów jest prawdziwe i dlaczego musieliśmy to udowodnić?
Matematycy długo zastanawiali się nad tymi pytaniami, a konsensus społeczności niekoniecznie dotyczy konkretnych aksjomatów, które uznajemy za prawdziwe, ale zasady: ogranicz liczbę założeń do minimum. Jest to podobne do słynnej techniki rozwiązywania problemów, znanej jako brzytwa Occama: „Kiedy przedstawia się konkurencyjne hipotezy rozwiązania problemu, należy wybrać rozwiązanie z najmniejszą liczbą założeń.”
Określanie aksjomatów
Problem znalezienia minimalnego zestawu aksjomatów, z którego wynika cała matematyka, jest trudniejszy niż się wydaje. Matematycy pracowali nad tym od lat, a najsłynniejszą próbą były Principia Mathematica, opublikowane w 1913 roku przez matematyków Alfreda Northa Whiteheada i Bertranda Russella. W 1931 roku logik Kurt Gödel udowodnił jednak, że taki system jest niemożliwy – w skrócie, każdy wybór aksjomatów byłby albo niekompletny i niezdolny do udowodnienia całej matematyki; albo niespójny i mógłby być użyty do udowodnienia sprzeczności.
Niemniej jednak matematyka musi od czegoś zacząć, więc matematycy zdefiniowali specyficzne aksjomaty dla specjalizacji, w których pracują, takich jak geometria (pomyśl o aksjomatach Euklidesa). Te wyspecjalizowane aksjomaty są tym, co geometrzy, algebraiści i tak dalej uznali za minimalny zestaw założeń, których potrzebują, aby wykonywać produktywną pracę i wyciągać ważne wnioski.
To dzięki tym aksjomatom możemy rygorystycznie wykazać, że 1 jest w rzeczywistości większe od 0 – nie z mglistych pojęć takich jak „intuicja”, ale z solidnych matematycznych podstaw zbudowanych na aksjomatycznym konsensusie społeczności matematycznej.
W rzeczy samej, być może to właśnie odróżnia nasze zdolności umysłowe od zdolności umysłowych pięciomiesięcznych dzieci.
Jak na marginesie, przełamywanie konwencji i badanie konsekwencji alternatywnych aksjomatów doprowadziło do stworzenia całych nowych gałęzi matematyki. Jednym z przykładów jest geometria sferyczna, która wyrzuca tradycyjne podstawy euklidesowe przez okno. Na sferze, na przykład, kąty trójkąta mogą sumować się do więcej niż 180 stopni.
Aksjomaty, których potrzebujemy
„Bóg stworzył liczby naturalne; wszystko inne jest dziełem człowieka.”
Leopold Kronecker, niemiecki matematyk
Kiedy mówię „minimalny zestaw założeń”, istnieje wiele różnych poziomów „minimalnych”, od których możemy zacząć. Nasz założycielski poziom abstrakcji mógłby potencjalnie być taki, że wszystko, z czym mamy do czynienia, to liczby naturalne – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,… – za czym zdaje się opowiadać Kronecker. Alternatywnie, możemy po prostu przyjąć 1>01 > 01>0 jako aksjomat.
Z pierwszym podejściem możemy pójść w kilku kierunkach. Istnieją aksjomaty Peano, które są zestawem aksjomatów na liczbach naturalnych, które mają na celu w pełni opisać ich zachowanie. Te aksjomaty są prawie jak Prawa Newtona – nie są skonstruowane, ale raczej są opisem „naturalnych” własności liczb naturalnych. W tym podejściu definiujemy po prostu porządek liczb naturalnych, więc wnioskujemy 1>01 > 01>0 przez konstrukcję.
Definiujemy porządek liczb naturalnych jako: dla liczb naturalnych aaa i bbb, a≤ba ≤leq ba≤b wtedy i tylko wtedy, gdy a+c=ba + c = ba+c=b dla pewnej liczby naturalnej ccc.
To jest ważne, ale do pewnego stopnia wydaje się to trochę tanim strzałem – zasadniczo definiujemy nasz wynik do istnienia.
Z drugiej strony, moglibyśmy spróbować udowodnić 1>01 > 01>0 w liczbach rzeczywistych. Jednak zaczynanie od podstaw w tym kierunku jest niemal „za blisko sprzętu”, a przejście od liczb naturalnych (1,2,31, 2, 31,2,3 itd.) do rzeczywistych (np. 2,π,3, 32,π,3) wymaga użycia takich pojęć jak ciągi Cauchy’ego, klasy równoważności i inne – narzędzi, które wymagają gruntownego przygotowania w zakresie współczesnej algebry (którego niestety mi brakuje).
Przyjęcie ostatniego podejścia, aksjomatyzując nasz wniosek, że 1>01 > 01>0 jest prawdą, byłoby jak zjedzenie deseru przed obiadem.
Podejście, które uważam za najbardziej pouczające – przystępne, a jednocześnie satysfakcjonująco rygorystyczne – zostało przedstawione na moich zajęciach z analizy wstępnej na Uniwersytecie Michigan przez profesora Stephena DeBackera. Zaczniemy na poziomie abstrakcji, który jest łatwo zrozumiały – ale wystarczająco logicznie oddzielony od naszego wyniku – więc nadal będziemy w stanie zobaczyć z pierwszej ręki, jak nasze podstawowe założenia mogą być użyte do sformalizowania pozornie prostego wniosku, do którego zmierzamy. Co więcej, nasze podstawowe założenia będą tymi samymi założeniami, których używają specjaliści w dziedzinie nowoczesnej algebry i analizy rzeczywistej – powiedziałbym więc, że jesteśmy usprawiedliwieni w wyborze tego miejsca jako punktu wyjścia.
Naszym „minimalnym założeniem” jest to, że liczby rzeczywiste spełniają poniższe własności, gdzie aaa, bbb, i ccc są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Termin powszechnie używany przez społeczność matematyczną w odniesieniu do każdej właściwości jest wymieniony w nawiasach obok każdego z nich.
- a+ba + ba+b jest liczbą rzeczywistą (tzn. dodanie dwóch liczb rzeczywistych daje w wyniku inną liczbę rzeczywistą, znany również jako „zamknięcie pod dodawanie”)
- a×ba \u0026apos; ba×b jest liczbą rzeczywistą („zamknięcie pod mnożenie”)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (i.możemy zamieniać kolejność dodawania, tzw. komutatywność dodawania)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (tzn. możemy dodawać w dowolnej kolejności, znany jako „asocjatywność dodawania”)
- Istnieje liczba rzeczywista 000 taka, że a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 jest „addytywnym elementem tożsamości”)
- Istnieje istnieje liczba rzeczywista xxx taka, że a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx jest „addytywnym pierwiastkiem odwrotnym”)
- a×b=b×aa ∗ razy b = b ∗ razy aa×b=b×a („komutatywność mnożenia”) a×b=b×a („komutatywność mnożenia”)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c = a \times (b \times c)(a×b)×c=a×(b×c) („asocjatywność mnożenia”)
- Istnieje istnieje liczba rzeczywista 111 taka, że a×1=aa \times 1 = aa×1=a (1 jest „tożsamością multiplikatywną”)
- Istnieje liczba rzeczywista yy taka, że a×y=1a \times y = 1a×y=1, gdy aaa nie jest zerem (yy jest „odwrotnością mnożnika”)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \times (b + c) = a \times b + a \times ca×(b+c)=a×b+a×c („dystrybucyjność”)
- 1≠01 ≠01=0
- Liczby rzeczywiste są podzielone na podzbiory dodatnie i ujemne
- Dodawanie i mnożenie liczb dodatnich (tj.e. liczb większych od 000) razem daje liczbę dodatnią
- Każda liczba rzeczywista aaa jest albo dodatnia (a>0a > 0a>0), ujemna (a<0a < 0a<0), lub samo zero (a=0a = 0a=0)
.
Na razie możemy wstawić kilka wartości dla aaa, bbb i ccc, aby zrozumieć dlaczego każda z tych własności jest prawdziwa. Ponownie, istnieją sposoby, aby udowodnić, że liczby rzeczywiste spełniają wszystkie z powyższych właściwości przy użyciu narzędzi nowoczesnej algebry, ale bez tego tła, co mamy powyżej jest bardzo przystępny punkt wyjścia.
Aso, nie będziemy musieli używać wszystkich danych właściwości powyżej w naszym dowodzie, ale I’ve wymienione je wszystkie tutaj, ponieważ (potencjalnie nieskończony) zbiór liczb, które spełniają pierwsze dwanaście właściwości ma specjalną nazwę wśród matematyków – „pole”. Jeśli ten zbiór liczb spełnia również trzy ostatnie własności, to nazywany jest „polem uporządkowanym”. Zasadniczo, naszym założeniem jest, że liczby rzeczywiste tworzą pole uporządkowane.
Dowód
Aby rozpocząć nasz dowód, zakładamy nasz aksjomat – że liczby rzeczywiste tworzą pole uporządkowane i w konsekwencji spełniają piętnaście własności powyżej.
Na początek, przez własności (5) i (9) powyżej, wiemy, że liczby rzeczywiste 000 i 111 istnieją. Przez własność (15), wiemy, że 111 jest albo dodatnie, ujemne, lub zero. Z własności (12) wiemy, że 1≠01 ≠01 01=0. Pozostają dwie możliwości: albo 111 jest dodatnie i 1>01 > 01>0; albo 111 jest ujemne i 1<01 < 01<0.
Postępujemy teraz za pomocą techniki znanej jako „dowód przez sprzeczność”. Zasadniczo zakładamy, że coś, co chcemy pokazać, że jest nieprawdziwe, jest prawdziwe, i używamy założonej prawdy, aby udowodnić coś, co wiemy na pewno, że jest nieprawdziwe. Logiczną konsekwencją tego rodzaju manewru jest to, że musi być niemożliwe, aby to, co założyliśmy jako prawdziwe, było rzeczywiście prawdziwe, ponieważ doprowadziło to do niemożliwości. Hence, it must be false.
If we have a few possibilities to choose from, one of which must be true, this tactic is a good way to eliminate the impossible choices and narrow down the scope of what the real possibility is.
If proof by contradiction sounds complicated, it is – but it’s also an essential mathematical tool. Czasami, złożoność udowodnienia czegoś bezpośrednio – bez sprzeczności – czyni problem na tyle trudnym, że faktycznie może być łatwiej pokazać, że alternatywne możliwości po prostu nie mogą być prawdziwe.
Załóżmy, że 1<01 < 01<0 – że 111 jest ujemne – i pokażmy, że prowadzi to do niemożliwości. Jedną z potencjalnych niemożliwości, którą moglibyśmy wykazać jest to, że to założenie implikuje, że 1≥01 \geq 01≥0, ponieważ z własności (15), 111 nie może być jednocześnie mniejsze od zera i większe lub równe zeru.
Ze względu na własność (6), istnieje liczba rzeczywista xxx taka, że 1+x=01 + x = 01+x=0.
Możemy dodać xxx do obu stron, aby otrzymać 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Ponieważ własność (5) mówi nam, że 0+x=x0 + x = x0+x=x, możemy uprościć nierówność do 0<x0 < x0<x.
Nie możemy jednak jeszcze powiedzieć, że xxx musi być -1-1-1 – własność (6) mówi tylko, że istnieje liczba rzeczywista xxx. Musimy to udowodnić.
Lemat jest pośrednią prawdą, którą możemy wykorzystać do przeprowadzenia dowodu większego wyniku. To, czy coś nazywamy twierdzeniem czy lematem, niekoniecznie jest dobrze zdefiniowane, ale na ogół lematy „pomagają” nam udowodnić to, czego naprawdę chcemy.
Lemma: Additive Inverse Elements are Unique
W naszym przypadku, aby udowodnić, że xxx we własności (6) jest unikalny – a konkretnie, że istnieje tylko jedna liczba rzeczywista xxx taka, że 1+x=01 + x = 01+x=0 (i w konsekwencji, że liczba rzeczywista xxx musi być -1-1-1), możemy ponownie postępować przez sprzeczność.
Załóżmy, że istnieje inna liczba rzeczywista zzz, gdzie z≠xz ≠neq xz=x, taka, że 1+z=01 + z = 01+z=0. Rozważmy teraz wyrażenie x+1+zx + 1 + zx+1+z. Ponieważ równość jest refleksyjna – to znaczy a=aa = aa=a dla wszystkich aaa – wiemy, że x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Przez własność (4), asocjatywność dodawania, możemy pogrupować wyrażenia jako (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Dzięki własności (3), komutatywności dodawania, możemy przekształcić pierwszą wielkość tak, aby otrzymać (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Ponieważ 1+x1 + x1+x oraz 1+z1 + z1+z są równe zero, mamy 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, a z własności (5), pierwiastka tożsamości addytywnej, z=xz = xz=x. Jednak założyliśmy, że z≠xz = xz=x, więc mamy sprzeczność!
Więc, może istnieć tylko jedna liczba rzeczywista xxx taka, że 1+x=01 + x = 01+x=0. Jeśli zastąpimy każdą instancję 111 w powyższych liniach dowolną liczbą rzeczywistą aaa, to lemat ten pokazuje, że dla dowolnej liczby rzeczywistej aaa, istnieje unikalna xxx taka, że a+x=0a + x = 0a+x=0. Ponieważ ten xxx jest unikalny, możemy bezpiecznie nadać temu xxx unikalną nazwę, -a-a-a, co skutkuje znanym pojęciem negacji, gdzie a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. W naszym konkretnym przypadku pokazuje to, że xxx musi być równe -1-1-1.
Lemat: Negative Signs „Cancel”
Applysing the results of the above lemma, our inequality from before, 0<x0 < x0<x, becomes 0<-10 < -10<-1.
Z własności (14) wynika, że iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, więc 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Nie możemy jednak jeszcze powiedzieć, że „dwie liczby ujemne wzajemnie się znoszą” – żaden z aksjomatów tego nie implikuje! Musimy udowodnić, że (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Będziemy potrzebowali kolejnego lematu.
W ogólnym przypadku, dla dowolnej liczby rzeczywistej aaa, musimy pokazać, że (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a) = (a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)=a2. Właściwość (6) – założenie, że każdy element ma odwrotność addytywną – dotyczy znaków ujemnych i może stanowić interesującą drogę do wykazania tego.
Jeśli czujesz, że zaczynasz rozumieć, możesz zatrzymać się tutaj i spróbować użyć aksjomatów do udowodnienia niektórych pośrednich wyników na własną rękę. Jeśli utkniesz, zawsze możesz przewinąć w dół!
Ponieważ odwrotności addytywne są unikalne, wiemy, że istnieje unikalna liczba rzeczywista -a2-a^2-a2 taka, że a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Z tytułu własności (3), komutatywności dodawania, mamy -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
Poprzedni lemat powiedział nam, że jeśli -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, to xxx jest unikalny, więc jeśli mamy wyrażenie postaci -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, to musimy mieć x=a2x = a^2x=a2. Jeśli więc wykażemy, że -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, to będziemy wiedzieli na pewno, że (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Popracujmy z wyrażeniem -a2+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a). Musimy jakoś rozłożyć -a2-a^2-a2 na wyrazy składowe, żeby je sfaktoryzować, więc potrzebujemy jeszcze jednego lematu – udowodnić, że -a2=-a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemmat: Product of Negative and Positive is Negative
W tym lemacie zastosujemy podobne podejście jak powyżej, używając wyjątkowości odwrotności addytywnych, by pokazać, że jeden iloczyn musi być równy innemu iloczynowi. Ponieważ -a2-a^2-a2 jest jedynym addytywnym odwrotnością a2a^2a2, to jeśli wykażemy, że a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, to (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Zauważmy, że a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), więc z własności (7), komutatywności mnożenia, mamy a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Z własności (11) wynika, że a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) możemy przekształcić w a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Z własności (6) wynika, że a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, więc mamy a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Skończylibyśmy, gdyby a0=0a0 = 0a0=0, ale tego jeszcze nie udowodniliśmy!
Lemat: Iloczyn z 0 jest równy 0
Przez własność (5), 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Stąd możemy napisać a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Z uwagi na własność (11) rozkłada się to na a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Za pomocą własności (6) istnieje unikalna addytywna odwrotność -a0-a0-a0 a0a0, więc możemy ją dodać do obu stron naszego równania, aby otrzymać a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0).
Upraszczając, otrzymujemy 0=a00 = a00=a0.
Putting It All Together
With that, we can conclude that a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, so (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Wnosząc to do poprzedniego lematu, mamy -a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a).
Z własności (11) możemy następnie przekształcić to wyrażenie w -a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Z własności (6), odkładając odwrotności addytywne, mamy -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, więc -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Więc, (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) jest jedynym addytywnym odwrotnością -a2-a^2-a2, a stąd (-a)(-a)=a2(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Odwijając całą drogę do góry, wyszliśmy z punktu 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1). Ten ostatni lemat mówi nam, że (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)=(1)(1). Z własności (9) wynika, że pierwiastek tożsamości multiplikatywnej, (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Mamy więc 0<10 < 10<1, więc 1>01 > 01>0.
Jest to sprzeczność, bo założyliśmy, że 1<01 < 01<0! Z własności (15) wynika, że każda liczba rzeczywista jest albo dodatnia, albo ujemna, albo zerowa – żadna liczba nie może być jednocześnie dodatnia i ujemna! Mamy więc niemożliwość, a nasze pierwotne założenie – 1<01 < 01<0 – nie może się utrzymać. Możemy wyeliminować tę możliwość, pozostawiając tylko jeden pozostały przypadek: 1>01 > 01>0. Ponieważ wiemy, że każda liczba rzeczywista musi należeć do jednego z trzech przypadków, a my wyeliminowaliśmy dwa z nich, musimy mieć 1>01 > 01>0.
Jak Peter Thiel tak ładnie to ujął, jakże świeże i dziwne.
.