Osie główne

Momenty główne bezwładności

Jak pokazano w Tensor bezwładności, moment pędu ciała sztywnego względem początku lokalnej ramki odniesienia wyraża się jako

Jeśli przypadkiem, wszystkie poza-diagonalne wyrazy tensora bezwładności pokazane w staną się zerowe, można je dalej uprościć do postaci

Może się to zdarzyć, gdy ustawimy osie lokalnej ramki odniesienia w taki sposób, że masa ciała równomiernie rozłoży się wokół osi, a zatem wszystkie wyrazy iloczynu bezwładności znikną. Niezerowe ukośne wyrazy tensora bezwładności pokazane w nazywamy głównymi momentami bezwładności obiektu.

Top

Główne osie

Jak pokazano w , nie ma gwarancji, że wektor momentu pędu ma ten sam kierunek co wektor prędkości kątowej. Powoduje to problem: jeśli kierunek momentu pędu ciągle się zmienia, powstaje moment obrotowy, który w końcu zmusza oś obrotu do ruchu. Jest to główna przyczyna zużycia i drgań w maszynach z częściami wirującymi.

W pewnych szczególnych przypadkach może jednak zachodzić następujący warunek, aby wektory momentu pędu i prędkości miały ten sam kierunek:

gdzie I = równoważny skalarny moment bezwładności ciała wokół osi obrotu. Każda wystarczająca oś obrotu ciała nazywana jest osią główną. W ciele trójwymiarowym istnieje pewna grupa osi głównych (teoretycznie 3). Na przykład dla układu przedstawionego na rysunku 1 istnieją trzy prostopadłe osie główne.

Rysunek 1

mówi w zasadzie, że tensor bezwładności można zastąpić jednym skalarnym momentem bezwładności, gdy oś obrotu jest osią główną.

Top

Diagonalizacja tensora bezwładności

Od :

Or można uprościć do

gdzie 1 = macierz tożsamości. I pokazane w jest nazywane wartością własną, podczas gdy w jest wektorem własnym. jest równaniem wartości własnej.

Aby mieć nietrywialne rozwiązanie, wyznacznik współczynników powinien zniknąć:

prowadzi do równania sekularnego, które jest w zasadzie sześcienne, a więc daje trzy korzenie (wartości własne): I1, I2 & I3. Każdy z korzeni odpowiada momentowi bezwładności względem osi głównej. W rzeczywistości te trzy korzenie są głównymi momentami bezwładności ciała sztywnego wprowadzonego w :

Gdy znamy wartości własne, możemy obliczyć osie główne. Niech

gdzie n = wektor jednostkowy osi głównej, zatem,

Z & :

Dla każdej wartości własnej można obliczyć odpowiadające jej nx, ny & nz z & . Należy zwrócić uwagę na kierunek wektora własnego w tym procesie.

W analizie ruchu, główne momenty bezwładności można uzyskać z właściwości bezwładnościowych segmentów ciała. I1, I2 & I3 każdego segmentu są na ogół znane. Dane te są dostępne w postaci współczynników promienia żyrowania (stosunek promienia żyrowania do długości segmentu), równań regresji oraz współczynników skalowania. Można również obliczyć główne momenty bezwładności segmentów ciała poprzez modelowanie z wykorzystaniem pewnych kształtów geometrycznych. Szczegóły w rozdziale Individualized BSP Estimation.

Top

.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.