RÓWNANIE STOKESA-EINSTEINA

Równanie Stokesa-Einsteina jest równaniem wyprowadzonym po raz pierwszy przez Einsteina w jego pracy doktorskiej dla współczynnika dyfuzji cząstki „Stokesa” podlegającej ruchowi Browna w cieczy o stałej temperaturze. Wynik ten został wcześniej opublikowany w klasycznej pracy Einsteina (1905) na temat teorii ruchu Browna (został on również jednocześnie wyprowadzony przez Sutherlanda (1905) przy użyciu identycznego argumentu). Wynik Einsteina na współczynnik dyfuzji D cząstki kulistej o promieniu a w cieczy o lepkości dynamicznej h w temperaturze bezwzględnej T wynosi:

gdziejest stałą gazową, a NA jest liczbą Avogadro. Wzór ten jest historycznie ważny, ponieważ został użyty do pierwszego absolutnego pomiaru NA, potwierdzając tym samym teorię molekularną. Chociaż wzór ten można wyprowadzić alternatywnie za pomocą równania ruchu Langevina dla cząstki Browna, to wyprowadzenie Einsteina jest potężne i pomysłowe, poprawne nawet wtedy, gdy równanie Langevina jest tylko przybliżone. Einstein założył, że prawo van’t Hoffa dotyczące ciśnienia osmotycznego wywieranego przez cząsteczki solutu w płynie rozpuszczalnikowym w stanie równowagi ma takie samo zastosowanie do ciśnienia p związanego z zawieszeniem cząstek Browna w stanie równowagi w tym samym płynie, tzn,

gdzie nM jest liczbą gramomoli płynu na jednostkę objętości, a f „ułamkiem molowym” zdefiniowanym tutaj jako stosunek liczby cząsteczek do liczby cząsteczek płynu. Einstein argumentował następnie, że zawiesinę cząstek Browna w stanie równowagi pod ich własnym ciężarem można postrzegać na dwa sposoby, z których oba są równoważne: równowaga pomiędzy ciężarem netto cząstek a gradientem ciśnienia cząstek w kierunku grawitacji; lub równowaga pomiędzy strumieniem dyfuzji a strumieniem osiadania spowodowanym grawitacją. Zastosowanie wzoru Stokesa na prędkość osiadania (patrz prawo Stokesa) oraz powyższego wzoru na p daje wzór na D podany powyżej. Podobny argument pozwala wyprowadzić postać ciśnienia cząstek w gazie turbulentnym znając postać współczynnika dyfuzji turbulentnej cząstek (patrz: Particle Transport in Turbulent Fluids).