Jak trójkąt 30-60-90 jest oparty na trójkącie równobocznym, trójkąt 45-45-90 jest oparty na kwadracie, trójkąty 18-72-90 i 36-54-90 są oparte na pięciokącie foremnym (zobacz https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), a 22.5-67.5-90 trójkąt jest oparty na ośmiokącie foremnym (zobacz poprzedni post), więc trójkąt 15-75-90 jest oparty na dodekagonie foremnym, pokazanym tutaj z trzema promieniami (czerwony) i jedną przekątną (fioletowy). Trójkąt 15-75-90 jest pokazany na żółto. Argument z symetrii wystarczy, by pokazać, że kąt EFC jest kątem prostym w tym trójkącie, a większy z jego dwóch kątów ostrych (kąt FCE) jest połową kąta wewnętrznego tego dodekagonu. Kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego ma miarę 150 stopni (dowód tego jest banalny), więc kąt FCE musi mieć połowę tej miary, czyli 75 stopni. To pozostawia 15 stopni dla kąta CEF, poprzez twierdzenie o sumie trójkątów.
Co jednak z długościami boków trójkąta 15-75-90? Po pierwsze, rozważmy czerwone przekątne i niech każda z nich ma długość 2. Kąty DAF i FAE mierzą po 30 stopni, ponieważ 360/12 = 30, a są to kąty środkowe między sąsiednimi promieniami. To czyni kąt DAE 60 stopniami przez dodanie kątów, a trójkąt DAE jest znany jako równoramienny, ponieważ dwa czerwone boki są promieniami tego samego dodekagramu foremnego, a więc są przystające. Z twierdzenia o trójkącie równoramiennym i twierdzenia o sumie trójkątów wynika, że kąty ADE i AED mają miarę (180-60)/2 = 60 stopni, więc trójkąt ADE jest równoboczny, a fioletowy bok DE ma długość dwa. Symetria wystarcza, by zobaczyć, że DE jest przecięta przez promień AC, co prowadzi do wniosku, że EF, dłuższa noga trójkąta 15-75-90, ma długość 1.
Odcinek AF jest środkową, a więc i wysokością, trójkąta równobocznego ADE i dzieli go na dwa trójkąty 30-60-90, z których jeden jest trójkątem AEF. Wiadomo już, że jego przeciwprostokątna, AE, ma długość 2, a krótsza noga, EF, ma długość 1. Odcinek AF jest zatem dłuższą nogą tego trójkąta 30-60-90, o długości √3.
AF, długości √3, oraz FC, krótsza noga trójkąta 15-75-90, tworzą razem promień dodekagonu AC, którego długość jest już ustalona na 2. Zatem FC, krótsza noga trójkąta 15-75-90, ma długość 2 – √3. W tym momencie warto przeprowadzić test, wyznaczając tangens kąta 15 stopni FEC w żółtym trójkącie. Tan(15 stopni) jest równy 0,26794919…, co jest również przybliżeniem dziesiętnym dla FC/EF, czyli (2 – √3)/1.
Wszystko, co pozostaje, aby poznać stosunki długości boków trójkąta 15-75-90, to wyznaczyć długość EC, jego przeciwprostokątnej, poprzez Twierdzenie Pitagorejskie. Kwadrat długości EC musi być równy kwadratowi 1 plus kwadratowi (2 – √3), więc EC podniesiony do kwadratu jest równy 1 + 4 – 4√3 + 3, czyli 8 – 4√3. Hipotens (EC) musi więc być pierwiastkiem kwadratowym z 8 – 4√3, czyli √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Stosunek krótszej nogi:dłuższej nogi:przeciwprostokątnej w trójkącie 15-75-90 wynosi zatem (2-√3):1:2√(2-√3)).