Pre-scriptum (z dnia 26 czerwca 2020): Te posty dotyczące elementarnej matematyki i fizyki nie ucierpiały zbytnio w wyniku ataku ciemnej siły – co jest dobre, bo nadal je lubię. Podczas gdy moje poglądy na temat prawdziwej natury światła, materii i siły lub sił, które na nie działają, znacznie ewoluowały w ramach moich poszukiwań bardziej realistycznego (klasycznego) wyjaśnienia mechaniki kwantowej, myślę, że większość (jeśli nie wszystkie) analizy w tym poście pozostaje ważna i przyjemna do czytania. W rzeczywistości, uważam, że najprostsze rzeczy są często najlepsze. 🙂
Original post:
Moim pierwszym roboczym tytułem dla tego postu było Music and Tryby. Tak. Modes. Nie nastroje. Związek między muzyką a nastrojami jest również interesującym tematem badawczym, ale nie o tym będę pisał. 🙂
Zaczęło się od tego, że pomyślałem, że powinienem napisać coś o modach, ponieważ pojęcie trybu fali, lub jakiegokolwiek oscylatora, jest dość centralne w fizyce, zarówno w fizyce klasycznej, jak i kwantowej (systemy kwantowo-mechaniczne są również analizowane jako oscylatory!). Zastanawiałem się jednak, jak do tego podejść, ponieważ jest to raczej nudny temat, jeśli patrzy się tylko na matematykę. Ale potem wracałem samolotem z Europy do Azji, gdzie mieszkam, a ponieważ gram też trochę na gitarze, nagle zapragnąłem dowiedzieć się, dlaczego lubimy muzykę. I wtedy pomyślałem, że to jest pytanie, które być może ty też sobie kiedyś zadałeś! I wtedy pomyślałem, że powinienem napisać o trybach jako części bardziej interesującej historii: historii o muzyce – lub, mówiąc dokładniej, historii o fizyce stojącej za muzyką. A więc… do dzieła.
Filozofia kontra fizyka
Na pytanie, dlaczego lubimy muzykę, jest oczywiście bardzo prosta odpowiedź: lubimy muzykę, bo jest muzyką. Gdyby nie była muzyką, nie lubilibyśmy jej. To dość filozoficzna odpowiedź, która prawdopodobnie satysfakcjonuje większość ludzi. Jednak dla kogoś, kto studiuje fizykę, odpowiedź ta z pewnością nie może być wystarczająca. Co kryje się za fizyką? Przejrzałem Wykład Feynmana o falach dźwiękowych w płaszczyźnie, połączyłem to z kilkoma innymi rzeczami, które wygooglowałem po przyjeździe, a następnie napisałem ten post, który daje znacznie mniej filozoficzną odpowiedź. 🙂
Spostrzeżenie w centrum dyskusji jest zwodniczo proste: dlaczego jest tak, że podobne struny (tj. struny wykonane z tego samego materiału, o tej samej grubości, etc), przy tym samym napięciu, ale różniące się długością, brzmią „przyjemnie”, gdy brzmią razem wtedy – i tylko wtedy – gdy stosunek długości tych strun jest jak 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5, etc (czyli jak jakikolwiek inny stosunek dwóch małych liczb całkowitych)?
Zastanawiasz się pewnie: czy to jest pytanie, naprawdę? Tak jest. Pytanie jest rzeczywiście zwodniczo proste, ponieważ, jak się za chwilę przekonasz, odpowiedź jest dość skomplikowana. W rzeczywistości tak skomplikowana, że pitagorejczycy nie mieli na nią odpowiedzi. Ani nikt inny, aż do mniej więcej XVIII wieku, kiedy to muzycy, fizycy i matematycy zaczęli zdawać sobie sprawę, że struna (w gitarze, fortepianie, czy jakimkolwiek instrumencie, o którym myślał Pitagoras w tamtym czasie), lub kolumna powietrza (w organach piszczałkowych lub trąbce, na przykład), lub jakakolwiek inna rzecz, która faktycznie tworzy ton muzyczny, w rzeczywistości oscyluje w wielu częstotliwościach jednocześnie. Pitagorejska obserwacja jest ważna, jednak dla rzeczywistych (tj. nie-czystych) tonów muzycznych. W skrócie, musimy rozróżnić pomiędzy tonami i nutami (tj. czystymi tonami): są to dwie bardzo różne rzeczy, a sedno całego argumentu polega na tym, że tony muzyczne wychodzące z jednej (lub więcej) struny (strun) pod napięciem są pełne harmonicznych i, jak wyjaśnię za chwilę, to właśnie wyjaśnia obserwowaną relację pomiędzy długościami tych strun i zjawiskiem konsonansu (tj. brzmiącego „przyjemnie”).tj. brzmiącym 'przyjemnie’) lub dysonansem (tj. brzmiącym 'nieprzyjemnie’). Oczywiście, łatwo jest powiedzieć to, co mówię powyżej: mamy rok 2015 teraz, a więc mamy korzyść z perspektywy czasu. W tamtych czasach – a więc ponad 2500 lat temu! – prosty, ale znamienny fakt, że długości podobnych strun powinny być zgodne z pewnym prostym stosunkiem, jeśli mają razem „ładnie” brzmieć, wywołał fascynację teorią liczb (w rzeczywistości pitagorejczycy stworzyli podstawy tego, co obecnie znane jest jako teoria liczb). W rzeczy samej, Pitagoras uważał, że podobne zależności powinny obowiązywać również dla innych zjawisk naturalnych! Aby wspomnieć tylko jeden przykład, pitagorejczycy wierzyli również, że orbity planet również przestrzegają takich prostych relacji liczbowych, dlatego mówili o „muzyce sfer” (Musica Universalis). Teraz wiemy, że pitagorejczycy byli w błędzie. Proporcje w ruchach planet wokół Słońca nie są zgodne z prostymi proporcjami i, z korzyścią dla nas, po raz kolejny z perspektywy czasu, godne pożałowania jest to, że potrzeba było wielu odważnych i błyskotliwych ludzi, takich jak Galileo Galilei i Kopernik, aby przekonać Kościół o tym fakcie. 😦 Ponadto, podczas gdy obserwacje Pitagorasa w odniesieniu do dźwięków wydobywających się ze strun, na które patrzył, były prawidłowe, jego wnioski były błędne: obserwacja nie implikuje, że częstotliwości nut muzycznych powinny być w jakimś prostym stosunku jedna do drugiej. Powtórzę to, co napisałem powyżej: częstotliwości nut muzycznych nie są w jakimś prostym stosunku jedna do drugiej. Skala częstotliwości dla wszystkich tonów muzycznych jest logarytmiczna i chociaż implikuje to, że możemy, efektywnie, robić pewne sztuczki z proporcjami opartymi na właściwościach skali logarytmicznej (co wyjaśnię za chwilę), tak zwany „pitagorejski” system strojenia, który opiera się na prostych proporcjach, był po prostu błędny, nawet jeśli on – lub jakaś jego odmiana (zamiast proporcji 3:2, muzycy używali proporcji 5:4 od około 1510 roku) – był powszechnie używany aż do XVIII wieku! Krótko mówiąc, Pitagoras mylił się co najmniej w tym względzie: nie możemy wiele zrobić z tymi prostymi proporcjami. Pomimo tego, podstawowa intuicja Pitagorasa była słuszna, i ta intuicja jest nadal tym, co napędza fizykę dzisiaj: jest to idea, że Natura może być opisana, lub wyjaśniona (cokolwiek to znaczy), tylko przez ilościowe relacje. Przyjrzyjmy się jak to działa w przypadku muzyki. Tony, szum i nuty Zdefiniujmy najpierw i rozróżnijmy tony i nuty. Ton muzyczny jest przeciwieństwem szumu, a różnica między nimi polega na tym, że tony muzyczne są przebiegami okresowymi, więc mają okres T, jak pokazano poniżej. W przeciwieństwie do nich hałas jest przebiegiem nieokresowym. To takie proste. Teraz, z poprzednich postów, wiesz, że możemy zapisać dowolną funkcję okresową jako sumę potencjalnie nieskończonej liczby prostych funkcji harmonicznych, i że ta suma jest określana jako szereg Fouriera. Tutaj tylko to zaznaczam, więc na razie się tym nie przejmuj. Wrócę do tego później. Wiecie też, że mamy siedem nut muzycznych: Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si lub, bardziej powszechne w świecie anglojęzycznym, A-B-C-D-E-F-G. A potem zaczyna się znowu od A (lub Do). Mamy więc dwie nuty, oddzielone interwałem, który nazywany jest oktawą (od greckiego octo, czyli osiem), z sześcioma nutami pomiędzy nimi, czyli w sumie osiem nut. Jednakże, wiesz również, że istnieją nuty pomiędzy, z wyjątkiem pomiędzy E i F oraz pomiędzy B i C. Są one określane jako półtony lub półkroki. Wolę termin 'pół-krok’ niż 'półton’, ponieważ tak naprawdę mówimy o nutach, nie o tonach. Mamy, na przykład, F-sharp (oznaczany przez F#), który możemy również nazwać G-flat (oznaczany przez Gb). To jest to samo: ostry # podnosi nutę o półton (aka pół kroku), a płaski b obniża ją o tę samą wartość, więc F# jest Gb. To jest to, co pokazano poniżej: w oktawie, mamy osiem nut, ale dwanaście półkroków. Spójrzmy teraz na częstotliwości. Skala częstotliwości powyżej (wyrażona w oscylacjach na sekundę, więc to jednostka herców) jest skalą logarytmiczną: częstotliwości podwajają się, gdy przechodzimy z jednej oktawy do drugiej: częstotliwość nuty C4 powyżej (tzw. środkowe C) wynosi 261,626 Hz, podczas gdy częstotliwość następnej nuty C (C5) jest dwa razy większa: 523,251 Hz. Teraz, jeśli zrównamy interwał pomiędzy C4 i C5 z 1 (więc oktawa jest naszą muzyczną „jednostką”), wtedy interwał pomiędzy dwunastoma półkrokami jest, oczywiście, 1/12. Dlaczego? Ponieważ mamy 12 półkroków w naszej jednostce muzycznej. Możesz również łatwo sprawdzić, że z powodu sposobu działania logarytmów, stosunek częstotliwości dwóch nut, które są oddzielone jednym półkrokiem (między D# i E, na przykład) będzie równy 21/12. Podobnie, stosunek częstotliwości dwóch nut, które są rozdzielone przez n półkroków jest równy 2n/12. Teraz, ponieważ częstotliwości różnych nut C są wyrażone jako liczba obejmująca jakiś ułamek dziesiętny (jak 523.251 Hz, a 0.251 jest właściwie tylko przybliżeniem), a ponieważ są one, w związku z tym, trochę trudne do odczytania i / lub pracy z, zilustruję następną ideę – tj.czyli pojęcie harmonicznych – z A zamiast C. 🙂 Harmoniczne Najniższe A na fortepianie oznaczane jest jako A0, a jego częstotliwość wynosi 27,5 Hz. Niższe dźwięki A istnieją (mamy jeden na 13.75 Hz, na przykład), ale nie używamy ich, ponieważ są blisko (a właściwie poza) granicą najniższych częstotliwości, które możemy usłyszeć. Pozostańmy więc przy naszym fortepianie i zacznijmy od częstotliwości 27,5 Hz. Następna nuta A to A1, a jej częstotliwość to 55 Hz. Następnie mamy A2, która jest jak A na mojej (lub twojej) gitarze: jej częstotliwość jest równa 2×55 = 110 Hz. Następna jest A3, dla której ponownie podwajamy częstotliwość: mamy teraz 220 Hz. Następna jest A na ilustracji skali C powyżej: A4, z częstotliwością 440 Hz. Teraz, nuty, o których tu mówimy są wszystkie tak zwanymi tonami czystymi. W rzeczywistości, kiedy mówię, że A na naszej gitarze jest określane jako A2 i że ma częstotliwość 110 Hz, to faktycznie dokonuję ogromnego uproszczenia. Co gorsza, kłamię mówiąc, że gdy gramy na strunach gitary lub gdy uderzamy w klawisze fortepianu, rezonują również inne częstotliwości – tzw. harmoniczne – i to właśnie one nadają dźwiękom jakość: sprawiają, że brzmią one pięknie. Tak więc częstotliwość podstawowa (aka jako pierwsza harmoniczna) wynosi 110 Hz, ale mamy też drugą, trzecią, czwartą, itd. harmoniczne o częstotliwości 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz, etcetera. W muzyce, podstawowa lub fundamentalna częstotliwość jest określana jako wysokość tonu i, jak widać, często używam terminu „nuta” (lub czysty ton) jako synonimu wysokości dźwięku – co jest mniej więcej OK, ale nie całkiem poprawne w rzeczywistości. Co kryje się za fizyką? Spójrz na poniższą ilustrację (zapożyczyłem ją z witryny Physics Classroom). Gruba czarna linia to struna, a długość fali jej podstawowej częstotliwości (tj. pierwszej harmonicznej) jest dwa razy większa od jej długości, więc piszemy λ1 = 2-L lub na odwrót, L = (1/2)-λ1. Teraz jest to tak zwany pierwszy tryb struny. Mamy też drugi, trzeci, itd. tryb, przedstawiony poniżej, a tryby te odpowiadają odpowiednio drugiej, trzeciej, itd. harmonicznej. Dla drugiego, trzeciego, itd. trybu związek między długością fali a długością struny jest oczywiście następujący: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = (3/2)-λ3, itd. Bardziej ogólnie, dla n-tego trybu, L będzie równe L = (n/2)-λn, przy czym n = 1, 2, itd. W rzeczywistości, ponieważ L ma być jakąś stałą długością, powinniśmy to zapisać odwrotnie: λn = (2/n)-L. Co to oznacza dla częstotliwości? Wiemy, że prędkość fali – oznaczmy ją przez c – poruszającej się w górę i w dół sznurka, jest własnością sznurka, i to własnością tylko sznurka. Innymi słowy, nie zależy ona od częstotliwości. Teraz, prędkość fali jest równa częstotliwości razy długość fali, zawsze, więc mamy c = f-λ. Na przykładzie struny gitary (klasycznej): jej długość wynosi 650 mm, czyli 0,65 m. Stąd tożsamości λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L itd. stają się λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433… m i tak dalej. Teraz, łącząc te długości fal z wyżej wymienionymi częstotliwościami, otrzymujemy prędkość fali c = (110 Hz)-(1,3 m) = (220 Hz)-(0,65 m) = (330 Hz)-(0,433… m) = 143 m/s. Powróćmy teraz do ciągu Pitagorasa. Powinieneś zauważyć, że częstotliwości harmonicznych wytwarzanych przez prostą strunę gitarową są powiązane ze sobą przez proste stosunki liczb całkowitych. Rzeczywiście, częstotliwości pierwszej i drugiej harmonicznej są w prostym stosunku 2 do 1 (2:1). Druga i trzecia harmoniczna mają stosunek częstotliwości 3:2. Trzecia i czwarta harmoniczna mają stosunek 4:3. Piąta i czwarta harmoniczna 5:4, i tak dalej, i tak dalej. One muszą być. Dlaczego? Ponieważ harmoniczne są prostymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej. To jest to, co naprawdę kryje się za obserwacją Pitagorasa: kiedy grał na podobnych strunach o tym samym napięciu, ale różnej długości, wydawał dźwięki z tymi samymi harmonicznymi. Nic więcej, nic mniej. Pozwólcie, że wyrażę się tutaj dość jasno, ponieważ punkt, który staram się tutaj przedstawić jest nieco subtelny. Struna Pitagorasa to struna Pitagorasa: on mówił o podobnych strunach. Nie mówimy więc o jakiejś rzeczywistej gitarze, fortepianie czy innym instrumencie strunowym. Struny w (współczesnych) instrumentach strunowych nie są podobne i nie mają takiego samego napięcia. Na przykład, sześć strun gitary nie różni się długością (wszystkie mają 650 mm), ale różnią się napięciem. Sześć strun w gitarze klasycznej ma również inną średnicę, a pierwsze trzy struny są zwykłymi strunami, w przeciwieństwie do dolnych strun, które są nawinięte. Tak więc struny te nie są podobne, lecz bardzo różne. Aby zilustrować ten punkt, skopiowałem wartości poniżej dla jednego z wielu komercyjnie dostępnych zestawów strun gitarowych. W skrócie, Pitagoras nie grał na gitarze lub fortepianie (lub jakimkolwiek innym bardziej wyrafinowanym instrumencie strunowym, który Grecy z pewnością musieli mieć) kiedy myślał o tych harmonicznych związkach. Fizyczne wyjaśnienie jego słynnej obserwacji jest zatem dość proste: tony muzyczne, które mają te same harmoniczne, brzmią przyjemnie, lub konsonansowo, powinniśmy powiedzieć – od łacińskiego con-sonare, co dosłownie oznacza „brzmieć razem” (od sonare = brzmieć i con = z). A w przeciwnym razie… Cóż… Wtedy nie brzmią one przyjemnie: są dysonansowe. Aby podkreślić, że kiedy szarpiemy strunę, wytwarzamy dźwięk składający się z wielu częstotliwości, wszystko za jednym zamachem. Można to zobaczyć w praktyce: jeśli uderzysz niższą strunę A na fortepianie – powiedzmy strunę A2 o częstotliwości 110 Hz – to jej druga harmoniczna (220 Hz) wprawi w drgania również strunę A3, ponieważ ma tę samą częstotliwość! A następnie jej czwarta harmoniczna wprawi w drgania również strunę A4, ponieważ obie mają częstotliwość 440 Hz. Oczywiście, siła tych innych wibracji (lub ich amplituda, powinniśmy powiedzieć) będzie zależała od siły pozostałych harmonicznych i powinniśmy oczywiście oczekiwać, że częstotliwość podstawowa (tj. pierwsza harmoniczna) pochłonie większość energii. Tak więc skubiemy jedną strunę, a więc mamy jeden dźwięk, tylko jeden ton, ale wiele nut w tym samym czasie! W tym względzie należy również zauważyć, że trzecia harmoniczna naszej struny A2 o częstotliwości 110 Hz odpowiada częstotliwości podstawowej tonu E4: obie są 330 Hz! I, oczywiście, harmoniczne E, takie jak jego druga harmoniczna (2-330 Hz = 660 Hz) odpowiadają również wyższym harmonicznym A! Mówiąc konkretnie, druga harmoniczna naszej struny E jest równa szóstej harmonicznej naszej struny A2. Jeśli Twoja gitara jest dobra, i jeśli Twoje struny są rozsądnej jakości, to rzeczywiście to zobaczysz: (dolne) struny E i A wibrują, jeśli grasz akord A-dur, ale uderzając tylko cztery górne struny. Więc mamy energię – ruch naprawdę – przekazywaną z czterech strun, które uderzasz do dwóch strun, których nie uderzasz! Powiecie: i co z tego? No cóż… Jeśli masz jakiś lepszy dowód na aktualność (lub realność) występowania różnych częstotliwości w tym samym czasie, proszę, powiedz mi! 🙂 Więc to dlatego A i E brzmią bardzo dobrze razem (A, E i C#, zagrane razem, tworzą tzw. akord A-dur): nasze ucho lubi pasujące do siebie harmoniczne. I dlatego właśnie lubimy tony muzyczne – lub dlatego definiujemy te tony jako muzyczne! 🙂 Pozwól, że podsumuję to jeszcze raz: tony muzyczne to złożone fale dźwiękowe, składające się z częstotliwości podstawowej i tak zwanych harmonicznych (mamy więc wiele nut lub czystych tonów w jednym tonie muzycznym). Teraz, kiedy inne tony muzyczne mają harmoniczne, które są wspólne, a my brzmimy te nuty również, otrzymujemy wrażenie harmonii, tj. kombinacja brzmi zgodnie. Teraz nie jest trudno zauważyć, że zawsze będziemy mieli takie wspólne harmoniczne, jeśli mamy podobne struny, z tym samym napięciem, ale o różnych długościach, brzmiące razem. Krótko mówiąc, to co zaobserwował Pitagoras nie ma wiele wspólnego z nutami, ale z tonami. Pójdźmy teraz nieco dalej w analizie, wprowadzając trochę więcej matematyki. I, tak, bardzo przepraszam: to rzeczywiście ta straszna analiza Fouriera! 🙂 Analiza Fouriera Wiesz, że każdą funkcję okresową możemy rozłożyć na sumę (potencjalnie nieskończonego) szeregu prostych funkcji sinusoidalnych, jak na ilustracji poniżej. Ilustrację zaczerpnąłem z Wikipedii: czerwona funkcja s6(x) jest sumą sześciu funkcji sinusoidalnych o różnych amplitudach i (harmonicznie powiązanych) częstotliwościach. Tak zwana transformata Fouriera S(f) (na niebiesko) odnosi sześć częstotliwości do odpowiednich amplitud. W świetle powyższej dyskusji, łatwo jest zobaczyć, co to oznacza dla dźwięku pochodzącego z szarpanej struny. Używając notacji częstotliwości kątowych (więc piszemy wszystko używając ω zamiast f), wiemy, że normalne lub naturalne tryby oscylacji mają częstotliwości ω = 2π/T = 2πf (więc to jest częstotliwość podstawowa lub pierwsza harmoniczna), 2ω (druga harmoniczna), 3ω (trzecia harmoniczna), i tak dalej i tak dalej. Teraz, nie ma powodu zakładać, że wszystkie funkcje sinusoidalne, które tworzą nasz ton powinny mieć tę samą fazę: pewne przesunięcie fazowe Φ może być tam i, stąd, powinniśmy napisać naszą funkcję sinusoidalną nie jako cos(ωt), ale jako cos(ωt + Φ) w celu zapewnienia, że nasza analiza jest wystarczająco ogólna. Teraz, z naszych zajęć z geometrii, wiemy, że możemy ponownie zapisać cos(ωt + Φ) jako cos(ωt + Φ) = Mamy oczywiście wiele takich funkcji – po jednej dla każdej harmonicznej, w rzeczywistości – i dlatego powinniśmy używać indeksów, co właśnie robimy w poniższym wzorze, który mówi, że każda funkcja f(t), która jest okresowa z okresem T może być zapisana matematycznie jako: Możesz się zastanawiać: co to jest ten okres T? Jest to okres trybu fundamentalnego, czyli pierwszej harmonicznej. Rzeczywiście, okres drugiej, trzeciej itd. harmonicznej będzie tylko połową, jedną trzecią itd. okresu pierwszej harmonicznej. Istotnie, T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1, a T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1, itd. Łatwo jednak zauważyć, że funkcje te powtarzają się również odpowiednio po dwóch, trzech itd. okresach. Tak więc wszystko jest w porządku, a ogólna idea analizy Fouriera jest dalej zilustrowana poniżej. Więc mamy już wszystko, poza głośnością, która jest oczywiście związana z wielkością zmian ciśnienia powietrza, gdy nasza fala porusza się w powietrzu: wysokość, głośność i jakość. to jest to, co tworzy ton muzyczny. 🙂 Dysonans Jak wspomniano powyżej, jeśli dźwięki nie są konsonansowe, są dysonansowe. Ale czym tak naprawdę jest dysonans? Co się dzieje? Odpowiedź jest następująca: kiedy dwie częstotliwości są zbliżone do siebie ułamkiem prostym, ale nie dokładnym, otrzymujemy tzw. bity, których nasze ucho nie lubi. Huh? Spokojnie. Poniższa ilustracja, którą skopiowałem z artykułu w Wikipedii na temat strojenia fortepianu, obrazuje to zjawisko. Niebieska fala jest sumą fali czerwonej i zielonej, które początkowo są identyczne. Następnie jednak częstotliwość fali zielonej zostaje zwiększona, więc obie fale nie są już w fazie, a w wyniku interferencji powstaje wzór dudnienia. Oczywiście nasz ton muzyczny ma różne częstotliwości, a co za tym idzie różne okresy T1,T2, T3 etcetera, ale masz pomysł: wyższe harmoniczne również oscylują z okresem T1, a jeśli częstotliwości nie są w pewnym dokładnym stosunku, to będziemy mieli podobny problem: bicie, a nasze ucho nie będzie lubić dźwięku. Oczywiście, zastanawiasz się: dlaczego nie lubimy bicia w tonach? Możemy o to zapytać, prawda? To tak, jakbyśmy pytali, dlaczego lubimy muzykę, prawda? Cóż… Jest i nie jest. To jak pytanie, dlaczego nasze ucho (lub nasz mózg) lubi harmoniczne. Nie wiemy. Tak właśnie jesteśmy podłączeni. 'Fizyczne’ wyjaśnienie tego, co jest muzyczne, a co nie, sięga chyba tylko tak daleko. 😦 Pythagoras kontra Bach Z tego wszystkiego, co napisałem powyżej, wynika, że częstotliwości harmonicznych tonu muzycznego są rzeczywiście powiązane prostymi stosunkami małych liczb całkowitych: częstotliwości pierwszej i drugiej harmonicznej są w prostym stosunku 2 do 1 (2:1); druga i trzecia harmoniczna mają stosunek częstotliwości 3:2; trzecia i czwarta harmoniczna stosunek 4:3; piąta i czwarta harmoniczna 5:4, etcetera. To wszystko. Nic więcej, nic mniej. Innymi słowy, Pitagoras obserwował tony muzyczne: nie mógł obserwować czystych tonów za nimi, tj. rzeczywistych nut. Jednak estetyka sprawiła, że Pitagoras, a za nim wszyscy muzycy – aż do połowy XVIII wieku – uważali, że stosunek częstotliwości nut w oktawie powinien być również stosunkiem prostym. Z tego, co wyjaśniłem powyżej, jest oczywiste, że to nie powinno działać w ten sposób: stosunek częstotliwości dwóch nut oddzielonych od siebie o n półkroków wynosi 2n/12, a dla większości wartości n, 2n/12 nie jest jakimś prostym stosunkiem. Więc – już to mówiłem – Pitagoras się mylił – nie tylko w tym, ale także w innych kwestiach, takich jak na przykład kiedy głosił swoje poglądy na temat układu słonecznego. I znowu, przykro mi to mówić, ale jest jak jest: pitagorejczycy zdawali się przedkładać matematyczne idee nad fizyczny eksperyment 🙂 Mimo to muzycy oczywiście nie znali żadnej alternatywy dla Pitagorasa, a już na pewno nie słyszeli o skalach logarytmicznych w tamtych czasach. Więc… No cóż… Stosowali tzw. pitagorejski system strojenia. Dokładnie rzecz ujmując, stroili swoje instrumenty równając stosunek częstotliwości pomiędzy pierwszym a piątym tonem w skali C (czyli C i G, ponieważ nie uwzględniali półtonów C#, D# i F# przy liczeniu) stosunkiem 3/2, a następnie używali innych tzw. stosunków harmonicznych dla nut pomiędzy nimi. Teraz, stosunek 3/2 jest właściwie prawie poprawny, ponieważ rzeczywisty stosunek częstotliwości wynosi 27/12 (mamy siedem tonów, włączając półtony – nie pięć!), a więc to jest 1.4983, w przybliżeniu. To już całkiem blisko 3/2 = 1,5, powiedziałbym. 🙂 Korzystając z tego przybliżenia (które, przyznaję, jest dość dokładne), strojenie innych strun byłoby wtedy również wykonane przy założeniu, że pewne proporcje powinny być przestrzegane, jak te poniżej. Więc to wszystko było całkiem niezłe. To powiedziawszy, dobrzy muzycy i niektórzy wielcy matematycy czuli, że coś jest nie tak – choćby dlatego, że istniało kilka tak zwanych systemów just intonation (dla przeglądu, sprawdź artykuł w Wikipedii na temat just intonation). Co ważniejsze, uważali, że transpozycja muzyki przy użyciu pitagorejskiego systemu strojenia jest dość trudna. Transpozycja muzyki sprowadza się do zmiany tzw. klucza utworu muzycznego: to co się robi, to w zasadzie przesunięcie całego utworu w górę lub w dół w wysokości dźwięku o pewien stały interwał, który nie jest równy oktawie. Dziś transponowanie muzyki to bułka z masłem – przynajmniej w przypadku muzyki zachodniej. Ale to tylko dlatego, że cała zachodnia muzyka jest grana na instrumentach, które są strojone przy użyciu skali logarytmicznej (technicznie rzecz biorąc, jest to określane jako 12-tonowy system równej temperacji (12-TET)). Kiedy używasz jednego z systemów pitagorejskich do strojenia, transponowany utwór nie brzmi całkiem dobrze. Pierwszym matematykiem, który naprawdę wydawał się wiedzieć, co jest nie tak (i, co za tym idzie, który również wiedział, co robić) był Simon Stevin, który napisał manuskrypt oparty na „zasadzie 12 pierwiastka z 2” około AD 1600. Nie powinno nas to dziwić: sposób myślenia tego matematyka z Brugii zainspirował pracę Johna Napiera nad logarytmami. Niestety, choć manuskrypt ten opisuje podstawowe zasady systemu 12-TET, nie został opublikowany (Stevin musiał uciekać z Brugii do Holandii, ponieważ był protestantem, a to nie podobało się ówczesnym władcom Hiszpanii). Stąd muzycy, nie do końca rozumiejąc matematykę (lub fizykę, powinienem powiedzieć) stojącą za ich własną muzyką, wciąż próbowali innych systemów strojenia, ponieważ czuli, że dzięki temu ich muzyka brzmiała lepiej. Jednym z tych „innych systemów” jest tak zwany „dobry” temperament, o którym na pewno słyszałeś, ponieważ jest o nim mowa w słynnej kompozycji Bacha, Das Wohltemperierte Klavier, którą sfinalizował w pierwszej połowie XVIII wieku. Czym tak naprawdę jest ten „dobry” temperament? Cóż… Jest tym czym jest: to jeden z tych systemów strojenia, który sprawił, że muzycy czuli się lepiej w swojej muzyce z wielu powodów, z których wszystkie są dobrze opisane w artykule na Wikipedii na ten temat. Ale głównym powodem jest to, że system strojenia zalecany przez Bacha był o wiele lepszy, jeśli chodzi o granie tego samego utworu w innej tonacji. Jednak nadal nie był on całkiem poprawny, ponieważ nie był to system equal temperament (tj. system 12-TET), który obowiązuje obecnie (przynajmniej na Zachodzie – indyjska skala muzyczna, na przykład, nadal opiera się na prostych proporcjach). Dlaczego wspominam o tym utworze Bacha? Powód jest prosty: prawdopodobnie słyszałeś o nim, ponieważ jest to jeden z głównych punktów odniesienia w dość znanej książce: Gödel, Escher and Bach-an Eternal Golden Braid. Jeśli nie, to po prostu zapomnijcie o niej. Wspominam o niej, ponieważ jeden z moich braci ją uwielbia. Jest o sztucznej inteligencji. Nie czytałem jej, ale muszę założyć, że mistrzowski utwór Bacha jest tam analizowany ze względu na swoją strukturę, a nie ze względu na system strojenia, którego należy używać grając go. Więc… Cóż… Powiedziałbym: nie czyń tej kompozycji bardziej mistyczną, niż jest. 🙂 Stojąca za tym „magia” związana jest z tym, co powiedziałem o A4 jako „punkcie odniesienia” w muzyce: ponieważ używamy teraz uniwersalnej skali logarytmicznej, nie ma już czegoś takiego jak absolutny punkt odniesienia: kiedy już zdefiniujemy naszą muzyczną „jednostkę” (a więc tzw. oktawę w muzyce zachodniej), a także określimy, ile kroków chcemy mieć pomiędzy nimi (a więc 12 w muzyce zachodniej), otrzymamy całą resztę. Tak właśnie działają logarytmy. Więc, w skrócie, muzyka jest o strukturze, tzn. jest o matematycznych relacjach, i tylko o matematycznych relacjach. I znowu, wnioski Pitagorasa były błędne, ale jego intuicja była słuszna. I oczywiście to właśnie jego intuicja dała początek nauce: proste „modele”, które stworzył – dotyczące tego, jak banknoty powinny być powiązane ze sobą, lub dotyczące naszego Układu Słonecznego – były oczywiście tylko początkiem tego wszystkiego. I jaki to był wspaniały początek! Patrząc wstecz, to raczej smutne, że siły konserwatywne (takie jak Kościół) często stawały na drodze postępu. Prawdę mówiąc, nagle się zastanawiam: jeśli naukowcom nie przeszkadzałyby te konserwatywne siły, to czy ludzkość mogła wysłać ludzi już w czasach, gdy urodził się Karol V, czyli około 1500 roku n.e.? 🙂 Post scriptum: Mój przykład współwibrujących (dolnych) strun gitarowych E i A, gdy gramy akord A-dur uderzając tylko w cztery górne struny, jest nieco pokrętny. (Dolne) struny E i A są związane z niższymi tonami, a my powiedzieliśmy, że podteksty (tj. druga, trzecia, czwarta, itd. harmoniczne) są wielokrotnościami częstotliwości podstawowej. Dlaczego więc niższe struny współwibrują? Odpowiedź jest prosta: drgają one tylko przy wyższych częstotliwościach. Jeśli masz gitarę: po prostu spróbuj. Dwie struny, których nie podnosisz, wibrują – i to bardzo widocznie – ale niskie częstotliwości fundamentalne, które wydobywają się z nich, gdy w nie uderzasz, nie są słyszalne. Krótko mówiąc, rezonują one tylko na wyższych częstotliwościach. 🙂 Przykład, który podaje Feynman jest o wiele prostszy: jego przykład mówi o niższych nutach C (lub A, B, itd.) na fortepianie powodujących wibracje w wyższych strunach C (lub odpowiednio wyższej strunie A, B, itd.). Na przykład, uderzenie w klawisz C2 (a więc w strunę C2 wewnątrz fortepianu) spowoduje, że (wyższa) struna C3 również zacznie wibrować. Ale niewielu z nas ma w domu fortepian, jak sądzę. Dlatego wolę mój przykład z gitarą 🙂 .
Tak samo jest w przypadku strun fortepianowych. Podczas gdy są one nieco prostsze (wszystkie są wykonane z drutu fortepianowego, który jest bardzo wysokiej jakości drutem stalowym), różnią się one również – nie tylko długością, ale również średnicą, zazwyczaj wahającą się od 0.85 mm dla najwyższych strun wiolinowych do 8.5 mm (więc jest to dziesięć razy 0.85 mm) dla najniższych nut basowych.
Powiesz: A co tam! Po co nam ta matematyczna gimnastyka? Po to, by zrozumieć inną cechę tonu muzycznego: jego jakość (w przeciwieństwie do wysokości). Tak zwany bogaty ton będzie miał silne harmoniczne, podczas gdy czysty ton będzie miał tylko pierwszą harmoniczną. Wszystkie inne cechy – różnica między tonem produkowanym przez skrzypce w porównaniu do fortepianu – są związane z „mieszanką” wszystkich tych harmonicznych.
