Witt, Jan De

(ur. Dordrecht, Holandia, 24 września 1625; zm. Haga, Holandia, 20 sierpnia 1672)

matematyk.

De Witt był synem Jacoba de Witt, burgomeistra Dordrechtu, i Anny van de Corput. Obie rodziny były wybitnymi członkami klasy regentów, która rządziła miastami i prowincjami Holandii. W 1636 r. wstąpił do szkoły łacińskiej w Dordrechcie, a w 1641 r. udał się na uniwersytet w Lejdzie. Tam studiował prawo, a w 1645 r. wyjechał do Francji, gdzie uzyskał dyplom w Angers. W Lejdzie studiował prywatnie matematykę u Fransa van Schootena Młodszego i otrzymał od niego doskonałe wykształcenie w zakresie matematyki kartezjańskiej. De Witt był utalentowanym matematykiem, który jednak miał niewiele czasu, aby poświęcić się matematyce. W 1650 r. został rentierem Dordrechtu, a w 1653 r. wielkim rentierem Holandii, co uczyniło go przywódcą Partii Stanów, a w efekcie premierem Holandii. Był mężem stanu o niezwykłych zdolnościach i sile charakteru, który kierował sprawami Zjednoczonych Prowincji podczas dwudziestoletniego bezkrólewia w Stadtholding za czasów mniejszości Wilhelma Orańskiego. Był to jeden z najbardziej krytycznych okresów w historii Holandii, z trzema wojnami angielsko-holenderskimi; wrogość frakcji orańskiej zakończyła się zabójstwem de Witta i jego brata Cornelisa przez tłum w 1672 r.

Najważniejszym dziełem matematycznym de Witta było jego Elementa curvarum linearum, napisane przed 1650 r. i wydrukowane w drugim łacińskim wydaniu Géométrie Descartesa (1659-1661) Van Schootena. Składa się z dwóch ksiąg: pierwsza to syntetyczne ujęcie teorii geometrycznej zawartej we wczesnych księgach Stożków Apolloniusza, a druga to jedno z pierwszych systematycznych opracowań geometrii analitycznej prostej i stożkowej. W pierwszej księdze symptomy (wyrażone jako proporcje) paraboli, elipsy i hiperboli są wyprowadzone jako loci płaszczyzny, a nie jako odcinki stożka. Jego definicje loci elipsy są nam dziś dobrze znane: konstrukcja kąta mimośrodowego (punkt stały względem obracającego się odcinka); konstrukcja drygawicy (punkt stały na danym odcinku poruszający się po dwóch przecinających się liniach); oraz konstrukcja „sznurka”, oparta na definicji dwóch ognisk. Dla hiperboli i paraboli miejsce geometryczne jest skonstruowane jako punkt przecięcia odpowiednich odcinków dwóch ołówków prostych, jednego równoległego i jednego zbieżnego. W nowoczesnym ujęciu są to ciekawe, niezamierzone przykłady projekcyjnej definicji stożków Steinera-Chaslesa, gdzie wierzchołek jednego z ołówków znajduje się w nieskończoności.

De Wittowi przypisuje się wprowadzenie terminu „direktor” dla paraboli, ale z jego wyprowadzenia wynika, że nie używa on tego terminu dla linii stałej naszej definicji ognisko-dyrektor. Dla punktów H na EF, jeżeli ∠HBL jest równe ∠FDB, to prosta przechodząca przez H równoległa do BD przecina BL w G, punkcie na locus. Przez B poprowadzono AC z ∠DBC = ∠BDF, przecinając HG w I, a GK poprowadzono równolegle do AC. Ponieważ trójkąty BDH i GKB są podobne, (BI)2 =(BD) (BK) lub y2 = px, parabola z wierzchołkiem w B, odciętą BK = x i rzędną KG = y. Jeśli EF jest prostopadła do DB, to otrzymamy prostokątny układ współrzędnych, ale EF nie jest naszą współrzędną kierunkową.

W pierwszej księdze Elementa de Witt nie tylko uwolnił stożki od stożka swoimi konstrukcjami kinematycznymi, ale spełnił kartezjańskie kryteria konstrukcyjności. Ta książka została napisana, jak donosił van Schootenowi, aby dać tło dla nowego, analitycznego rozwoju w drugiej książce. Analityczne traktowanie rozpoczął od pokazania, że równania pierwszego stopnia reprezentują linie proste. Jak to było wówczas w zwyczaju, nie używał współrzędnych ujemnych, sporządzając wykresy tylko odcinków lub półprostych w pierwszym kwadrancie. Starannie wyjaśnił rzeczywistą konstrukcję linii dla dowolnych współczynników

, ponieważ będą one potrzebne w jego przekształceniach redukujących ogólne równania kwadratowe do stożkowych typu. Dla każdej stożkowej de Witt zaczynał od uproszczonych równań odpowiadających jego standardowym formom z książki I, a następnie stosował translacje i rotacje, by sprowadzić bardziej skomplikowane równania do form kanonicznych. Na przykład, w hiperboli

pozwala

a następnie

v = x + h

gdzie h jest współczynnikiem terminu liniowego w x po pierwszym podstawieniu, dając

standardową hiperbolę, która przecina nowe osie v lub z w zależności od tego, czy hh jest większe czy mniejsze niż. Chociaż de Witt wydaje się być świadomy właściwości ogólnego równania kwadratowego przy wyborze swoich przykładów, nie wspomina wprost o jego zastosowaniu do określenia typu stożkowej, z wyjątkiem przypadku paraboli. Tam stwierdza, że jeśli warunki drugiego stopnia są doskonałym kwadratem, równanie reprezentuje parabolę.

Ostatni rozdział jest podsumowaniem różnych transformacji pokazujących, jak skonstruować wykresy wszystkich równań drugiego stopnia. Każdy przypadek dodatnich i ujemnych współczynników musi być traktowany oddzielnie na rysunku, ale dyskusja dla każdej krzywej jest całkowicie ogólna, i zarówno oryginalne i przekształcone osie są rysowane.

Oprócz algebraicznych uproszczeń krzywych do postaci normalnej, książka II zawiera zwykłe ognisko-dyrektor własności paraboli i analityczne pochodne eilipsy i hiperboli jako locus punktów, których suma lub różnica odległości od dwóch stałych punktów jest stała. Są one wykonane w nowoczesny sposób, kwadratura dwa razy, z wyraźnym wykorzystaniem twierdzenia pitagorejskiego w miejsce nowszej formuły odległości.

Elementa De Witta i Tractatus de sectionibus conicis Johna Wallisa (1655) są uważane za pierwsze podręczniki geometrii analitycznej. Chociaż Wallis podniósł kwestię pierwszeństwa, ich podejścia były różne i całkowicie niezależne. Wallis najpierw zdefiniował stożkowe jako równania drugiego stopnia i wydedukował własności krzywych z równań, podczas gdy de Witt wydedukował je geometrycznie na płaszczyźnie, a następnie pokazał, że równania kwadratowe mogą być zredukowane do jego normalnych form.

Christiaan Huygens napisał kiedyś do Johna Wallisa o de Witt: „Gdyby oszczędził wszystkie swoje siły na prace matematyczne, przewyższyłby nas wszystkich”. Jego geometria była jego jedynym wkładem w czystą matematykę, ale przez cały długi okres sprawowania funkcji wielkiego rentiera przycinał swoje matematyczne zainteresowania do problemów finansowych prowincji Holandii. Głównym sposobem gromadzenia pieniędzy dla Statres były dożywotnie lub stałe renty. W 1665 roku de Wittowi udało się obniżyć stopę procentową z 5 do 4 procent i ustanowił fundusz amortyzacyjny, w którym odsetki zaoszczędzone dzięki konwersji, gromadzone na procent składany, miały być przeznaczone na spłatę długu Holandii, który w ten sposób mógł zostać spłacony w ciągu czterdziestu jeden lat. Druga wojna angielsko-holenderska (1665-1667) udaremniła jednak ten plan. Wojny angielskie były nieustannym drenażem finansowym, a mniej niż połowa wydatków (prawie same koszty wojny) została pochłonięta przez płatności odsetkowe.

W kwietniu 1671 roku postanowiono negocjować fundusze poprzez dożywotnie renty, ograniczając w ten sposób dług do jednego pokolenia. De Witt przygotował dla Stanów Holandii traktat, w którym matematycznie wykazał, że renty dożywotnie były oferowane ze zbyt wysoką stopą procentową w porównaniu z rentami stałymi. Holandia obniżyła ostatnio stopę procentową do 25 lat (4 procent) i sprzedawała renty dożywotnie po 14 lat (7 procent). De Witt chciał podnieść cenę do szesnastu lat kupna (6¼ procent). Jego Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (lipiec, 1671) jest z pewnością jedną z pierwszych prób zastosowania teorii prawdopodobieństwa do problemów ekonomicznych. Zostaáa ona napisana jako dokument polityczny i pozostaáa zakopana w archiwach przez prawie dwieście lat. Od czasu jej odkrycia i opublikowania przez Fredericka Hendriksa w 1852 r. powstało wiele artykułów (niektóre z nich są wymienione w bibliografii) wyjaśniających lub krytykujących ją na gruncie współczesnej nauki aktuarialnej. W rzeczywistości jest to bardzo prosta i pomysłowa rozprawa oparta jedynie na wykorzystaniu zasady matematycznego oczekiwania do tworzenia równych kontraktów.

De Witt wyliczył obecne wartości na poziomie 4 procent płatności renty w wysokości 10 000 000 stewardów (aby uniknąć dziesiętnych) na pół roku i zsumował matematyczne oczekiwania używając hipotetycznych wskaźników śmiertelności dla różnych grup wiekowych. Najpierw założył, że prawdopodobieństwo śmierci człowieka w pierwszej lub ostatniej połowie każdego roku jest takie samo, a następnie, ponieważ renty były zazwyczaj kupowane na młode życie, rozszerzył to na każdą połowę roku w „latach pełnego wigoru” od trzeciego do pięćdziesiątego trzeciego roku życia. Dla uproszczenia uznał pierwsze sto pół roku za równie niszczące lub śmiertelne, chociaż stwierdził, że prawdopodobieństwo śmierci jest w rzeczywistości mniejsze w pierwszych latach. Tak samo zatrzymał się na wieku osiemdziesięciu lat, choć wielu żyje dłużej niż ten wiek. W następnych dziesięciu latach, od pięćdziesiątego trzeciego do sześćdziesiątego trzeciego, szansa śmierci nie przekracza więcej niż w proporcji 3 do 2 szansy śmierci w pierwszym okresie; od sześćdziesiątego trzeciego do siedemdziesiątego trzeciego, szansa śmierci nie jest większa niż 2 do 1; i od siedemdziesiątego trzeciego do osiemdziesiątego, nie więcej niż 3 do 1.

De Witt podaje wiele przykładów, aby wyjaśnić zastosowanie pojęcia matematycznego oczekiwania. Poniższy jeden jest podstawowy dla jego późniejszych obliczeń, a został przeoczony przez wielu komentatorów. Rozważmy mężczyznę czterdziestoletniego i mężczyznę pięćdziesięcioośmioletniego. Zgodnie z jego założeniami szanse na śmierć starszego mężczyzny w porównaniu z młodszym są jak 3 do 2. Równy kontrakt mógłby być wymyślony: jeśli osoba z pięćdziesięciu ośmiu umiera w ciągu sześciu miesięcy, młodszy mężczyzna dziedziczy 2000 florenów, ale jeśli mężczyzna z czterdziestu umiera w ciągu sześciu miesięcy, starszy dziedziczy 3000 florenów. Czyli szansa na to, że mężczyzna w wieku pięćdziesięciu ośmiu lat zdobędzie 3000 florenów. jest jak 2 do 3, lub, w kategoriach obliczeń renty de Witta, szansa na otrzymanie danej płatności renty w drugim okresie wynosi dwie trzecie szansy w pierwszym okresie.

From this reasoning de Witt’ calculations are straightforward: he sums the present values for the first hundred half years; tow-thirds the present values for the next twenty half years; for the next twenty, one-half the present values; and one-third for the last fourteen. Wszystkie te wartości są sumowane i brana jest średnia, co daje nieco więcej niż szesnaście florenów jako obecną wartość jednego florena renty na młode i zdrowe życie. Gdyby metoda ta została zastosowana do rzeczywistych tabel śmiertelności, praca byłaby ogromna. Później, w 1671 roku, de Witt i Jan Hudde korespondowali w sprawie problemu renty rodzinnej za więcej niż jedno życie, przy czym obaj korzystali z rzeczywistych danych dotyczących śmiertelności, zaczerpniętych z holenderskich rejestrów rentowych. Pracując z kilkoma grupami co najmniej stu osób w danym wieku, de Witt opracował odpowiednie stawki dla rent dożywotnich na dwa życia. Zostały one rozszerzone a posteriori na dowolną liczbę żyć przez trójkąt Pascala, z obietnicą dla Hudde’a, że ustali wyniki a priori. Było to zwieńczenie pracy de Witta nad rentami, ale ze względów politycznych zasugerował on Hudde’owi, aby opinia publiczna nie była informowana o wynikach ich badań, ponieważ była ona skłonna kupować renty na więcej niż jedno życie po aktualnej stawce, która była korzystna dla rządu.

BIBLIOGRAFIA

I. Prace oryginalne. Elementa curvarum linearum, in Frans van Schooten’ Latin ed. of Descartes’s Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Haga, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Sześć tomów listów w Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Tom XXXIII zawiera listy do i od matematyków, w tym listy do Jana Hudde w sprawie renty na więcej niż jedno życie.

II. Literatura wtórna. Spośród wielu biografii de Witta niezastąpiona jest Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915). Jeszcze cenniejsza jest G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vols. (Paryż, 1884); przekład angielski, S. F. Stephenson i A. Stephenson (Londyn, 1885). Rzetelne omówienie tego okresu i relacji między de Wittem a Wilhelmem III zob. Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Londyn, 1964), oraz jego Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), przekład angielski, Arnold Pomerans (Londyn, 1969). Na temat geometrii patrz P. van Geer, „Johan de Witt als Wiskundige,” w Nieuw Archief voor Wiskundige, 2nd ser…, 11 (1915), 98-126; oraz C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (Nowy Jork, 1956).

Anglish translation of the work on life annuities can be found in Frederick Hendricks, „Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities,” in The Assurance Magazine (now Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908) i 11 (1909) Archief voor Verzekeringe Wetenschap zawierają artykuły oferujące różne krytyki i wyjaśnienia pism de Witta na temat rent dożywotnich.

Joy B. Easton

.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.