BioMath:Allometry

O que é alometria?

Allometry é o estudo da mudança relativa na proporção de um atributo em relação a outro durante o crescimento do organismo. Estes atributos podem ser morfológicos, fisiológicos, ou não. Um exemplo bem conhecido de uma relação alométrica é a massa esquelética e a massa corporal. Especificamente, o esqueleto de um organismo maior será relativamente mais pesado do que o de um organismo menor. É claro que parece óbvio que organismos mais pesados requerem esqueletos mais pesados. Mas será igualmente claro que organismos mais pesados requerem esqueletos desproporcionadamente mais pesados? Então, como funciona a relação? Considere os seguintes dados:

• a 10 kg de organismo pode precisar de um esqueleto de 0,75 kg,
• a 60 kg de organismo pode precisar de um esqueleto de 5,3 kg, e ainda assim
• a 110 kg de organismo pode precisar de um esqueleto de 10,2 kg,

Como pode ver ao inspeccionar estes números, os corpos mais pesados precisam de esqueletos relativamente mais pesados para os suportar. Não há um aumento constante na massa esquelética para cada 50 kg de aumento na massa corporal; a massa esquelética aumenta fora da proporção da massa corporal .

As leis de escalas alométricas são derivadas de dados empíricos. Os cientistas interessados em descobrir estas leis medem um atributo comum, como a massa corporal e o tamanho do cérebro dos mamíferos adultos, através de muitos taxa . Os dados são então minados para relações a partir das quais as equações são escritas.

Crescimento alométrico

As relações de escala alométrica podem ser descritas usando uma equação alométrica da forma,
	f (s) = c s d,		(1)
onde c e d são constantes. As variáveis s e f (s) representam os dois atributos diferentes que estamos a comparar (por exemplo, massa corporal e massa esquelética).

Esta equação pode ser usada para entender a relação entre dois atributos. Especificamente, a constante d neste modelo determina as taxas de crescimento relativo dos dois atributos representados por s e f (s). Para simplificar, vamos considerar apenas o caso d > 0.

• Se d > 1, o atributo dado por f (s) aumenta fora da proporção do atributo dado por s. Por exemplo, se s representa o tamanho do corpo, então f (s) é relativamente maior para corpos maiores do que para corpos menores.
• Se 0 < d < 1, o atributo f (s) aumenta com o atributo s, mas o faz a um ritmo mais lento do que o da proporcionalidade.
• Se d = 1, então o atributo f (s) muda como uma proporção constante do atributo s. Este caso especial é chamado de isometria, ao invés de alometria.

Usando Equações Alométricas

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Note que (1) é uma função de potência e não uma equação exponencial (a constante d está na posição exponencial ao invés da variável s). Ao contrário de outras aplicações onde precisamos de logaritmos para nos ajudar a resolver a equação, aqui usamos logaritmos para simplificar a equação alométrica em uma equação linear. Aí está como funciona Reescrevemos (1) como uma equação logarítmica da forma,
	log (f (s)) = log (c s d). >		(2)
Então, usando as propriedades dos logaritmos, podemos reorganizar (2) como se segue,
	log (f)	= log c + log (s d),
			= log c + d log s.	(3)
> Quando mudamos as variáveis deixando,
	y	= log f,
	b	= log c,
	m	= d,
	> x	= log s.
vê-se que (3) é de facto a equação linear
	y	= mx + b. >	(4)
Por isso, transformar uma equação alométrica no seu equivalente logarítmico dá origem a uma equação linear. Porquê Bother? Ao reescrever a equação alométrica numa equação logarítmica, podemos facilmente calcular os valores das constantes c e d a partir de um conjunto de dados experimentais. Se plotarmos log s no eixo x e log f no eixo y, devemos ver uma linha com inclinação igual a d e y-intercepção igual a log c. Lembre-se, as variáveis x e y estão realmente em uma escala logarítmica (já que x = log s e y = log f). Nós chamamos tal gráfico de logaritmo. Porque as equações alométricas são derivadas de dados empíricos, deve-se ser cauteloso com os dados espalhados em torno de uma linha de melhor ajuste no plano xy- de um gráfico de log-log. Pequenos desvios de uma linha de melhor ajuste são na verdade maiores do que eles podem aparecer. Lembre-se, como as variáveis x e y estão na escala logarítmica, mudanças lineares nas variáveis de saída (x e y) correspondem a mudanças exponenciais nas variáveis de entrada (f (s) e s). Uma vez que estamos finalmente interessados numa relação entre f e s, precisamos de nos preocupar mesmo com pequenos desvios de uma linha de melhor ajuste.

Agora vamos voltar ao nosso caranguejo violinista como exemplo concreto.