Momentos de Inércia Principais
Como mostrado em Tensor de Inércia, o momento angular de um corpo rígido em relação à origem do quadro de referência local é expresso como
Se, por acaso, todos os termos off-diagonal do tensor de inércia mostrado em se tornar zero, pode ser ainda mais simplificado para
Isso pode acontecer quando se alinha os eixos do quadro de referência local de tal forma que a massa do corpo se distribui uniformemente em torno dos eixos, assim, os termos produto de inércia desaparecem todos. Os termos não-zero diagonal do tensor de inércia mostrados em são chamados os momentos principais de inércia do objeto.
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Eixos principianos
Como mostrado em , não há garantia de que o vetor de momento angular tenha a mesma direção que o vetor de velocidade angular. Isto causa um problema: se a direcção do momento angular continua a mudar, desenvolve um binário que eventualmente obriga o eixo de rotação a mover-se. Esta é a principal razão que causa desgaste e vibração em máquinas com peças rotativas.
Mas em alguns casos especiais, a seguinte condição pode se manter para que o momento angular e os vetores de velocidade mostrem a mesma direção:
onde I = o momento escalar equivalente de inércia do corpo sobre o eixo de rotação. Qualquer eixo de rotação do corpo que seja suficiente é chamado eixo principal. Há um grupo de eixos principais (teoricamente 3) em um corpo tridimensional. Por exemplo, existem três eixos principais perpendiculares para o sistema mostrado na Figura 1.
Figura 1
basicamente diz que o tensor de inércia pode ser substituído por um único momento de inércia escalar quando o eixo de rotação é um eixo principal.
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Diagonalização do Tensor de Inércia
De :
Or pode ser simplificado para
Onde 1 = a matriz de identidade. Eu mostrado em é chamado um autovalor enquanto w é o autovector. é a equação do autovalor.
Para ter uma solução não trivial o determinante dos coeficientes deve desaparecer:
leva à equação secular que é basicamente cúbica, assim fornece três raízes (autovalores): I1, I2 & I3. Cada raiz corresponde a um momento de inércia sobre um eixo principal. Na verdade as três raízes são os momentos principais de inércia do corpo rígido introduzido em :
Após os autovalores serem conhecidos, os eixos principais podem ser computados. Vamos
Onde n = o vector unitário do eixo principal, assim,
De & :
Para cada valor próprio, pode-se calcular o correspondente nx, ny & nz de & . Deve-se prestar atenção à direção do autovetor neste processo.
Na análise do movimento, os principais momentos de inércia podem ser obtidos a partir das propriedades de inércia dos segmentos do corpo. I1, I2 & I3 de cada segmento são geralmente conhecidos. Os dados estão disponíveis na forma de relações de raio de giração (relação entre o raio de giração e o comprimento do segmento), equações de regressão e coeficientes de escalonamento. Também é possível calcular os principais momentos de inércia dos segmentos do corpo através da modelagem utilizando algumas formas geométricas. Veja Estimativa Individualizada de BSP para os detalhes.
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