Cada vez que criamos algo novo, vamos de 0 a 1. O acto de criação é singular, tal como o momento da criação, e o resultado é algo fresco e estranho.
Peter Thiel, Zero a Um
Um estudo de 1992 publicado na Nature trabalhou com crianças de cinco meses de idade para determinar a sua capacidade de compreensão da adição e subtracção. Experimentadores mostraram aos bebês um objeto, esconderam-no atrás de uma tela, e depois fizeram os bebês observarem enquanto adicionavam um objeto extra atrás da tela. Durante alguns ensaios, os experimentadores retiravam sub-repticiamente o objecto extra. Mesmo naquela idade, os bebês sabiam que algo estava errado quando viram “zero mais” objetos adicionados ao grupo ao invés de “mais um” objeto.
Para a maioria, esta é a intuição inata que nos levou através de nossas primeiras aulas de matemática. Se tivéssemos sorte (ou azar, dependendo de quem você perguntar), nós tivemos nosso primeiro gosto de formalizar essa intuição em geometria de middle- ou high school. Começando com propostas chamadas “axiomas” – coisas que tomávamos como certas – fomos forçados a considerar como a nossa intuição derivava desses axiomas, e construímos “provas” matemáticas formais, embora básicas, para resultados como a Lei de Cosines ou a congruência de dois triângulos.
Se você esqueceu, a Lei de Cosines diz que c2=a2+b2-2abcos(C)c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)c2=a2+b2-2abcos(C), onde aaaa, bbb, e ccc são comprimentos laterais de um triângulo e CCC é o ângulo oposto do lado ccc. Se você ligar 90 graus para CCC, você obtém o teorema de Pitágoras.
Naquela primeira classe de geometria, foi-nos dito o que poderíamos supor ser verdade – mas será que alguma vez paramos para perguntar porquê?
Quem decidiu exactamente o que podíamos tomar como certo? Porquê estes axiomas específicos? Porque não podíamos assumir que a Lei de Cosines era verdadeira, e porque tínhamos de a provar?
Os matemáticos têm pensado longa e arduamente sobre estas questões, e o consenso comunitário não é necessariamente sobre axiomas específicos que tomamos como verdadeiros, mas sobre um princípio: manter o número de suposições a um mínimo. Isto é semelhante a uma famosa técnica de resolução de problemas conhecida como a lâmina de barbear de Occam: “Quando se apresentam hipóteses concorrentes para resolver um problema, deve-se selecionar a solução com o menor número possível de suposições”
Determinação dos Axiomas
O problema de vir com um conjunto mínimo de axiomas dos quais todas as matemáticas seguem é mais difícil do que parece. Os matemáticos trabalham há anos para fazê-lo, e a tentativa mais famosa foi a Principia Mathematica, publicada em 1913 pelos matemáticos Alfred North Whitehead e Bertrand Russell. Em 1931, entretanto, o lógico Kurt Gödel provou que qualquer sistema desse tipo era impossível – em resumo, qualquer escolha de axiomas seria incompleta e incapaz de provar todas as matemáticas; ou inconsistente, e poderia ser usado para provar contradições.
Nao obstante, a matemática tem que começar de algum lugar, e assim os matemáticos definiram axiomas específicos para as especializações em que trabalham, como a geometria (pense nos axiomas de Euclides). Estes axiomas especializados são o que os geómetras, os algébricos, etc., decidiram ser o conjunto mínimo de suposições que precisam para fazer um trabalho produtivo e tirar conclusões válidas.
É através destes axiomas que podemos mostrar com rigor que 1 é de facto maior que 0 – não a partir de noções nebulosas como “intuição”, mas a partir de bases matemáticas sólidas construídas sobre o consenso axiomático da comunidade matemática.
Indeed, talvez seja isto que diferencia a nossa capacidade mental das de cinco meses de idade.
Como uma convenção de sidenote, a quebra de uma convenção e a exploração das consequências dos axiomas alternativos levaram à criação de ramos totalmente novos da matemática. Um exemplo é a geometria esférica, que atira as tradicionais fundações euclidianas pela janela. Em uma esfera, por exemplo, os ângulos de um triângulo podem somar mais de 180 graus.
Os Axiomas que Precisamos
“Deus fez os números naturais; tudo o resto é obra do homem.”
Leopold Kronecker, matemático alemão
Quando eu digo “conjunto mínimo de suposições”, há muitos níveis diferentes de “mínimo” em que podemos começar. Nosso nível fundacional de abstração pode ser potencialmente que tudo com o que temos que trabalhar são os números naturais – 1,2,3,…1, 2, 3, …1,2,3,… – como o Kronecker parece estar a defender. Alternativamente, podemos simplesmente tomar 1>01 >01>0 para ser um axioma.
Podemos ir em algumas direcções com a primeira abordagem. Existem os axiomas Peano, que são um conjunto de axiomas sobre os números naturais que visam descrever completamente o seu comportamento. Estes axiomas são quase como as Leis de Newton – não construídos, mas sim, uma descrição das propriedades “naturais” dos números naturais. Nesta abordagem, nós simplesmente definimos a ordem dos números naturais, então concluímos 1>01 > 01>0 por construção.
Definimos a ordenação dos números naturais como: para números naturais aaa e bbb, a≤ba \leq ba≤b se e somente se a+c=ba + c = ba+c=b para algum número natural ccc.
É válido, mas até certo ponto parece um pouco barato – estamos essencialmente a definir o nosso resultado na existência.
Por outro lado, poderíamos tentar provar 1>01 > 01>0 nos números reais. Entretanto, partindo dos fundamentos nesta direção é quase “muito próximo do hardware”, e para ir dos naturais (1,2,31, 2, 31,2,3, etc.) para os reais (ex. 2,π,3\sqrt{2}, \pi, 32,π,3) é necessário o uso de conceitos como seqüências de Cauchy, classes de equivalência, e mais – ferramentas que requerem um fundo profundo em álgebra moderna (o que, infelizmente, me falta).
Para tomar a última abordagem, axiomatizando nossa conclusão de que 1>01 > 01>0 em verdade, seria semelhante a comer sobremesa antes do jantar.
A abordagem que achei mais esclarecedora – acessível mas satisfatoriamente rigorosa – foi apresentada na minha aula de análise introdutória na Universidade de Michigan pelo Professor Stephen DeBacker. Vamos começar com um nível de abstração que seja facilmente compreensível – mas suficientemente separado logicamente do nosso resultado – para que ainda possamos ver em primeira mão como nossas suposições básicas podem ser usadas para formalizar a conclusão aparentemente simples que estamos buscando. Além disso, nossas suposições básicas serão as mesmas usadas pelos especialistas nas áreas de álgebra moderna e análise real – então eu diria que temos razão em escolher este lugar como ponto de partida.
Nossa “suposição mínima” é que os números reais satisfazem as propriedades abaixo, onde aaa, bbb, e ccc são números reais arbitrários. O termo comumente usado pela comunidade matemática para se referir a cada propriedade é listado entre parênteses ao lado de cada um.
- a+ba + ba+b é um número real (ou seja adicionar dois números reais resulta em outro número real, também conhecido como “fechamento sob adição”)
- a×ba \ vezes ba×b é um número real (“fechamento sob multiplicação”)
- a+b=b+aa + b = b + aa+b=b+a (i.e. podemos mudar a ordem dos addends, conhecidos como “comutatividade de adição”)
- (a+b)+c=a+(b+c)(a + b) + c = a + (b + c)(a+b)+c=a+(b+c) (i.e. podemos adicionar em qualquer ordem, conhecido como “associatividade de adição”)
- Existe um número real 000 tal que a+0=aa + 0 = aa+0=a (000 é um “elemento de identidade aditivo”)
- Existe um número real 000 tal que a+0=a + 0 = aa+0=a (000 é um “elemento de identidade aditivo”)
- Existe existe um número real xxx tal que a+x=0a + x = 0a+x=0 (xxx é um “elemento inverso aditivo”)
- a×b=b×aaa \times b = b \times aa×b=b×a (“comutatividade de multiplicação”)
- (a×b)×c=a×(b×c)(a \times b) \times c = a \times (b \times c)(a×b)×c=a×(b×c) (“associatividade da multiplicação”)
- There existe um número real 111 tal que a×1=aa \ vezes 1 = aa×1=a (1 é uma “identidade multiplicativa”)
- Existe um número real yyyy tal que a×y=1a \ vezes y = 1a×y=1, quando aaa não é zero (yyy é um “inverso multiplicativo”)
- a×(b+c)=a×b+a×ca \ vezes (b + c) = a \ vezes b + a \ vezes ca×(b+c)=a×b+a×c (“distributividade”)
- 1≠01 \neq 01=0
- Os números reais são separados em subconjuntos positivos e negativos
- Adicionar e multiplicar números positivos (i.e. números maiores que 000) juntos resultam num número positivo
- Cada número real aaa é positivo (a>0a > 0a>0), negativo (a<0a < 0a<0), ou o próprio zero (a=0a = 0a=0)
Por enquanto, podemos ligar alguns valores para aaaa, bbb, e ccc para obter uma intuição do porquê de cada uma destas propriedades se manterem. Novamente, existem maneiras de provar que os números reais satisfazem todas as propriedades acima usando ferramentas de álgebra moderna, mas sem esse fundo, o que temos acima é um ponto de partida muito acessível.
Também, não precisaremos usar todas as propriedades acima em nossa prova, mas eu as listei todas aqui porque uma coleção (potencialmente infinita) de números que satisfazem as primeiras doze propriedades tem um nome especial entre os matemáticos – um “campo”. Se essa coleção de números também satisfaz as três últimas propriedades, é chamada de “campo ordenado”. Essencialmente, nossa suposição é que os números reais formam um campo ordenado.
A Prova
Para começar nossa prova, assumimos nosso axioma – que os números reais formam um campo ordenado, e consequentemente preenchem as quinze propriedades acima.
Para começar, pelas propriedades (5) e (9) acima, sabemos que os números reais 000 e 111 existem. Por propriedades (15), sabemos que 111 ou é positivo, negativo, ou zero. Por propriedade (12), sabemos que 1≠01 \neq 01=0. Isso deixa duas possibilidades: ou 111 é positivo, e 1>01 >01>0; ou 111 é negativo, e 1<01 <01<0.
Agora procedemos por uma técnica conhecida como “prova por contradição”. Essencialmente, assumimos que algo que queremos mostrar é falso para ser verdade, e usamos a verdade assumida para provar algo que sabemos com certeza que não é verdade. A consequência lógica deste tipo de manobras é que deve ser impossível que aquilo que presumimos ser verdade seja de facto verdade, porque levou a uma impossibilidade. Portanto, deve ser falso.
Se temos algumas possibilidades de escolha, uma das quais deve ser verdadeira, esta tática é uma boa maneira de eliminar as escolhas impossíveis e reduzir o alcance do que é a possibilidade real.
Se a prova por contradição parece complicada, é – mas também é uma ferramenta matemática essencial. Às vezes, a complexidade de provar algo diretamente – sem contradição – torna o problema difícil o suficiente para que seja mais fácil mostrar que as possibilidades alternativas simplesmente não podem ser verdadeiras.
Vamos supor que 1<01 < 01<0 – que 111 é negativo – e mostrar que isso leva a uma impossibilidade. Uma impossibilidade potencial que poderíamos demonstrar é que essa suposição implica que 1≥01 \geq 01≥0, porque por propriedade (15), 111 não pode ser menor que zero e maior ou igual a zero ao mesmo tempo.
Por propriedade (6), existe um número real xxx tal que 1+x=01 + x = 01+x=0.
Podemos adicionar xxx a ambos os lados para obter 1+x<0+x1 + x < 0 + x1+x<0+x.
Desde a propriedade (5) diz-nos que 0+x=x0 + x = x0+x=x, podemos simplificar a desigualdade para 0<x0 < x0< x0<x.
Não podemos dizer ainda que xxx deve ser -1-1-1, no entanto – a propriedade (6) apenas diz que existe um número real xxx. Precisamos provar isso.
Um lema é uma verdade intermediária que podemos usar como prova de um resultado maior. Se algo é chamado de teorema ou lema não é necessariamente bem definido, mas em geral os lemas “nos ajudam” a provar o que realmente queremos.
Lemma: Elementos Inversos Aditivos são Únicos
No nosso caso, para provar que o xxx na propriedade (6) é único – especificamente, que existe apenas um número real xxx tal que 1+x=01 + x = 01+x=0 (e consequentemente, esse número real xxx deve ser -1-1-1), podemos novamente proceder por contradição.
Ponha que exista outro número real zzz, onde z≠xz \neq xz=x, tal que 1+z=01 + z = 01+z=0. Agora, considere a expressão x+1+zx + 1 + zx+1+z. Como a igualdade é reflexiva – ou seja, a=aa = aa=a para todos os aaa – sabemos que x+1+z=x+1+zx + 1 + z = x + 1 + zx+1+z=x+1+z.
Por propriedade (4), associatividade de adição, podemos agrupar os termos como (x+1)+z=x+(1+z)(x + 1) + z = x + (1 + z)(x+1)+z=x+(1+z).
Por propriedade (3), comutatividade de adição, podemos reorganizar a primeira quantidade a obter (1+x)+z=x+(1+z)(1 + x) + z = x + (1 + z)(1+x)+z=x+(1+z).
Desde 1+x1 + x1+x e 1+z1 + z1+z ambos iguais a zero, temos 0+z=x+00 + z = x + 00+z=x+0, e por propriedade (5), o elemento de identidade aditivo, z=xz = xz=x. No entanto, assumimos que z≠xz \neq xz=x, então temos uma contradição!
Assim, só pode existir um número real xxx tal que 1+x=01 + x = 01+x=0. Se substituirmos cada instância de 111 nas linhas acima por um número real arbitrário aaa, este lema demonstra que para qualquer número real aaa, existe um xxx único tal que a+x=0a + x = 0a+x=0. Como este xxx é único, podemos seguramente dar a este xxx um nome único, -a-a-a, resultando na noção familiar de negativos, onde a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0. No nosso caso específico, isto mostra que xxx deve ser igual a -1-1-1.
Lemma: Sinais Negativos “Cancelar”
Aplicando os resultados do lema acima, nossa desigualdade de antes, 0<x0 < x0<x, torna-se 0<-10 < -10<-1.
Por propriedade (14), o produto de números positivos é positivo, portanto 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1). Mas ainda não podemos dizer que “dois negativos se anulam um ao outro”, – nenhum dos axiomas implica isso! Precisamos provar que (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)(-1)=(1)(1)(1). Precisamos de outro lema.
No caso geral, para qualquer número real aaa, precisamos mostrar que (-a)(-a)=(a)(a)=a2(-a)(-a)(-a) = (a)(a)(a) = a^2(-a)(-a)=(a)(a)(a)=a2. Propriedade (6) – a suposição de que cada elemento tem um inverso aditivo – trata de sinais negativos, e poderia fornecer um caminho interessante para mostrar isso.
Se você sente que está pegando o jeito das coisas, sinta-se livre para parar aqui e tentar usar os axiomas para provar alguns dos resultados intermediários por conta própria. Se você ficar preso, você pode sempre rolar para baixo!
Desde que os inversos aditivos são únicos, sabemos que existe um número real único -a2-a^2-a2 tal que a2+(-a2)=0a^2 + (-a^2) = 0a2+(-a2)=0.
Por propriedade (3), a comutatividade da adição, temos -a2+a2=0-a^2 + a^2 = 0-a2+a2=0.
O lema anterior dizia-nos que se -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, então xxx é único, então se temos uma expressão da forma -a2+x=0-a^2 + x = 0-a2+x=0, devemos ter x=a2x = a^2x=a2. Assim, se pudermos mostrar que -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0, teremos a certeza que (-a)(-a)=a2(-a)(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Trabalhemos com a expressão -a2+(-a)(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a). Precisamos de alguma forma dividir -a2-a^2-a2 nos seus termos constituintes para a considerar, por isso precisamos de mais um lema – para provar que -a2=a(a)-a^2 = -a(a)-a2=-a(a).
Lemma: Produto de Negativo e Positivo é Negativo
Para este lema, vamos tomar uma abordagem semelhante à que começamos acima, usando a singularidade dos inversos aditivos para mostrar que um produto deve ser igual a outro produto. Como -a2-a^2-a2 é o único inverso aditivo de a2a^2a2, se mostrarmos que a2+(-a)(a)=0a^2 + (-a)(a) = 0a2+(-a)(a)=0, então (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Nota que a2=a(a)a^2 = a(a)a2=a(a), então por propriedade (7), a comutatividade da multiplicação, temos a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a)a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)a2+(-a)(a)=a(a)+a(-a).
Por propriedade (11), podemos fatorar a(a)+a(-a)a(a) + a(-a)a(a)+a(-a) em a(a+(-a))a(a + (-a))a(a+(-a)).
Por propriedade (6), a+(-a)=0a + (-a) = 0a+(-a)=0, então temos a2+(-a)(a)=a0a^2 + (-a)(a) = a0a2+(-a)(a)=a0.
Seria feito se a0=0a0 = 0a0=0, mas ainda não provamos isso!
Lemma: Produto com 0 é 0
Por propriedade (5), 0+0=00 + 0 = 00+0=0. Assim, podemos escrever a0=a(0+0)a0 = a(0 + 0)a0=a(0+0).
Por propriedade (11), isto distribui para a0=a0+a0a0 = a0 + a0a0=a0+a0.
Por propriedade (6), existe um único aditivo inverso -a0-a0-a0 de a0a0a0, para que possamos adicioná-lo aos dois lados da nossa equação para obter a0+(-a0)=a0+a0+(-a0)a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)a0+(-a0)=a0+a0+(-a0).
Simplificando, obtemos 0=a00 = a00=a0.
Colocando Tudo junto
Com isso, podemos concluir que a2+(-a)(a)=a0=0a^2 + (-a)(a) = a0 = 0a2+(-a)(a)=a0=0, então (-a)(a)=-a2(-a)(a) = -a^2(-a)(a)=-a2.
Bringing que no lema anterior, temos -a2+(-a)(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)-a2+(-a)(-a)=-a(a)+(-a)(-a)(-a).
Por propriedade (11), podemos então considerar esta expressão em -a2+(-a)(-a)(-a)=-a(a+(-a))-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))-a2+(-a)(-a)=-a(a+(-a)).
Por propriedade (6), juntando os inversores aditivos, temos -a2+(-a)(-a)=-a0-a^2 + (-a)(-a)(-a) = -a0-a2+(-a)(-a)=-a0, portanto -a2+(-a)(-a)=0-a^2 + (-a)(-a)(-a) = 0-a2+(-a)(-a)=0.
Assim, (-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a)(-a) é o inverso aditivo único de -a2-a^2-a2, e portanto (-a)(-a)=a2(-a)(-a)(-a) = a^2(-a)(-a)=a2.
Até ao topo, ficamos em 0<(-1)(-1)0 < (-1)(-1)0<(-1)(-1)0<(-1)(-1)(-1). Este último lema diz-nos que (-1)(-1)=(1)(1)(-1)(-1)(-1) = (1)(1)(-1)(-1)(-1)=(1)(1)(1). Por propriedade (9), o elemento de identidade multiplicativo, (1)(1)=1(1)(1) = 1(1)(1)=1. Assim, temos 0<10 < 10<1, portanto 1>01 >01>0.
Esta é uma contradição, pois assumimos que 1<01 < 01<0! Por propriedade (15), cada número real ou é positivo, negativo ou zero – nenhum número pode ser tanto positivo como negativo ao mesmo tempo! Assim, temos uma impossibilidade, e nossa suposição original – 1<01 < 01<0 – não pode ser mantida. Podemos eliminar essa possibilidade, deixando apenas um caso restante: 1>01 >01>0. Como sabemos que cada número real deve cair em um dos três casos, e eliminamos dois deles, devemos ter 1>01 >01>0.
Como Peter Thiel tão bem disse, que fresco e estranho.