Cálculo de variações
Mais do final do século XVII e boa parte do início do século XVIII foram retomados pelo trabalho dos discípulos de Newton e Leibniz, que aplicaram suas idéias sobre cálculo na resolução de uma variedade de problemas em física, astronomia e engenharia.
O período foi dominado, no entanto, por uma família, a dos Bernoulli de Basileia, na Suíça, que se orgulhava de duas ou três gerações de matemáticos excepcionais, particularmente os irmãos Jacob e Johann. Eles foram os principais responsáveis pelo desenvolvimento do cálculo infinitesimal de Leibniz – parcialmente através da generalização e extensão do cálculo conhecido como “cálculo das variações” – assim como da probabilidade e teoria dos números de Pascal e Fermat.
Basel foi também a cidade natal do maior matemático do século XVIII, Leonhard Euler, embora, em parte devido às dificuldades em se estabelecer numa cidade dominada pela família Bernoulli, Euler passou a maior parte do seu tempo no estrangeiro, na Alemanha e em São Petersburgo, na Rússia. Ele se destacou em todos os aspectos da matemática, da geometria ao cálculo, da trigonometria à álgebra à teoria dos números, e foi capaz de encontrar ligações inesperadas entre os diferentes campos. Ele provou numerosos teoremas, foi pioneiro em novos métodos, padronizou a notação matemática e escreveu muitos livros influentes ao longo de sua longa vida acadêmica.
Em uma carta para Euler em 1742, o matemático alemão Christian Goldbach propôs a Conjectura Goldbach, que afirma que cada inteiro maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois primes (e.g. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; etc.) ou, em outra versão equivalente, cada número inteiro maior que 5 pode ser expresso como a soma de três primes. Ainda outra versão é a chamada Conjectura Goldbach “fraca”, que todos os números ímpares maiores que 7 são a soma de três primes ímpares. Eles permanecem entre os mais antigos problemas não resolvidos na teoria dos números (e em todas as matemáticas), embora a forma fraca da conjectura pareça estar mais próxima da resolução do que a forte. Goldbach também provou outros teoremas na teoria dos números como o Teorema de Goldbach-Euler sobre poderes perfeitos.
Embora Euler e os Bernoullis dominassem a matemática do século XVIII, muitos dos outros importantes matemáticos eram franceses. No início do século, Abraham de Moivre é talvez mais conhecido pela fórmula de Moivre, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), que liga números complexos e trigonometria. Mas ele também generalizou o famoso teorema binomial de Newton no teorema multinomial, foi pioneiro no desenvolvimento da geometria analítica, e seu trabalho sobre a distribuição normal (ele deu a primeira afirmação da fórmula para a curva de distribuição normal) e a teoria da probabilidade foram de grande importância.
França tornou-se ainda mais proeminente no final do século, e um punhado de matemáticos franceses do final do século XVIII em particular merecem menção neste ponto, começando com “os três L’s”.
Joseph Louis Lagrange colaborou com Euler num importante trabalho conjunto sobre o cálculo da variação, mas também contribuiu para as equações diferenciais e teoria dos números, sendo-lhe geralmente creditada a origem da teoria dos grupos, que se tornaria tão importante na matemática dos séculos XIX e XX. Seu nome é dado a um teorema inicial na teoria dos grupos, que afirma que o número de elementos de cada subgrupo de um grupo finito se divide igualmente no número de elementos do grupo finito original.Teorema do valor médio do desfasamento
Tempo do valor médio do desfasamento
Tempo do valor médio do desfasamento
Tempo do valor médio do desfasamento, que qualquer número natural pode ser representado como a soma de quatro quadrados (e.g. 3 = 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; etc.), assim como outro teorema, também conhecido confusamente como Teorema de Lagrange ou Teorema do Valor Médio de Lagrange, que afirma que, dada uma seção de uma curva contínua (diferenciável) suave, há pelo menos um ponto nessa seção em que a derivada (ou inclinação) da curva é igual (ou paralela) à média (ou média) da derivada da seção. O tratado de Lagrange de 1788 sobre mecânica analítica ofereceu o tratamento mais abrangente da mecânica clássica desde Newton, e formou uma base para o desenvolvimento da física matemática no século XIX.
Pierre-Simon Laplace, por vezes referido como “o Newton francês”, foi um importante matemático e astrônomo, cujo monumental trabalho “Mecânica Celestial” traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica para um baseado no cálculo, abrindo uma gama muito mais ampla de problemas. Embora seu trabalho inicial fosse principalmente sobre equações diferenciais e diferenças finitas, ele já estava começando a pensar nos conceitos matemáticos e filosóficos de probabilidade e estatística na década de 1770, e ele desenvolveu sua própria versão da chamada interpretação Bayesiana de probabilidade, independentemente de Thomas Bayes. Laplace é bem conhecido por sua crença no determinismo científico completo, e ele sustentou que deveria haver um conjunto de leis científicas que nos permitiria – pelo menos em princípio – prever tudo sobre o universo e como ele funciona.
Os seis primeiros polinómios de Legendre
Os seis primeiros polinómios de Legendre (soluções para a equação diferencial de Legendre)
Adrien-Marie Legendre também fez contribuições importantes para a estatística, teoria dos números, Álgebra abstrata e análise matemática no final do século 18 e início do século 19, embora grande parte de seu trabalho (como o método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas e regressão linear, a lei da reciprocidade quadrática, o teorema do número primo e seu trabalho sobre funções elípticas) só foi levado à perfeição – ou, pelo menos, à notoriedade geral – por outros, particularmente Gauss. Seus “Elementos de Geometria”, um re-trabalho do livro de Euclides, tornou-se o principal livro de geometria por quase 100 anos, e sua medição extremamente precisa do meridiano terrestre inspirou a criação, e adoção quase universal, do sistema métrico de medidas e pesos.
Já outro francês, Gaspard Monge foi o inventor da geometria descritiva, um método inteligente de representar objetos tridimensionais por projeções no plano bidimensional usando um conjunto específico de procedimentos, uma técnica que mais tarde se tornaria importante nos campos da engenharia, arquitetura e design. Sua projeção ortográfica tornou-se o método gráfico utilizado em quase todos os desenhos mecânicos modernos.
Após muitos séculos de aproximações cada vez mais precisas, Johann Lambert, um matemático suíço e astrônomo proeminente, finalmente forneceu uma prova rigorosa em 1761 de que π é irracional, ou seja, não pode ser expresso como uma simples fração usando apenas números inteiros ou como uma terminação ou repetição decimal. Isto provou definitivamente que nunca seria possível calculá-lo exatamente, embora a obsessão em obter aproximações mais e mais precisas continue até hoje. (Mais de cem anos depois, em 1882, Ferdinand von Lindemann provaria que π também é transcendental, ou seja, não pode ser a raiz de qualquer equação polinomial com coeficientes racionais). Lambert foi também o primeiro a introduzir funções hiperbólicas na trigonometria e fez algumas conjecturas prescientes sobre o espaço não-euclidiano e as propriedades dos triângulos hiperbólicos.
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