Idea
Teoria YangâMills é uma teoria de calibre sobre um determinado manifold 4-dimensional (pseudo-)Riemanniano XX cujo campo é o campo YangâMills â?” um cociclo ââH(X,B¯U(n))nabla {H}(X,{B}U(n)) em coomologia diferencial não-eleitoral representada por um feixe vetorial com conexão â?” e cuja ação funcional é
for
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F âF_\anabla a força do campo, localmente a curvatura ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie algebra forma diferencial valorizada em XX ( com ð²(n)\mathfrak{u}(n) a Álgebra de mentira do grupo unitário U(n)U(n));
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â\star o operador estrela Hodge da métrica gg;
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1g 2\frac{1}{g^2} a constante de acoplamento Yang-Mills e θ\theta o ângulo theta, alguns números reais (ver em S-duality).
(Veja este exemplo em A first idea of quantum field theory.)
Propriedades
Classificação de soluções
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Teorema de Narasimhan-Seshadri
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Teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau
Quantificação
Embora o seu papel fundamental no modelo padrão da física de partículas, vários detalhes da quantização da teoria de Yang-Mills ainda estão em aberto. Veja na quantização da teoria de Yang-Mills.
Aplicações
Todos os campos de medida no modelo padrão da física de partículas, bem como nos modelos GUT são campos YangâMills.
Os campos de matéria no modelo padrão são spinors carregados sob o campo Yang-Mills. Veja
- spinors na teoria de Yang-Mills
História
De Jaffe-Witten:
Quando a teoria de YangâMills foi descoberta, nos anos 50, já se sabia que a versão quântica da teoria de Maxwell – conhecida como Electrodinâmica Quântica ou QED – dá um relato extremamente preciso dos campos e forças eletromagnéticas. Na verdade, o QED melhorou a precisão de certas previsões anteriores da teoria quântica por várias ordens de magnitude, bem como a previsão de novas divisões de níveis de energia.
Então foi natural perguntar se a teoria de calibre não-abeliano descrevia outras forças na natureza, notavelmente a força fraca (responsável entre outras coisas por certas formas de radioatividade) e a força forte ou nuclear (responsável entre outras coisas pela ligação de prótons e nêutrons em núcleos). A natureza sem massa das ondas clássicas YangâMills foi um sério obstáculo à aplicação da teoria YangâMills às outras forças, pois as forças fracas e nucleares são de curto alcance e muitas das partículas são maciças. Assim, estes fenómenos não pareciam estar associados a campos de longo alcance descrevendo partículas sem massa.
Nas décadas de 1960 e 1970, os físicos superaram estes obstáculos à interpretação física da teoria de bitola não rotulada. No caso da força fraca, isto foi realizado pela teoria de GlashowâSalamâWeinberg electroweak com grupo de medida H=H = SU(2) ÃÃ?vezes U(1). Ao elaborar a teoria com um campo adicional “Higgs”, evitou-se a natureza sem massa das ondas clássicas de YangâMills. O campo Higgs se transforma em uma representação bidimensional de HH; seu valor não-zero e aproximadamente constante no estado de vácuo reduz o grupo de estrutura de HH para um subgrupo U(1)U(1) (diagonalmente embutido em SU(2)ÃU(1)SU(2) \ vezes U(1). Esta teoria descreve as forças eletromagnéticas e fracas, de forma mais ou menos unificada; devido à redução do grupo de estrutura para U(1)U(1), os campos de longo alcance são apenas os do eletromagnetismo, de acordo com o que vemos na natureza.
A solução para o problema dos campos YangâMills sem massa para as interações fortes tem uma natureza completamente diferente. Essa solução não veio da adição de campos à teoria de YangâMills, mas pela descoberta de uma propriedade notável da própria teoria quântica de YangâMills, ou seja, da teoria quântica cujo clássico Lagrangian foi dado ]. Esta propriedade é chamada de “liberdade asintimótica”. Isto significa que a curtas distâncias o campo apresenta um comportamento quântico muito semelhante ao seu comportamento clássico; mas a longas distâncias a teoria clássica não é mais um bom guia para o comportamento quântico do campo.
A liberdade assintótica, juntamente com outras descobertas experimentais e teóricas feitas nas décadas de 1960 e 1970, tornaram possível descrever a força nuclear por uma teoria de medida não-elebética na qual o grupo de medida é G=G = SU(3). Os campos adicionais descrevem, ao nível clássico, âquarks,â que são objectos spin 1/2 algo análogos ao electrão, mas que se transformam na representação fundamental do SU(3)SU(3). A teoria não-abeliana da força forte chama-se Cromodinâmica Quântica (QCD).
O uso da QCD para descrever a força forte foi motivado por toda uma série de descobertas experimentais e teóricas feitas nos anos 60 e 70, envolvendo as simetrias e o comportamento de alta energia das fortes interações. Mas a teoria clássica do calibre não-abeliano é muito diferente do mundo observado das interações fortes; para que o DQTD descreva a força forte com sucesso, ele deve ter no nível quântico as três propriedades seguintes, cada uma delas dramaticamente diferente do comportamento da teoria clássica:
(1) Ele deve ter um intervalo âmass;â nomeadamente deve haver alguma constante Î>0\Delta \gt 0 de tal forma que cada excitação do vácuo tenha energia pelo menos Î\Delta.
(2) Deve ter âquark confinamento,â ou seja, ainda que a teoria seja descrita em termos de campos elementares, como os campos quark, que transformam não trivialmente sob SU(3), os estados de partículas físicas â como o próton, o nêutron e o pioneiro âare SU(3)-invariantes.
(3) Ele deve ter uma quebra de simetria em forma de espiral, o que significa que o vácuo é potencialmente invariante (no limite, que as massas de quark-bare desaparecem) apenas sob um certo subgrupo do grupo de simetria total que atua sobre os campos de quark.
O primeiro ponto é necessário para explicar porque a força nuclear é forte mas de curto alcance; o segundo é necessário para explicar porque nunca vemos quarks individuais; e o terceiro é necessário para explicar a teoria da “álgebra corrente” das cebolas macias que foi desenvolvida nos anos 60.
ambos os experimentos – desde que o QCD tem numerosos sucessos em confronto com os experimentos – e simulações computadorizadas, realizadas desde o final dos anos 70, têm dado um forte incentivo para que o QCD tenha as propriedades citadas acima. Estas propriedades podem ser vistas, até certo ponto, em cálculos teóricos realizados em uma variedade de modelos altamente simplificados (como a teoria do calibre da malha fortemente acoplada). Mas não são totalmente compreendidas teoricamente; não existe um cálculo teórico convincente, matematicamente completo ou não, demonstrando qualquer uma das três propriedades do QCD, em oposição a uma truncagem severamente simplificada do mesmo.
Este é o problema da quantificação não-perturbativa da teoria Yang-Mills. Veja aqui para mais informações.
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D=5 Teoria de Yang-Mills
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teoria de Yang-Mills massiva
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teoria de Yang-Mills autodual
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super Yang-Teoria de Mills
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Acoplamento mínimo
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Notação de linha dupla Hooft
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Teoria de Einstein-Yang-Mills
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Einstein-Teoria de Maxwell
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Teoria de Einstein-Yang-Mills-Dirac
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Teoria de Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs
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Yang-Equação de Mills
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modelo padrão de física de partículas
- >
eletromagnetismo
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spinadores na teoria de Yang-Mills
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QED, QCD,
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electroweak field
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Yang monopole, ‘t Hooft-Polyakov monopole
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S-duality, Dualidade Montonen-Olive
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dualidade electromagnética
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dualidade geométrica Langlands
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Teoria de Chhern-Simons
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Yang-Mills instanton
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- confinamento
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liberdade assintótica
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Geral
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A teoria de Yang-Mills tem o nome do artigo
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- Chen Ning Yang, Robert Mills, Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Revisão Física 96 (1): 191â 195. (1954) (web)
que foi o primeiro a generalizar o princípio do eletromagnetismo para um grupo de bitola não-abaliana. Isto se tornou aceito como formulação de QCD e interações fracas (somente) após a quebra de simetria espontânea (o mecanismo de Higgs) ter sido entendida na década de 1960.
Revisões modernas do básico
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Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)
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Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf
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José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory
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Karen Uhlenbeck, notas de Laura Fredrickson, Equações da Teoria de Gauge, palestra na Temple University, 2012 (pdf, pdf)
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Simon Donaldson, Teoria de Gauge: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Páginas 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, author pdf, pdf)
-
Mikio Nakahara, Seção 10.5.4 de: Geometria, Topologia e Física, PIO 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)
Veja também as referências no QCD, teoria de bitola, Yang-Mills monopolo, Yang-Mills instantâneo e na teoria do super Yang-Mills.
Discussão clássica da teoria YM sobre as superfícies de Riemann (que está intimamente relacionada com a teoria de Chern-Simons, ver também no espaço moduli de conexões planas) está em
- Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equações sobre as superfícies de Riemann, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Série A, Ciências Matemáticas e Físicas
Vol. 308, No. 1505 (Mar. 17, 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)
que é revisto nas notas da palestra
- Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)
Para a relação com a homologia instantânea de Floer ver também
- Simon Donaldson, Grupos de homologia Floer na teoria Yang-Mills da Universidade de Cambridge Press (2002) (pdf)
Para a relação com os números de Tamagawa ver
- Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, teoria Yang-Mills e números de Tamagawa (arXiv:0801.4733)
Soluções clássicas
Wu e Yang (1968) encontraram uma solução estática para as equações de sourceless SU(2)SU(2) Yang-Mills. Referências recentes incluem
- J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classic solutions and conformal invariance
Existe uma revisão antiga,
- Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),
que fornece algumas das soluções conhecidas da teoria do SU(2)SU(2) gauge em Minkowski (monopolos, ondas planas, etc) e do espaço euclidiano (instantâneos e seus primos). Para grupos de bitola geral pode-se obter soluções incorporando SU(2)SU(2)âs.
Para os instantâneos Yang-Mills a solução mais geral é conhecida, primeiro elaborada por
- Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construção de instantâneos, Cartas de Física 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf
para os grupos clássicos SU, SO , Sp, e depois por
- C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)
para os grupos excepcionais Lie. A última reviravolta na história do instantâneo Yang-Mills é a construção de soluções com holonomia não trivial:
- Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Instantes periódicos com holonomia não trivial, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168
Existe um belo conjunto de notas de palestra
- David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),
sobre soluções topológicas com diferentes co-dimensões (instantâneos, monopolos, vórtices, paredes de domínio). Note, entretanto, que exceto para instantâneos, estas soluções tipicamente requerem escalares extras e U(1)âs quebrados, como se pode encontrar nas teorias de super Yang-Mills.
algum do material usado aqui foi retirado de
- TP.SE, Que soluções exatas das equações clássicas de Yang-Mills são conhecidas?
Um outro modelo com campos Yang-Mills foi proposto por Curci e Ferrari, veja Curci-Ferrari modelo.
Veja também
- DispersiveWiki, equações Yang-Mills