Você provavelmente já encontrou centenas de vezes na sua vida diária objectos unilaterais – como o símbolo universal para reciclagem, encontrado impresso nas costas de latas de alumínio e garrafas de plástico.
Este objecto matemático é chamado uma tira Mobius. Tem fascinado ambientalistas, artistas, engenheiros, matemáticos e muitos outros desde sua descoberta em 1858 por August Möbius, um matemático alemão que morreu 150 anos atrás, em 26 de setembro de 1868.
Möbius descobriu a tira unilateral em 1858 enquanto servia como a cadeira de astronomia e mecânica superior na Universidade de Leipzig. (Outro matemático chamado Listing, na verdade descreveu-a alguns meses antes, mas não publicou o seu trabalho até 1861). Möbius parece ter encontrado a tira de Möbius enquanto trabalhava na teoria geométrica dos poliedros, figuras sólidas compostas de vértices, bordas e faces planas.
Uma tira de Möbius pode ser criada pegando uma tira de papel, dando-lhe um número ímpar de meia-volta, depois colando as extremidades novamente para formar um laço. Se você pegar um lápis e desenhar uma linha ao longo do centro da tira, você verá que a linha aparentemente corre ao longo dos dois lados do laço.
O conceito de um objecto unilateral inspirou artistas como o designer gráfico holandês M.C. Escher, cuja talha “Möbius Strip II” mostra formigas vermelhas a rastejar uma após a outra ao longo de uma tira Möbius.
A faixa de Möbius tem mais do que uma propriedade surpreendente. Por exemplo, tente pegar um par de tesouras e cortar a tira ao meio ao longo da linha que acabou de desenhar. Você pode se surpreender ao descobrir que você não fica com duas tiras menores de Möbius de um lado, mas sim com um laço longo de dois lados. Se você não tem um pedaço de papel à mão, a talha “Möbius Strip I” do Escher mostra o que acontece quando uma tira de Möbius é cortada ao longo de sua linha central.
Embora a tira certamente tenha apelo visual, seu maior impacto tem sido na matemática, onde ajudou a estimular o desenvolvimento de todo um campo chamado topologia.
Um topólogo estuda as propriedades dos objetos que são preservados quando movidos, dobrados, esticados ou torcidos, sem cortar ou colar peças. Por exemplo, um par de brincos emaranhado é no sentido topológico o mesmo que um par de brincos sem emaranhado, pois a mudança de um para o outro requer apenas movimento, dobra e torção. Não é necessário cortar ou colar para transformar entre eles.
Outros pares de objetos que são topologicamente iguais são uma xícara de café e um donut. Como os dois objetos têm apenas um furo, um pode ser deformado no outro através de apenas esticar e dobrar.
O número de furos num objecto é uma propriedade que só pode ser alterada através de corte ou colagem. Esta propriedade – chamada o “gênero” de um objeto – nos permite dizer que um par de brincos e um donut são topologicamente diferentes, pois um donut tem um furo, enquanto um par de brincos não tem furos.
Felizmente, uma tira de Möbius e um laço de duas faces, como uma típica pulseira de silicone, ambos parecem ter um furo, portanto esta propriedade é insuficiente para distingui-los – pelo menos do ponto de vista de um topólogo.
Em vez disso, a propriedade que distingue uma tira de Möbius de um laço de duas faces é chamada de orientabilidade. Tal como o seu número de furos, a orientação de um objecto só pode ser alterada através de corte ou colagem.
Imagine escrever uma nota sobre uma superfície transparente, e depois dar uma volta sobre essa superfície. A superfície é orientável se, ao voltar do seu passeio, puder sempre ler a nota. Numa superfície não orientável, poderá voltar do seu passeio apenas para descobrir que as palavras que escreveu se transformaram aparentemente na sua imagem espelho e só podem ser lidas da direita para a esquerda. No loop de dois lados, a nota será sempre lida da esquerda para a direita, não importa para onde a sua viagem o levou.
Desde que a faixa de Möbius é não-orientável, enquanto que o laço de duas faces é orientável, isso significa que a faixa de Möbius e o laço de duas faces são topologicamente diferentes.
O conceito de orientabilidade tem implicações importantes. Pegue os enantiômeros. Estes compostos químicos têm as mesmas estruturas químicas, exceto por uma diferença chave: Eles são imagens espelhadas uns dos outros. Por exemplo, o químico L-metanfetamina é um ingrediente dos Inaladores de Vapor Vicks. Sua imagem em espelho, D-metanfetamina, é uma droga ilegal Classe A. Se vivêssemos num mundo não orientável, estes químicos seriam indistinguíveis.
A descoberta de Agosto de Möbius abriu novas formas de estudar o mundo natural. O estudo da topologia continua a produzir resultados impressionantes. Por exemplo, no ano passado, a topologia levou os cientistas a descobrir novos estados estranhos da matéria. A Medalha Fields deste ano, a maior honra em matemática, foi concedida a Akshay Venkatesh, um matemático que ajudou a integrar a topologia com outros campos, como a teoria dos números.