Como o triângulo 30-60-90 é baseado num triângulo equilátero, o triângulo 45-45-90 é baseado num quadrado, os triângulos 18-72-90 e 36-54-90 são baseados no pentágono regular (ver https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), e o 22.O triângulo 5-67,5-90 é baseado no octógono regular (ver post anterior), portanto o triângulo 15-75-90 é baseado no dodecagon regular, mostrado aqui com três raios (vermelho) e uma única diagonal (púrpura). O triângulo 15-75-90 é mostrado em amarelo. Um argumento de simetria é suficiente para mostrar que o ângulo EFC é o triângulo direito neste triângulo, e o maior de seus dois ângulos agudos (ângulo FCE) é metade de um ângulo interior deste dodecágono. O ângulo interior de um decágono regular mede 150 graus (a prova disso é trivial), e assim o ângulo FCE deve medir metade dessa quantidade, ou 75 graus. Isto deixa 15 graus para o ângulo CEF, através do teorema da soma triangular.
E os comprimentos laterais do triângulo 15-75-90, no entanto? Primeiro, considere as diagonais vermelhas mostradas, e deixe cada uma delas ter um comprimento de 2. Os ângulos DAF e FAE medem cada um 30 graus, desde 360/12 = 30, e são ângulos centrais entre os raios adjacentes. Isto faz com que o ângulo DAE 60 graus por adição angular, e o triângulo DAE é conhecido por ser isósceles, uma vez que os dois lados vermelhos são raios do mesmo dodecagon regular, e portanto são congruentes. Pelo teorema do triângulo isósceles e pelo teorema da soma triangular, então, os ângulos ADE e AED também medem (180-60)/2 = 60 graus, então o triângulo ADE é, portanto, equilátero, com o lado roxo, DE, tendo também um comprimento de dois. A simetria é suficiente para ver que DE é dividido pelo raio AC, o que leva a concluir que EF, a perna longa do triângulo 15-75-90, tem um comprimento de 1,
Segmento AF é uma mediana, e portanto também uma altitude, do triângulo equilátero ADE, e o divide em dois triângulos 30-60-90, um dos quais é triângulo AEF. Sua hipotenusa, AE, já é conhecida por ter um comprimento de 2, enquanto sua perna curta, EF, já é conhecida por ter um comprimento de 1. Segmento AF é, portanto, a perna longa deste triângulo de 30-60-90, com um comprimento de √3.
AF, comprimento √3, e FC, a perna curta do triângulo 15-75-90, juntas formam o raio dodecagon AC, já definido no comprimento 2. Por subtração de comprimento, então, FC, a perna curta do triângulo 15-75-90, tem um comprimento de 2 – √3. Um teste é prudente neste ponto, tomando a tangente do ângulo FEC de 15 graus no triângulo amarelo. Tan(15 graus) é igual a 0,26794919…, que é também a aproximação decimal para FC/EF, ou (2 – √3)/1,
Tudo o que falta saber as relações de comprimento para os lados do triângulo 15-75-90 é determinar o comprimento da CE, a sua hipotenusa, através do Teorema de Pitágoras. O quadrado de comprimento CE deve ser igual ao quadrado de 1 mais o quadrado de (2 – √3), portanto CE, ao quadrado, é igual a 1 + 4 – 4√3 + 3, ou 8 – 4√3. A hipotenusa (CE) deve portanto ser a raiz quadrada de 8 – 4√3, que é √(8-4√3) = 2√(2-√3)).
A perna curta:perna longa:relação hipotenusa num triângulo 15-75-90 é, portanto, (2-√3):1:2√(2-√3)).