Pré-scriptum (datada de 26 de Junho de 2020): Estes posts sobre matemática elementar e física não sofreram muito o ataque da força negra – o que é bom porque ainda gosto deles. Embora minha visão sobre a verdadeira natureza da luz, da matéria e da força ou forças que atuam sobre eles tenha evoluído significativamente como parte de minhas explorações de uma explicação mais realista (clássica) da mecânica quântica, eu acho que a maioria (se não toda) da análise neste post continua válida e divertida de ler. Na verdade, eu acho que o mais simples é muitas vezes o melhor. 🙂
Post original:
O meu primeiro título de trabalho para este post foi Música e Modos. Sim. Modos. Não humods. A relação entre música e modos também é um tema de pesquisa interessante, mas não é sobre isso que vou escrever. 🙂
Comecei pensando que eu deveria escrever algo sobre modos de fato, porque o conceito de um modo de onda, ou qualquer oscilador realmente, é bastante central para a física, tanto na física clássica quanto na física quântica (sistemas quântico-mecânicos são analisados como osciladores também!). Mas eu me perguntava como abordar isso, pois é um tema bastante enfadonho se você olhar apenas para a matemática. Mas então eu estava voando de volta da Europa, para a Ásia, onde eu moro e, como também estou tocando um pouco de guitarra, de repente eu queria saber porque gostamos de música. E então pensei que essa é uma pergunta que você pode ter feito a si mesmo em algum momento também! E então pensei que deveria escrever sobre modos como parte de uma história mais interessante: uma história sobre música – ou, para ser mais preciso, uma história sobre a física por trás da música. Então… Vamos a isso.
Filosofia versus Física
Há, claro, uma resposta muito simples à questão de porque gostamos de música: gostamos de música porque é música. Se não fosse música, não iríamos gostar. Essa é uma resposta bastante filosófica, e provavelmente satisfaz a maioria das pessoas. Entretanto, para alguém que estuda física, essa resposta certamente não pode ser suficiente. O que está por trás da física? Revi a palestra de Feynman sobre ondas sonoras no avião, combinei-a com algumas outras coisas que pesquisei no Google quando cheguei, e depois escrevi este post, o que dá uma resposta muito menos filosófica. 🙂
A observação no centro da discussão é enganosamente simples: porque é que cordas semelhantes (ou seja cordas feitas do mesmo material, com a mesma espessura, etc.), sob a mesma tensão mas diferindo em comprimento, soam ‘agradáveis’ quando soam juntas se – e só se – a proporção do comprimento das cordas é como 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5, etc. (ou seja, como qualquer outra proporção de dois inteiros pequenos)?
Você provavelmente se pergunta: é essa a pergunta, realmente? É. A pergunta é enganosamente simples de fato porque, como você verá em um momento, a resposta é bastante complicada. Tão complicada, na verdade, que os pitagóricos não tiveram nenhuma resposta. Nem ninguém, até o século XVIII, quando músicos, físicos e matemáticos começaram a perceber que uma corda (de uma guitarra, ou um piano, ou qualquer instrumento em que Pitágoras estivesse pensando na época), ou uma coluna de ar (num órgão de tubos ou numa trombeta, por exemplo), ou qualquer outra coisa que realmente cria o tom musical, na verdade oscila em numerosas freqüências simultaneamente.
Os pitagóricos não suspeitaram que uma corda, em si mesma, é uma coisa bastante complicada – algo a que os físicos se referem como um oscilador harmónico – e que o seu som, portanto, é na verdade produzido por muitas frequências, em vez de apenas uma. O conceito de uma nota pura, ou seja, um tom livre de harmónicos (ou seja, livre de todas as outras frequências, excepto a frequência fundamental) também não existia na altura. E se existisse, eles não seriam capazes de produzir um tom puro de qualquer forma: produzir tons puros – ou notas, como lhes chamarei, de forma algo imprecisa (devo dizer: um tom puro) – é notavelmente complicado, e eles não existem na Natureza. Se os pitagóricos tivessem sido capazes de produzir tons puros, teriam observado que tons puros não dão nenhuma sensação de consonância ou dissonância se suas freqüências relativas respeitam essas simples proporções. De fato, experiências repetidas, nas quais tais tons puros estão sendo produzidos, mostraram que os seres humanos não podem realmente dizer se é um som musical ou não: é apenas som, e não é agradável (ou consoante, devemos dizer) ou desagradável (ou seja, dissonante).
A observação pitagórica é válida, no entanto, para tons musicais reais (ou seja, não puros). Em resumo, precisamos distinguir entre tons e notas (ou seja, tons puros): são duas coisas muito diferentes, e a essência de todo o argumento é que os tons musicais que saem de uma (ou mais) corda(s) sob tensão estão cheios de harmônicas e, como explicarei em um minuto, é isso que explica a relação observada entre os comprimentos dessas cordas e o fenômeno da consonância (i.e. soando ‘agradável’) ou dissonância (i.e. soando ‘desagradável’).
Obviamente, é fácil dizer o que digo acima: estamos em 2015 agora, e por isso temos o benefício da visão a posteriori. Naquela época – então isso foi há mais de 2.500 anos! – o simples mas notável facto de que os comprimentos de cordas semelhantes devem respeitar alguma relação simples se quiserem soar ‘simpáticos’ juntos, desencadeou um fascínio pela teoria dos números (de facto, os pitagóricos realmente estabeleceram os fundamentos do que é agora conhecido como teoria dos números). De facto, Pitágoras sentia que relações semelhantes também se deveriam manter para outros fenómenos naturais! Para mencionar apenas um exemplo, os pitágoricos também acreditavam que as órbitas dos planetas também respeitariam tais relações numéricas simples, razão pela qual falavam da ‘música das esferas’ (Musica Universalis).
Agora sabemos que os pitágoricos estavam errados. As proporções nos movimentos dos planetas ao redor do Sol não respeitam relações simples e, com o benefício da retrospectiva mais uma vez, é lamentável que tenham sido necessárias muitas pessoas corajosas e brilhantes, como Galileu Galilei e Copérnico, para convencer a Igreja desse fato. 😦 Também, enquanto as observações de Pitágoras a respeito dos sons que saíam das cordas que ele estava olhando estavam corretas, suas conclusões estavam erradas: a observação não implica que as freqüências das notas musicais devam estar todas em alguma relação simples uma com a outra.
Deixe-me repetir o que escrevi acima: as freqüências das notas musicais não estão em alguma relação simples uma com a outra. A escala de frequências para todos os tons musicais é logarítmica e, embora isso implique que podemos, efectivamente, fazer alguns truques com rácios baseados nas propriedades da escala logarítmica (como explicarei daqui a pouco), o chamado sistema de afinação ‘pitagórico’, que se baseia em rácios simples, estava completamente errado, mesmo que ele – ou alguma variante dele (em vez do rácio 3:2, os músicos usaram o rácio 5:4 a partir de cerca de 1510) – tenha sido geralmente usado até ao século XVIII! Em suma, Pitágoras estava errado – pelo menos neste aspecto: não podemos fazer muito com essas relações simples.
Dizendo que a intuição básica de Pitágoras estava certa, e que essa intuição ainda é muito o que impulsiona a física de hoje: é a ideia de que a Natureza pode ser descrita, ou explicada (seja lá o que isso significa), apenas por relações quantitativas. Vamos dar uma olhada em como ela realmente funciona para a música.
Tons, ruídos e notas
Vamos primeiro definir e distinguir tons e notas. Um tom musical é o oposto de ruído, e a diferença entre os dois é que os tons musicais são formas de onda periódicas, portanto eles têm um período T, como ilustrado abaixo. Em contraste, o ruído é uma forma de onda não periódica. É tão simples quanto isso.
Agora, a partir de posts anteriores, você sabe que podemos escrever qualquer função de período como a soma de um número potencialmente infinito de funções harmônicas simples, e que esta soma é referida como a série Fourier. Estou apenas anotando aqui, então não se preocupe com isso como por enquanto. Voltarei a ela mais tarde.
Você também sabe que nós temos sete notas musicais: Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si ou, mais comuns no mundo de língua inglesa, A-B-C-D-E-F-G. E depois começa novamente com A (ou Do). Assim temos duas notas, separadas por um intervalo que é referido como uma oitava (do polvo grego, ou seja, oito), com seis notas no meio, ou seja, oito notas no total. No entanto, você também sabe que há notas no meio, excepto entre Mi e Fá e entre Si e Dó. São referidas como semitons ou meios-passos. Prefiro o termo ‘meio-passo’ a ‘semitom’, porque estamos a falar de notas realmente, não de tons.
Temos, por exemplo, F-sharp (denotado por F#), a que também podemos chamar G-flat (denotado por Gb). É a mesma coisa: um # afiado levanta uma nota por um semitom (também conhecido como meio-passo), e um b bemol baixa pela mesma quantidade, então F# é Gb. É o que mostra abaixo: em uma oitava, temos oito notas, mas doze meios-passos.
Vamos agora ver as frequências. A escala de frequência acima (expressa em oscilações por segundo, portanto é a unidade hertz) é uma escala logarítmica: frequências duplica à medida que passamos de uma oitava para outra: a frequência da nota C4 acima (o chamado C médio) é 261,626 Hz, enquanto que a frequência da próxima nota C (C5) é o dobro disso: 523.251 Hz.
Agora, se equacionarmos o intervalo entre Dó 4 e Dó 5 com 1 (assim a oitava é a nossa ‘unidade’ musical), então o intervalo entre os doze meios-passos é, obviamente, 1/12. Porquê? Porque nós temos 12 meios-passos na nossa unidade musical. Você também pode facilmente verificar que, devido à forma como os logaritmos funcionam, a razão das frequências de duas notas que estão separadas por um meio-passo (entre D# e E, por exemplo) será igual a 21/12. Da mesma forma, a razão das frequências de duas notas que estão separadas por n meios-passos é igual a 2n/12.
Agora, porque as frequências das várias notas de Dó são expressas como um número envolvendo alguma fração decimal (como 523,251 Hz, e o 0,251 é na verdade apenas uma aproximação), e porque elas são, portanto, um pouco difíceis de ler e/ou trabalhar, vou ilustrar a próxima idéia – i.e. o conceito de harmónicos – com o A em vez do C. 🙂
Harmonics
O A mais baixo de um piano é denotado por A0, e a sua frequência é 27,5 Hz. Existem notas de A mais baixo (temos uma a 13,75 Hz, por exemplo) mas não as utilizamos, porque estão perto (ou mesmo além) do limite das frequências mais baixas que podemos ouvir. Então vamos nos ater ao nosso piano de cauda e começar com essa frequência de 27,5 Hz. A próxima nota A é A1, e a sua frequência é 55 Hz. Temos então A2, que é como o A na minha (ou na sua) guitarra: a sua frequência é igual a 2×55 = 110 Hz. A próxima é A3, para a qual dobramos a frequência mais uma vez: agora estamos a 220 Hz. O próximo é o A na ilustração da escala de C acima: A4, com uma frequência de 440 Hz.
Agora, as notas de que estamos a falar aqui são todas chamadas tons puros. Na verdade, quando eu digo que o A na nossa guitarra é referido como A2 e que tem uma frequência de 110 Hz, então na verdade estou a fazer uma enorme simplificação. Pior, estou mentindo quando digo isso: quando você toca uma corda em um violão, ou quando você bate uma tecla em um piano, todo tipo de outras freqüências – as chamadas harmônicas – também ressoarão, e é isso que dá a qualidade ao som: é o que o faz soar bonito. Portanto, a frequência fundamental (também conhecida como primeira harmónica) é 110 Hz, mas também teremos segunda, terceira, quarta, etc. harmónicos com frequência 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz, etc. Na música, a frequência básica ou fundamental é referida como o tom do tom e, como podem ver, uso frequentemente o termo ‘nota’ (ou tom puro) como sinónimo de tom – o que é mais ou menos OK, mas não é muito correcto na realidade.
Qual é a física por trás? Veja a ilustração abaixo (pedi emprestado do site da Aula de Física). A linha preta grossa é a corda, e o comprimento de onda de sua freqüência fundamental (ou seja, a primeira harmônica) é o dobro de seu comprimento, então escrevemos λ1 = 2-L ou, ao contrário, L = (1/2)-λ1. Agora este é o chamado primeiro modo da string.
Também temos um segundo, terceiro, etc modo, representado abaixo, e estes modos correspondem ao segundo, terceiro, etc harmónico respectivamente.
Para o segundo, terceiro, etc modo, a relação entre o comprimento de onda e o comprimento da string é, obviamente, o seguinte: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = (3/2)-λ3, etc. Mais em geral, para o modo nth, L será igual a L = (n/2)-λn, com n = 1, 2, etc. Na verdade, como L é suposto ser algum comprimento fixo, devemos escrever ao contrário: λn = (2/n)-L.
O que implica para as frequências? Sabemos que a velocidade da onda – vamos denota-la por c – ao subir e descer a corda, é uma propriedade da corda, e é uma propriedade apenas da corda. Em outras palavras, não depende da frequência. Agora, a velocidade da onda é igual à frequência vezes o comprimento de onda, sempre, por isso temos c = f-λ. Para tomar o exemplo da corda (clássica): seu comprimento é de 650 mm, ou seja, 0,65 m. Assim, as identidades λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L etc. tornam-se λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433… m e assim por diante. Agora, combinando estes comprimentos de onda com as frequências acima mencionadas, obtemos a velocidade de onda c = (110 Hz)-(1.3 m) = (220 Hz)-(0.65 m) = (330 Hz)-(0.433… m) = 143 m/s.
Vamos agora voltar à string de Pitágoras. Você deve notar que as freqüências das harmônicas produzidas por uma simples corda de guitarra estão relacionadas entre si por simples relações de números inteiros. De facto, as frequências do primeiro e segundo harmónicos estão numa relação simples de 2 para 1 (2:1). O segundo e terceiro harmónicos têm uma razão de frequência de 3:2. O terceiro e quarto harmónicos têm uma razão de 4:3. O quinto e quarto harmónicos 5:4, e assim sucessivamente. Eles têm que ser. Porquê? Porque os harmónicos são simples múltiplos da frequência básica. Isso é o que realmente está por trás da observação de Pitágoras: quando ele estava soando cordas semelhantes com a mesma tensão mas com comprimentos diferentes, ele estava fazendo sons com os mesmos harmônicos. Nada mais, nada menos.
Deixe-me ser bastante explícito aqui, porque o ponto que estou tentando fazer aqui é um pouco sutil. A corda de Pitágoras é a corda de Pitágoras: ele falava cordas semelhantes. Então não estamos falando de uma guitarra de verdade ou um piano ou qualquer outro instrumento de corda. As cordas nos instrumentos de corda (modernos) não são semelhantes, e não têm a mesma tensão. Por exemplo, as seis cordas de uma guitarra não diferem no comprimento (são todas de 650 mm), mas são diferentes na tensão. As seis cordas de uma guitarra clássica também têm um diâmetro diferente, e as primeiras três cordas são cordas lisas, ao contrário das cordas inferiores, que são enroladas. Portanto, as cordas não são semelhantes, mas muito diferentes de fato. Para ilustrar o ponto, eu copiei os valores abaixo para apenas um dos muitos conjuntos de cordas de guitarra comercialmente disponíveis. 
É o mesmo para as cordas de piano. Embora elas sejam um pouco mais simples (são todas feitas de corda de piano, que é basicamente uma corda de aço de alta qualidade), elas também diferem – não apenas em comprimento, mas também em diâmetro, tipicamente variando de 0,85 mm para as cordas agudas mais altas a 8,5 mm (o que é dez vezes 0,85 mm) para as notas graves mais baixas.
Em resumo, Pitágoras não estava tocando guitarra ou piano (ou qualquer outro instrumento de corda mais sofisticado que os gregos certamente devem ter tido também) quando ele estava pensando nessas relações harmônicas. A explicação física por trás de sua famosa observação é, portanto, bastante simples: tons musicais que têm os mesmos harmônicos soam agradáveis, ou consonantes, devemos dizer – do latim con-sonare, que, literalmente, significa ‘soar juntos’ (de sonare = soar e con = com). E caso contrário… Bem… Então eles não soam agradáveis: são dissonantes.
Para conduzir o ponto para casa, deixe-me enfatizar que, quando estamos depenando uma corda, produzimos um som composto de muitas freqüências, tudo de uma só vez. Pode-se vê-lo na prática: se você tocar uma corda A mais baixa num piano – digamos a corda A2 de 110 Hz – então sua segunda harmônica (220 Hz) fará a corda A3 vibrar também, porque tem a mesma freqüência! E então a sua quarta harmónica também fará vibrar a corda A4, porque ambas estão a 440 Hz. Claro que a força destas outras vibrações (ou a sua amplitude, devemos dizer) dependerá da força dos outros harmónicos e devemos, claro, esperar que a frequência fundamental (ou seja, a primeira harmónica) absorva a maior parte da energia. Assim, depenamos uma corda, e assim temos um som, um tom apenas, mas inúmeras notas ao mesmo tempo!
A este respeito, deve também notar que o terceiro harmónico da nossa corda A2 de 110 Hz corresponde à frequência fundamental do tom E4: ambos são 330 Hz! E, claro, os harmónicos de E, como a sua segunda harmónica (2-330 Hz = 660 Hz) correspondem também aos harmónicos superiores de A! Para ser específico, a segunda harmónica da nossa corda E é igual à sexta harmónica da nossa corda A2. Se a sua guitarra é boa, e se as suas cordas também são de qualidade razoável, na verdade você verá: as cordas E e A (mais baixas) co-vibram se você tocar a corda A principal, mas tocando apenas as quatro cordas superiores. Então temos energia – movimento realmente – sendo transferido das quatro cordas que você toca para as duas cordas que você não toca! Você vai dizer: e daí? Bem… Se você tem alguma prova melhor da realidade (ou realidade) de várias freqüências estando presentes ao mesmo tempo, por favor me diga! 🙂
Então é por isso que A e E soam muito bem juntos (A, E e C#, tocados juntos, compõem o chamado acorde maior): nosso ouvido gosta de harmônicas combinadas. E para que gostemos de tons musicais – ou porque definimos esses tons como sendo musicais! 🙂 Deixe-me resumir mais uma vez: tons musicais são ondas sonoras compostas, consistindo de uma frequência fundamental e os chamados harmónicos (por isso temos muitas notas ou tons puros no total num só tom musical). Agora, quando outros tons musicais têm harmônicas que são compartilhadas, e nós soamos essas notas também, temos a sensação de harmonia, ou seja, a combinação de sons consonantes.
Agora, não é difícil ver que sempre teremos essas harmônicas compartilhadas se tivermos cordas semelhantes, com a mesma tensão mas com com comprimentos diferentes, sendo soadas juntas. Em suma, o que Pitágoras observou não tem muito a ver com notas, mas sim com tons. Vamos agora um pouco mais longe na análise, introduzindo um pouco mais de matemática. E, sim, lamento muito: é mesmo a temida análise de Fourier! 🙂
Análise de Fourier
Vocês sabem que podemos decompor qualquer função periódica numa soma de uma série (potencialmente infinita) de funções sinusoidais simples, como ilustrado abaixo. Tomei a ilustração da Wikipédia: a função vermelha s6(x) é a soma de seis funções senoidais de diferentes amplitudes e frequências (harmonicamente relacionadas). A chamada transformação de Fourier S(f) (em azul) relaciona as seis frequências com as respectivas amplitudes.
À luz da discussão acima, é fácil ver o que isto significa para o som proveniente de uma corda depenada. Usando a notação de frequência angular (por isso escrevemos tudo usando ω em vez de f), sabemos que os modos normais ou naturais de oscilação têm frequências ω = ω/T = 2πf (por isso essa é a frequência fundamental ou primeira harmónica), 2ω (segunda harmónica), 3ω (terceira harmónica), e assim por diante e assim por diante.
Agora, não há razão para assumir que todas as funções sinusoidais que compõem o nosso tom devem ter a mesma fase: algum deslocamento de fase Φ pode estar lá e, portanto, devemos escrever a nossa função sinusoidal não como cos(ωt), mas como cos(ωt + Φ) a fim de garantir que a nossa análise seja suficientemente geral. Agora, a partir das nossas classes de geometria, sabemos que podemos reescrever cos(ωt + Φ) como
cos(ωt + Φ) =
Temos muitas destas funções, claro – uma para cada harmônica, de fato – e, portanto, devemos usar subscripts, que é o que fazemos na fórmula abaixo, que diz que qualquer função f(t) que seja periódica com o período T pode ser escrita matematicamente como:
Você pode se perguntar: o que é esse período T? É o período do modo fundamental, ou seja, o primeiro harmónico. De facto, o período da segunda, terceira, etc. harmónica será apenas uma metade, um terço, etc. do período da primeira harmónica. Na verdade, T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1, e T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1, e assim por diante. Entretanto, é fácil ver que estas funções também se repetem após dois, três, etc., respectivamente. Portanto, tudo está bem, e a idéia geral por trás da análise de Fourier é ilustrada mais adiante.
Vocês dirão: Que se lixe! Porque é que precisamos da ginástica matemática aqui? É só para entender que outra característica de um tom musical: a sua qualidade (ao contrário do seu tom). Um tom chamado rico terá harmónicos fortes, enquanto um tom puro terá apenas o primeiro harmónico. Todas as outras características – a diferença entre um tom produzido por um violino em oposição a um piano – estão então relacionadas com a ‘mistura’ de todos esses harmónicos.
Então temos tudo agora, excepto a sonoridade que está, claro, relacionada com a magnitude da pressão do ar que muda à medida que a nossa forma de onda se move pelo ar: tom, sonoridade e qualidade. é isso que faz um tom musical. 🙂
Dissonância
Como mencionado acima, se os sons não são concordantes, são dissonantes. Mas o que é realmente dissonância? O que está a acontecer? A resposta é a seguinte: quando duas frequências estão próximas de uma simples fração, mas não exatamente, obtemos as chamadas batidas, que nosso ouvido não gosta.
Huh? Relaxe. A ilustração abaixo, que copiei do artigo da Wikipédia sobre afinação de pianos, ilustra o fenômeno. A onda azul é a soma da onda vermelha e da verde, que são originalmente idênticas. Mas então a frequência da onda verde é aumentada, e assim as duas ondas não estão mais em fase, e a interferência resulta em um padrão de batimento. É claro que o nosso tom musical envolve frequências diferentes e, portanto, períodos diferentes T1,T2, T3 etc., mas você tem a idéia: os harmônicos mais altos também oscilam com o período T1, e se as frequências não estão em alguma relação exata, então teremos um problema semelhante: batidas, e nosso ouvido não vai gostar do som.
Obviamente, você vai se perguntar: por que não gostamos de batidas em tons? Podemos perguntar isso, não podemos? É como perguntar porque gostamos de música, não é? Bem… É e não é. É como perguntar porque o nosso ouvido (ou o nosso cérebro) gosta de harmónicos. Nós não sabemos. É assim que nós estamos ligados. A explicação ‘física’ do que é musical e do que não é só vai até aqui, acho eu. 😦
Pitágoras versus Bach
De tudo o que escrevi acima, é óbvio que as frequências dos harmónicos de um tom musical estão, de facto, relacionadas por rácios simples de pequenos inteiros: as frequências do primeiro e segundo harmónicos estão numa razão simples de 2 para 1 (2:1); o segundo e terceiro harmónicos têm uma razão de frequência de 3:2; o terceiro e quarto harmónicos uma razão de 4:3; o quinto e quarto harmónicos 5:4, etc. E é isso. Nada mais, nada menos.
Em outras palavras, Pitágoras estava observando os tons musicais: ele não podia observar os tons puros atrás, ou seja, as notas reais. No entanto, a estética levou Pitágoras, e todos os músicos depois dele – até meados do século XVIII – a pensar também que a proporção das frequências das notas dentro de uma oitava deveria ser também simples proporções. Pelo que expliquei acima, é óbvio que não deve funcionar assim: a razão das frequências de duas notas separadas por n meios-passos é 2n/12, e, para a maioria dos valores de n, 2n/12 não é uma razão simples.
Então – já o disse – Pitágoras estava errado – não só neste mas também em outros aspectos, como quando ele abraçou a sua visão sobre o sistema solar, por exemplo. Mais uma vez, lamento ter de dizer isto, mas é o que é: os pitágoricos pareciam preferir ideias matemáticas a experiências físicas. 🙂 Tendo dito isto, os músicos obviamente não sabiam de nenhuma alternativa a Pitágoras, e certamente nunca tinham ouvido falar em escalas logarítmicas na altura. Então… Bem… Eles usaram o chamado sistema de afinação pitagórico. Para ser preciso, eles afinaram os seus instrumentos equalizando a razão de frequência entre o primeiro e o quinto tom da escala de Dó (ou seja, o Dó e o Sol, já que não incluíam os semitons Dó#, Ré# e Fá# ao contar) com a razão 3/2, e depois usaram outras chamadas razões harmónicas para as notas no meio.
Agora, a razão 3/2 está quase correcta, porque a razão de frequência real é 27/12 (temos sete tons, incluindo os semitons – não cinco!), e por isso é 1,4983, aproximadamente. Agora, isso é muito próximo de 3/2 = 1,5, eu diria. 🙂 Usando essa aproximação (que, admito, é bastante precisa), a afinação das outras cordas também seria feita assumindo que certas relações deveriam ser respeitadas, como as abaixo.
Então foi tudo muito bom. Dito isto, bons músicos, e alguns grandes matemáticos, sentiram que algo estava errado – se apenas porque havia vários sistemas chamados apenas de entonação (para uma visão geral, veja o artigo da Wikipédia sobre apenas entonação). Mais importante, eles sentiram que era bastante difícil transpor a música usando o sistema de afinação pitagórico. Transpor música equivale a mudar a chamada chave de uma peça musical: o que se faz, basicamente, é mover a peça inteira para cima ou para baixo em tom por algum intervalo constante que não é igual a uma oitava. Hoje, transpor música é, pelo menos, uma peça de música cake-Western. Mas isso só porque toda a música ocidental é tocada em instrumentos que são afinados usando essa escala logarítmica (tecnicamente, é referida como o sistema de 12 tons de temperamento igual (12-TET)). Quando se usa um dos sistemas pitagóricos para afinação, uma peça transposta não soa muito bem.
O primeiro matemático que realmente parecia saber o que estava errado (e, portanto, quem também sabia o que fazer) foi Simon Stevin, que escreveu um manuscrito baseado na ’12th root of 2 principle’ por volta de 1600 dC. Não deveria nos surpreender: o pensamento deste matemático de Bruges inspiraria o trabalho de John Napier sobre logaritmos. Infelizmente, enquanto esse manuscrito descreve os princípios básicos por trás do sistema 12-TET, ele não foi publicado (Stevin teve que fugir de Bruges, para a Holanda, porque ele era protestante e os governantes espanhóis da época não gostaram disso). Assim, os músicos, embora não compreendessem bem a matemática (ou a física, devo dizer) por detrás da sua própria música, continuaram a tentar outros sistemas de afinação, pois sentiam que a sua música soava melhor de facto.
Um destes ‘outros sistemas’ é o chamado temperamento ‘bom’, do qual certamente ouviram falar, como é referido na famosa composição de Bach, Das Wohltemperierte Klavier, que ele finalizou na primeira metade do século XVIII. O que é realmente esse “bom” temperamento? Bem… É o que é: é um daqueles sistemas de afinação que fez com que os músicos se sentissem melhor com a sua música por uma série de razões, todas elas bem descritas no artigo da Wikipédia sobre ela. Mas a principal razão é que o sistema de afinação que Bach recomendou foi muito melhor quando se tratou de tocar a mesma peça noutra tecla. No entanto, ainda não estava muito certo, pois não era o sistema de temperamento igual (ou seja, o sistema 12-TET) que está em vigor agora (no Ocidente pelo menos – a escala da música indiana, por exemplo, ainda é baseada em rácios simples).
Por que menciono esta peça de Bach? A razão é simples: você provavelmente ouviu falar dela porque é um dos principais pontos de referência de um livro bastante famoso: Gödel, Escher e Bach-an Eternal Golden Braid. Se não, então esqueça-o. Estou a mencioná-lo porque um dos meus irmãos o adora. É sobre inteligência artificial. Eu não o li, mas devo assumir que a obra-prima de Bach é analisada lá por causa da sua estrutura, não por causa do sistema de afinação que se supõe que se use ao tocá-lo. Então… bem… eu diria: não faça essa composição mais mística do que ela já é. 🙂 A ‘magia’ por trás dela está relacionada com o que eu disse sobre o A4 ser o ‘ponto de referência’ na música: como agora estamos a usar uma escala logarítmica universal, já não existe tal coisa como um ponto de referência absoluto: uma vez que definimos a nossa ‘unidade’ musical (por isso é a chamada oitava na música ocidental), e também definimos quantos passos queremos ter no meio (por isso é música ocidental de 12, ou seja), ficamos com todo o resto. É assim que os logaritmos funcionam.
Então, em resumo, a música é tudo sobre estrutura, ou seja, é tudo sobre relações matemáticas, e apenas sobre relações matemáticas. Mais uma vez, as conclusões de Pitágoras estavam erradas, mas a sua intuição estava certa. E, claro, foi a sua intuição que deu origem à ciência: os simples ‘modelos’ que ele fez – de como as notas devem estar relacionadas umas com as outras, ou sobre o nosso sistema solar – foram, obviamente, apenas o começo de tudo isso. E que grande começo foi! Olhando para trás mais uma vez, é bastante triste que as forças conservadoras (como a Igreja) muitas vezes se tenham metido no caminho do progresso. Na verdade, de repente eu me pergunto: Se os cientistas não tivessem sido incomodados por essas forças conservadoras, poderia a humanidade ter enviado pessoas por volta da época em que Charles V nasceu, ou seja, por volta de 1500 d.C. já? 🙂
Post scriptum: Meu exemplo das cordas (inferiores) E e A do violão co-vibrando ao tocar o acorde A maior batendo apenas as quatro cordas superiores, é um tanto complicado. As cordas (mais baixas) E e A estão associadas com os tons mais baixos, e nós dissemos que os overtones (ou seja, a segunda, terceira, quarta, etc harmônica) são múltiplos da frequência fundamental. Então porque é que as cordas mais baixas co-vibram? A resposta é fácil: elas oscilam apenas nas freqüências mais altas. Se você tem um violão: basta tentar. As duas cordas que você não arranca vibram – e muito visivelmente, mas as baixas freqüências fundamentais que saem delas quando você as toca, não são audíveis. Em resumo, elas ressoam apenas nas frequências mais altas. 🙂
O exemplo que Feynman dá é muito mais simples: o seu exemplo menciona as notas do Dó mais baixo (ou A, B, etc.) num piano causando vibrações nas cordas do Dó mais alto (ou as cordas mais altas A, B, etc. respectivamente). Por exemplo, bater a tecla C2 (e, portanto, a corda C2 dentro do piano) fará a corda C3 (mais alta) vibrar também. Mas poucos de nós têm um piano de cauda em casa, acho eu. É por isso que prefiro o meu exemplo de guitarra. 🙂