(b. Dordrecht, Holanda, 24 de setembro de 1625; d. Haia, Holanda, 20 de agosto de 1672)
matemática.
De Witt era filho de Jacob de Witt, burgomestre de Dordrecht, e Anna van de Corput. Ambas as famílias eram membros proeminentes da classe regente que governava as cidades e províncias da Holanda. Ele entrou na escola Latina de Dordrecht em 1636, e foi para a Universidade de Leiden em 1641. Lá estudou direito, partindo para a França em 1645 para se formar em Angers. Em Leiden estudou matemática em particular com Frans van Schooten, o Jovem, e recebeu dele uma excelente formação em matemática cartesiana. De Witt era um matemático talentoso que tinha pouco tempo para se dedicar à matemática. Tornou-se pensionista de Dordrecht em 1650, e grande pensionista da Holanda em 1653, fazendo dele o líder do Partido dos Estados Unidos, e, na verdade, o primeiro-ministro da Holanda. Foi um estadista de capacidade e força de carácter invulgar que orientou os assuntos das Províncias Unidas durante o interregno de vinte anos no Stadtholdership, durante a minoria de Guilherme de Orange. Este foi um dos períodos mais críticos da história holandesa, com as três guerras anglo-holandesas; a hostilidade da facção Laranja culminou com o assassinato de de Witt e seu irmão Cornelis por uma multidão em 1672.
A obra matemática mais importante de Witt foi a sua Elementa curvarum linearum, escrita antes de 1650 e impressa na segunda edição latina de Descartes de Géométrie (1659-1661). Está em dois livros: o primeiro, um tratamento sintético da teoria geométrica encontrada nos primeiros livros de Apollonius’ Conics; e o segundo, um dos primeiros desenvolvimentos sistemáticos da geometria analítica da linha reta e cônica. No primeiro livro, os sintomas (expressos em proporções) da parábola, elipse e hipérbole são derivados como loci plano, e não como seções do cone. Suas definições de locus da elipse nos são familiares hoje: a construção em ângulo excêntrico (um ponto fixo em relação a um segmento rotativo); a construção do tresmalho (um ponto fixo sobre um determinado segmento movendo-se sobre duas linhas de interseção); e a construção do “fio”, baseada na definição de dois focos. Para a hipérbole e a parábola, o locus é construído como a intersecção dos membros correspondentes de dois lápis de linhas, um paralelo e um concorrente. Em termos modernos estes são exemplos interessantes não intencionais da definição projectiva de Steiner-Chasles das cónicas, onde o vértice de um lápis está no infinito.
De Witt é creditado com a introdução do termo “directrix” para a parábola, mas é claro pela sua derivação que ele não usa o termo para a linha fixa da nossa definição focus-directrix. Dadas as linhas fixas DB e EF cruzando-se em D, com B o pólo e EF a diretriz: para qualquer ponto H no EF, se ∠HBL é construído igual a ∠FDB, uma linha através de H paralela a BD corta BL em G, um ponto no locus. AC é traçado através de B com ∠DBC = ∠BDF, cortando HG em I, e GK é traçado paralelo a AC. Como os triângulos BDH e GKB são semelhantes, (BI)2 =(BD) (BK) ou y2 = px, uma parábola com vértice em B, abscissa BK = x, e ordenada KG = y. Se EF é perpendicular ao DB, resulta um sistema de coordenadas rectangulares, mas EF não é a nossa directriz.
No primeiro livro da Elementa de Witt não só libertou as cónicas do cone com as suas construções cinemáticas, mas satisfez os critérios cartesianos de construtibilidade. Este livro foi escrito, como ele relatou a van Schooten, para dar um fundo para o novo desenvolvimento analítico do segundo livro. Ele começou o tratamento analítico mostrando que as equações do primeiro grau representam linhas retas. Como era habitual na época, ele não utilizava coordenadas negativas, apenas graficando segmentos ou raios no primeiro quadrante. Ele explicou cuidadosamente a construção real das linhas para coeficientes arbitrários
, uma vez que eles seriam necessários em suas transformações, reduzindo equações quadráticas gerais para digitar as cónicas. Para cada cônica de Witt começou com equações simplificadas equivalentes às suas formas padrão no livro I, e depois usou traduções e rotações para reduzir equações mais complicadas para as formas canônicas. Por exemplo, na hipérbole
ele deixa
e depois
v = x + h
onde h é o coeficiente do termo linear em x após a primeira substituição, dando
uma hipérbole padrão que corta os novos eixos v ou z de acordo com hh é maior ou menor do que. Embora de Witt pareça estar ciente da característica da equação quadrática geral na escolha de seus exemplos, ele não menciona explicitamente seu uso para determinar o tipo de cônica, exceto no caso da parábola. Lá ele afirma que, se os termos do segundo grau são um quadrado perfeito, a equação representa uma parábola.
O último capítulo é uma soma das várias transfomações mostrando como construir os gráficos de todas as equações de segundo grau. Cada caso de coeficientes positivos e negativos deve ser tratado separadamente em um desenho, mas a discussão para cada curva é completamente geral, e ambos os eixos originais e transformados são desenhados.
Além das simplificações algébricas das curvas para a forma normal, o livro II contém a propriedade habitual focus-directrix da parábola e as derivações analíticas do eilipse e da hipérbole como o locus de pontos cuja soma ou diferença de distâncias de dois pontos fixos é uma constante. Estas são feitas de forma moderna, quadrada duas vezes, com o uso explícito do teorema de Pitágoras no lugar da mais recente fórmula de distância.
De Witt’s Elementa e John Wallis’ Tractatus de sectionibus conicis (1655) são considerados os primeiros livros didáticos em geometria analítica. Embora Wallis tenha levantado a questão da prioridade, suas abordagens foram diferentes e completamente independentes. Wallis primeiro definiu as cónicas como equações de segundo grau e deduziu as propriedades das curvas das equações, enquanto de Witt as deduziu geometricamente no plano, e depois mostrou que as equações quadráticas podiam ser reduzidas às suas formas normais.
Christiaan Huygens uma vez escreveu John Wallis de Witt: “Poderia ele ter poupado toda a sua força para trabalhos matemáticos, ele ter-nos-ia ultrapassado a todos”. A sua geometria foi a sua única contribuição para a matemática pura, mas ele truncou os seus interesses matemáticos para os problemas financeiros da província da Holanda durante a sua longa permanência como grande pensionista. O principal meio de angariar dinheiro para os Estatutos era a vida ou as anuidades fixas. Em 1665 de Witt conseguiu reduzir a taxa de juros de 5 para 4% e estabeleceu um fundo de afundamento com os juros economizados pela conversão acumulados em juros compostos a serem aplicados à dívida da Holanda, que poderia assim ser paga em quarenta e um anos. A segunda Guerra Anglo-Holandesa (1665-1667), no entanto, derrotou este esquema. As guerras inglesas foram um eterno dreno financeiro, e mais da metade das despesas, os custos da guerra quase só, foram engolidos no pagamento de juros.
Em abril de 1671 foi decidido negociar fundos por anuidades vitalícias, limitando assim a dívida a uma geração. De Witt preparou um tratado para os Estados da Holanda demonstrando matematicamente que as anuidades de vida estavam sendo oferecidas a uma taxa de juros muito alta em comparação com as anuidades fixas. Durante muitos anos as taxas de juro para anuidades de vida tinham sido o dobro da taxa de juro padrão.A Holanda tinha recentemente reduzido a taxa de juro para vinte e cinco anos de compra (4%) e estava vendendo anuidades de vida a catorze anos de compra (7%). De Witt queria aumentar o preço para dezesseis anos de compra (6¼ por cento). A sua Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (Julho de 1671) está certamente entre as primeiras tentativas de aplicar a teoria da probabilidade aos problemas económicos. Foi escrito como um documento político, e permaneceu enterrado nos arquivos por quase duzentos anos. Desde a sua descoberta e publicação por Frederick Hendriks em 1852 tem havido muitos artigos (alguns dos quais estão listados na bibliografia)que explicam ou criticam com base na ciência atuarial moderna. Na verdade é uma dissertação muito simples e engenhosa baseada apenas no uso do princípio da expectativa matemática para formar contratos iguais.
De Witt listou os valores atuais em 4% dos pagamentos de anuidades de 10.000.000 stuyvers (para evitar decimais) por semestre, e somou as expectativas matemáticas usando taxas hipotéticas de mortalidade para diferentes idades. Ele primeiro pressupôs que um homem tem a mesma probabilidade de morrer na primeira ou última metade de qualquer ano, e depois, como as anuidades eram geralmente compradas em vidas jovens, estendeu isso para qualquer meio ano dos “anos de pleno vigor”, dos três aos cinqüenta e três anos. Por simplicidade, ele considerou os primeiros cem semestres igualmente destrutivos ou mortais, embora ele tenha declarado que a probabilidade de morte é na verdade menor nos primeiros anos. Assim também, ele parou aos oitenta anos de idade, embora muitos vivam além dessa idade. Nos dez anos seguintes, entre cinqüenta e três e sessenta e três, a probabilidade de morrer não ultrapassa a proporção de 3 a 2; de sessenta e três a setenta e três, a probabilidade de morrer não ultrapassa 2 a 1; e de setenta e três a oitenta, não ultrapassa 3 a 1,
De Witt dá muitos exemplos para explicar o uso do conceito de expectativa matemática. O seguinte é básico para seus cálculos posteriores, e tem sido negligenciado por muitos comentaristas. Considere um homem de quarenta e um homem de cinquenta e oito. De acordo com seus pressupostos, as chances do homem mais velho morrer em comparação com o mais jovem são de 3 a 2. Um contrato igual poderia ser concebido: se a pessoa de cinqüenta e oito morre em seis meses, o homem mais jovem herda 2.000 florins, mas se o homem de quarenta morre em seis meses, o mais velho herda 3.000 florins. Isto é, a chance do homem de cinqüenta e oito ganhar 3.000 florins. é de 2 a 3, ou, em termos dos cálculos da anuidade de Witt, a chance de receber um determinado pagamento de anuidade no segundo período é de dois terços do que no primeiro período.
Deste raciocínio, os cálculos de Witt são simples: ele soma os valores presentes para os primeiros cem anos e meio; ele soma os valores presentes para os próximos vinte anos e meio; para os próximos vinte, metade dos valores presentes; e um terço para os últimos catorze. Tudo isso é somado e a média é tomada, dando um pouco mais de dezesseis florins como o valor presente de um florim da anuidade em uma vida jovem e saudável. Se o método tivesse sido aplicado às tábuas de mortalidade real, o trabalho de parto teria sido formidável. Mais tarde, em 1671, de Witt e Jan Hudde corresponderam sobre o problema das anuidades de sobrevivência em mais de uma vida, e aqui ambos usaram números reais de mortalidade extraídos dos registros de anuidade da Holanda. Trabalhando com vários grupos de pelo menos cem pessoas de uma determinada idade, de Witt desenvolveu taxas apropriadas para as anuidades de duas vidas. Estas foram estendidas a posteriori a qualquer número de vidas por um triângulo Pascal, com uma promessa a Hudde de estabelecer os resultados a priori. Este foi o culminar do trabalho de Witt com as anuidades, mas por razões políticas ele sugeriu a Hudde que o público não fosse informado dos resultados do seu estudo, já que eles estavam dispostos a comprar anuidades em mais de uma vida ao ritmo atual, o que era favorável ao governo.
BIBLIOGRAFIA
I. Obras Originais. Elementa curvarum linearum, em Frans van Schooten, ed. latina de Descartes’s Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Haia, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Seis volumes de cartas em Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Volume XXXIII contém cartas de e para matemáticos incluindo as cartas a Jan Hudde sobre anuidades em mais de uma vida.
II. Literatura Secundária. Das muitas biografias de de Witt, Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdã, 1915), é indispensável. Ainda valiosa é G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vols. (Paris, 1884); trans. inglês, S. F. Stephenson e A. Stephenson (Londres, 1885). Para uma discussão fiável sobre o período, e as relações entre de Witt e William III , ver Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Londres, 1964), e a sua Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), English trans., Arnold Pomerans (Londres, 1969). Para a geometria ver P. van Geer, “Johan de Witt als Wiskundige,” in Nieuw Archief voor Wiskundige, 2nd ser.., 11 (1915), 98-126; e C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (Nova Iorque, 1956).
Uma tradução inglesa do trabalho sobre as anuidades de vida pode ser encontrada em Frederick Hendricks, “Contributions to the History of Insurance . . a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities,” in The Assurance Magazine (agora Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908), e 11 (1909) do Archief voor Verzekeringe Wetenschap contêm artigos que oferecem várias críticas e explicações dos escritos de Witt sobre anuidades.
Joy B. Easton