Cum triunghiul 30-60-90 se bazează pe un triunghi echilateral, triunghiul 45-45-90 se bazează pe un pătrat, triunghiurile 18-72-90 și 36-54-90 se bazează pe un pentagon regulat (vezi https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), iar triunghiul 22.5-67,5-90 triunghiul se bazează pe octogonul regulat (vezi postarea anterioară), astfel că triunghiul 15-75-90 se bazează pe dodecagonul regulat, prezentat aici cu trei raze (roșu) și o singură diagonală (violet). Triunghiul 15-75-90 este reprezentat cu galben. Un argument de simetrie este suficient pentru a arăta că unghiul EFC este triunghiul dreptunghic din acest triunghi, iar cel mai mare dintre cele două unghiuri acute ale sale (unghiul FCE) este o jumătate de unghi interior al acestui dodecagon. Unghiul interior al unui decagon regulat măsoară 150 de grade (dovada acestui lucru este banală), deci unghiul FCE trebuie să măsoare jumătate din această valoare, adică 75 de grade. Acest lucru lasă 15 grade pentru unghiul CEF, prin teorema sumei triunghiurilor.
Cum rămâne cu lungimile laturilor triunghiului 15-75-90, totuși? În primul rând, să luăm în considerare diagonalele roșii arătate, și să le lăsăm pe fiecare dintre ele să aibă lungimea de 2. Unghiurile DAF și FAE măsoară fiecare 30 de grade, deoarece 360/12 = 30, iar acestea sunt unghiuri centrale între raze adiacente. Acest lucru face ca unghiul DAE să aibă 60 de grade prin adunarea unghiurilor, iar triunghiul DAE este cunoscut ca fiind isoscel, deoarece cele două laturi roșii sunt raze ale aceluiași dodecagon regulat și, prin urmare, sunt congruente. Prin teorema triunghiului isoscel și teorema sumei triunghiurilor, atunci, unghiurile ADE și AED măsoară, de asemenea, fiecare (180-60)/2 = 60 de grade, deci triunghiul ADE este, prin urmare, echilateral, iar latura mov, DE, are, de asemenea, o lungime de doi. Simetria este suficientă pentru a vedea că DE este bisecată de raza AC, ceea ce duce la concluzia că EF, piciorul lung al triunghiului 15-75-90, are lungimea de 1.
Segmentul AF este o mediană, deci și o altitudine, a triunghiului echilateral ADE și îl împarte în două triunghiuri 30-60-90, dintre care unul este triunghiul AEF. Se știe deja că ipotenuza sa, AE, are lungimea 2, în timp ce piciorul său scurt, EF, se știe deja că are lungimea 1. Segmentul AF este, prin urmare, piciorul lung al acestui triunghi 30-60-90, cu o lungime de √3.
AF, de lungime √3, și FC, piciorul scurt al triunghiului 15-75-90, formează împreună raza dodecagonului AC, deja stabilită la lungimea 2. Prin scăderea lungimii, deci, FC, piciorul scurt al triunghiului 15-75-90, are o lungime de 2 – √3. Un test este prudent în acest punct, prin luarea tangentei unghiului de 15 grade FEC din triunghiul galben. Tan(15 grade) este egală cu 0,26794919…, care este, de asemenea, aproximația zecimală pentru FC/EF, sau (2 – √3)/1.
Tot ce rămâne de știut pentru a cunoaște raporturile de lungime pentru laturile triunghiului 15-75-90 este să determinăm lungimea lui EC, ipotenuza sa, prin intermediul Teoremei lui Pitagora. Pătratul lungimii EC trebuie să fie egal cu pătratul lui 1 plus pătratul lui (2 – √3), deci EC, la pătrat, este egal cu 1 + 4 – 4√3 + 3, sau 8 – 4√3. Prin urmare, ipotenuza (EC) trebuie să fie rădăcina pătrată a lui 8 – 4√3, care este √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Raportul picior scurt:picior lung:ipotenuză într-un triunghi 15-75-90 este, prin urmare, (2-√3):1:2√(2-√3)).