En ARMAX-modell (dvs. en ARIMA-modell med en exogen variabel) utan konstant har formen
Detta är helt enkelt en ARMA-modell med en extra oberoende variabel (kovariant) på höger sida av ekvationen. Med hjälp av fördröjningsoperatorn är detta likvärdigt med
eller
Ett sätt att hantera en sådan modell är att omtolka den som en linjär regression plus ARMA-fel:
där
Denna modell är likvärdig med
Exempel 1: Skapa en ARIMAX-modell för data till vänster i figur 1 där X1 och X2 är exogena variabler och Y är en tidsserie. Skapa en prognos för de kommande 3 elementen baserat på denna modell.
Figur 1 – Initialisering av ARIMAX-modellen
Verktyg för analys av data från Real Statistics: Du kan använda dataanalysverktyget ARIMAX för att göra detta. Tryck Ctrl-m, välj ARIMAX från fliken Time S och fyll i dialogrutan som visas i figur 2.
Figur 2 – Dialogrutan ARIMAX
Resultaten visas till höger i figur 1 samt i figur 3 och 4.
I figur 1 innehåller området G4:G22 matrisformeln =ADIFF(B4:B23,1), området H5:H22 innehåller =ADIFF(C4:C23,1) och I5:I22 innehåller =ADIFF(D:D23,1).
Vänstra sidan av figur 3 innehåller den vanliga regressionsanalysen av X1 och X2 på Y, vilket resulterar i regressionsmodellen
Residualerna beräknas genom
där vi förväntar oss att residualerna ska följa en ARIMA(0,0,1) modell. Dessa residualer visas i intervallet J5:J22 i figur 1, beräknade med arrayformeln
=I4:I22-TREND(I4:I22,G4:H22,,TRUE)
Figur 3 – OLS-regressionsmodell
Residualerna från OLS-regressionsmodellen blir nu dataelement för ARIMA-modellen, vilket visas i figur 4. Observera att den konstanta termen ingår i regressionsmodellen och därför inte ingår i ARIMA-modellen. På samma sätt har differentieringen redan beaktats och ingår därför inte i ARIMA-modellen. Vi antar alltså att residualerna följer en MA(1)-modell.
Figur 4 – ARIMA(0,0,1)-modell för residualerna
Prognosen för den modell som visas i figur 4 visas i figur 5. Observera att de nollprognosvärden som visas i cellerna AV24 och AV25 inte nödvändigtvis skulle vara noll om vi hade använt en annan ARIMA-modell för residualerna.
Figur 5 – Prognos för residualer
Prognosen i figur 5 gäller endast för residualernas tidsserie. Vi behöver nu skapa en prognos för den ursprungliga tidsserien vid tidpunkterna t = 21, 22 och 23, baserat på de värden vi förväntar oss för de exogena variablerna X1 och X2 vid dessa tidpunkter.
Antag att dessa exogena variabler antar de värden som visas i intervallet B24:C26 i figur 6. Observera att denna figur visar den nedre delen av motsvarande kolumner från figur 1, där de tillagda raderna motsvarar de tre prognosvärdena.
De tillagda posterna i intervallet D24:D26 visar de prognostiserade värdena för den ursprungliga tidsserien vid tidpunkterna t = 21, 22 och 24, som motsvarar de värden för X1 och X2 som visas i B24:C26. Dessa prognostiserade värden beräknas enligt figur 6.
Figur 6 – Tidsserieprognos
Placera formeln =B24-B23 i cell G23, markera intervallet G23:H25 och tryck på Ctrl-R och Ctrl-D. Detta skiljer de nya värdena X1 och X2 åt. Placera sedan matrisformeln =TREND(I4:I22,G4:H22,G23:H25) i intervallet I23:I25. Detta beräknar de differentierade prognosvärdena för Y.
Placera nu formeln =AV23 i cell J23, markera intervallet J23:J25 och tryck på Ctrl-D för att visa de prognostiserade restvärdena. Sätt slutligen in formeln =D23+I23+J23 i cell D24, markera intervallet D24:D26 och tryck på Ctrl-D för att få fram den begärda prognosen för Y.