|
Bild används med tillstånd av |
Om du aldrig trodde att sex appeal kunde beräknas matematiskt, tänk om igen. Manliga fiddler crabs (Uca pugnax) har en förstorad stor klo för att slåss eller hota andra hanar. Dessutom lockar hanar med större klor till sig fler kvinnliga partner. Sexattraktionskraften (klostorlek) hos en viss art av fiddlercrabba bestäms av följande allometriska ekvation: Mc = 0,036 – Mb 1,356, |
|
|
Vad är allometri?
Allometri är studiet av den relativa förändringen i proportion av ett attribut jämfört med ett annat under organismens tillväxt. Dessa attribut kan vara morfologiska, fysiologiska eller andra. Ett välkänt exempel på ett allometriskt förhållande är skelettmassa och kroppsmassa. Skelettet hos en större organism är relativt sett tyngre än hos en mindre organism. Det verkar naturligtvis uppenbart att tyngre organismer kräver tyngre skelett. Men är det lika uppenbart att tyngre organismer kräver oproportionerligt tyngre skelett? Hur fungerar då förhållandet? Tänk på följande uppgifter:
- En organism på 10 kg kan behöva ett skelett på 0,75 kg,
- En organism på 60 kg kan behöva ett skelett på 5,3 kg, och ändå
- En organism på 110 kg kan behöva ett skelett på 10,2 kg.
Som du kan se genom att inspektera dessa siffror behöver tyngre kroppar relativt sett biffiga skelett för att stödja dem. Skelettmassan ökar inte konstant för varje ökning av kroppsmassan med 50 kg, utan skelettmassan ökar oproportionerligt i förhållande till kroppsmassan.
Allometriska skalningslagar härleds från empiriska data. Forskare som är intresserade av att avslöja dessa lagar mäter en gemensam egenskap, t.ex. kroppsmassa och hjärnstorlek hos vuxna däggdjur, hos många taxa . Uppgifterna genomsöks sedan för att hitta samband från vilka ekvationer skrivs.
Allometrisk tillväxt
Allometriska skalförhållanden kan beskrivas med hjälp av en allometrisk ekvation av formen, f (s) = c s d,
(1) där c och d är konstanter. Variablerna s och f (s) representerar de två olika attribut som vi jämför (t.ex. kroppsmassa och skelettmassa). Denna ekvation kan användas för att förstå förhållandet mellan två attribut. Specifikt bestämmer konstanten d i denna modell de relativa tillväxthastigheterna för de två attribut som representeras av s och f (s). För enkelhetens skull betraktar vi endast fallet d > 0.
- Om d > 1 ökar det attribut som representeras av f (s) oproportionerligt i förhållande till det attribut som representeras av s. Om s till exempel representerar kroppsstorlek är f (s) relativt sett större för större kroppar än för mindre kroppar.
- Om 0 < d < 1 ökar attributet f (s) med attributet s, men gör det i en långsammare takt än proportionaliteten.
- Om d = 1 förändras attributet f (s) som en konstant andel av attributet s. Detta specialfall kallas isometri, snarare än allometri.
Användning av allometriska ekvationer
Bemärk att (1) är en potensfunktion och inte en exponentialekvation (konstanten d står i exponentpositionen istället för variabeln s). Till skillnad från andra tillämpningar där vi behöver logaritmer för att lösa ekvationen använder vi här logaritmer för att förenkla den allometriska ekvationen till en linjär ekvation.
Så här fungerar det
Vi skriver om (1) till en logaritmisk ekvation av formen,
log (f (s))) = log (c s d). (2) Med hjälp av logaritmernas egenskaper kan vi då ordna om (2) på följande sätt, = log c + log (s d), = log c + d log s. (3) När vi byter variabler genom att låta,
= log f, = log c, = d, = log s. Du kan se att (3) i själva verket är den linjära ekvationen = mx + b. (4) Därmed ger omvandlingen av en allometrisk ekvation till dess logaritmiska motsvarighet upphov till en linjär ekvation.
Varför bry sig?
Om vi skriver om den allometriska ekvationen till en logaritmisk ekvation kan vi enkelt beräkna värdena för konstanterna c och d från en uppsättning experimentella data. Om vi placerar log s på x-axeln och log f på y-axeln bör vi se en linje med lutning lika med d och y-intercept lika med log c. Kom ihåg att variablerna x och y egentligen är på en logaritmisk skala (eftersom x = log s och y = log f). Vi kallar en sådan ritning för en log-log ritning.
Eftersom allometriska ekvationer härleds från empiriska data bör man vara försiktig när det gäller data som är utspridda runt en linje som passar bäst i xy-planet i en log-log-plott. Små avvikelser från en linje med bästa anpassning är i själva verket större än vad de kan verka. Kom ihåg att eftersom x- och y-variablerna befinner sig på den logaritmiska skalan, motsvarar linjära förändringar i utgångsvariablerna (x och y) exponentiella förändringar i ingångsvariablerna (f (s) och s). Eftersom vi i slutändan är intresserade av ett samband mellan f och s måste vi vara bekymrade över även små avvikelser från en linje med bästa anpassning.
Nu går vi tillbaka till vår fiddler krabba som ett konkret exempel.