Du har troligen stött på ensidiga föremål hundratals gånger i ditt dagliga liv – som den universella symbolen för återvinning, som finns tryckt på baksidan av aluminiumburkar och plastflaskor.
Detta matematiska objekt kallas en Mobiusremsa. Det har fascinerat miljöaktivister, konstnärer, ingenjörer, matematiker och många andra ända sedan det upptäcktes 1858 av August Möbius, en tysk matematiker som dog för 150 år sedan, den 26 september 1868.
Möbius upptäckte den ensidiga remsan 1858 när han var ordförande i astronomi och högre mekanik vid universitetet i Leipzig. (En annan matematiker vid namn Listing beskrev den faktiskt några månader tidigare, men publicerade inte sitt arbete förrän 1861). Möbius verkar ha stött på Möbiusremsan när han arbetade med den geometriska teorin om polyeder, fasta figurer som består av hörn, kanter och plana ytor.
En Möbiusremsa kan skapas genom att man tar en pappersremsa, ger den ett udda antal halva vridningar och sedan tejpar ihop ändarna till en ögla. Om du tar en penna och drar en linje längs bandets mitt ser du att linjen tydligen löper längs båda sidorna av slingan.
Konceptet med ett ensidigt objekt inspirerade konstnärer som den nederländska grafiska designern M.C. Escher, vars träsnitt ”Möbius Strip II” visar röda myror som kryper en efter en längs ett Möbiusband.
Möbiusremsan har mer än bara en överraskande egenskap. Försök till exempel att ta en sax och klippa remsan på mitten längs den linje som du just har ritat. Du kanske blir förvånad när du upptäcker att du inte har kvar två mindre ensidiga Möbiusremsor utan i stället en lång tvåsidig slinga. Om du inte har ett papper till hands visar Eschers träsnitt ”Möbius Strip I” vad som händer när en Möbiusremsa skärs av längs dess mittlinje.
Även om remsan verkligen är visuellt tilltalande har dess största inverkan varit inom matematiken, där den bidrog till att sporra utvecklingen av ett helt område som kallas topologi.
En topolog studerar egenskaper hos objekt som bevaras när de flyttas, böjs, sträcks eller vrids, utan att delar skärs eller limmas ihop. Till exempel är ett hoptrasslat par öronsnäckor i topologisk mening detsamma som ett otrasslat par öronsnäckor, eftersom det för att ändra det ena till det andra endast krävs att man flyttar, böjer och vrider det ena. Det krävs ingen skärning eller limning för att omvandla dem emellan.
Ett annat par objekt som topologiskt sett är detsamma är en kaffekopp och en munk. Eftersom båda objekten bara har ett hål kan det ena objektet deformeras till det andra genom att bara sträcka och böja sig.
Antalet hål i ett objekt är en egenskap som endast kan ändras genom att skära eller limma. Denna egenskap – som kallas ett objekts ”genus” – gör att vi kan säga att ett par öronsnäckor och en munk är topologiskt olika, eftersom en munk har ett hål, medan ett par öronsnäckor inte har några hål.
Tyvärr verkar en Möbiusremsa och en dubbelsidig slinga, som ett typiskt silikonarmband för medvetandehöjning, båda ha ett hål, så denna egenskap räcker inte till för att skilja dem åt – åtminstone inte ur topologisk synvinkel.
Istället kallas den egenskap som skiljer ett Möbiusband från en tvåsidig slinga för orienterbarhet. Liksom dess antal hål kan ett objekts orienterbarhet endast ändras genom att klippa eller limma.
Föreställ dig att du skriver en lapp till dig själv på en genomskinlig yta och sedan tar en promenad runt på den ytan. Ytan är orienterbar om du, när du kommer tillbaka från din promenad, alltid kan läsa lappen. På en icke-orienterbar yta kan det hända att du kommer tillbaka från din promenad bara för att upptäcka att de ord du skrev tydligen har förvandlats till sin spegelbild och endast kan läsas från höger till vänster. På den dubbelsidiga slingan kommer lappen alltid att läsas från vänster till höger, oavsett vart din resa tog dig.
Då Möbiusremsan är icke-orienterbar, medan den dubbelsidiga slingan är orienterbar, innebär det att Möbiusremsan och den dubbelsidiga slingan är topologiskt olika.
Begreppet orienterbarhet har viktiga konsekvenser. Ta enantiomerer. Dessa kemiska föreningar har samma kemiska struktur med undantag för en viktig skillnad: De är spegelbilder av varandra. Den kemiska kemikalien L-metamfetamin är till exempel en ingrediens i Vicks Vapor Inhalers. Dess spegelbild, D-metamfetamin, är en olaglig narkotika av klass A. Om vi levde i en icke-orienterbar värld skulle dessa kemikalier vara omöjliga att skilja åt.
August Möbius upptäckt öppnade nya sätt att studera naturen. Studiet av topologi fortsätter att ge fantastiska resultat. Förra året ledde topologin till exempel till att forskarna upptäckte märkliga nya materiatillstånd. Årets Fields Medal, den högsta utmärkelsen inom matematiken, tilldelades Akshay Venkatesh, en matematiker som bidrog till att integrera topologi med andra områden, t.ex. talteori.