MATEMATIK PÅ 1700-talet

Variationskalkyl

De flesta av slutet av 1600-talet och en stor del av början av 1700-talet ägnades åt arbete som utfördes av Newtons och Leibniz lärjungar som tillämpade deras idéer om kalkyl för att lösa en rad olika problem inom fysik, astronomi och ingenjörskonst.

Perioden dominerades dock av en familj, familjen Bernoulli i Basel i Schweiz, som hade två eller tre generationer av exceptionella matematiker, särskilt bröderna Jacob och Johann. De var till stor del ansvariga för att vidareutveckla Leibniz infinitesimala kalkyl – särskilt genom den generalisering och utvidgning av kalkylen som kallas ”variationskalkyl” – samt Pascals och Fermats sannolikhets- och talteori.

Basel var också hemstad för den störste av 1700-talets matematiker, Leonhard Euler, även om Euler, delvis på grund av svårigheterna att komma till rätta i en stad som dominerades av Bernoulli-familjen, tillbringade större delen av sin tid utomlands, i Tyskland och S:t Petersburg i Ryssland. Han utmärkte sig i alla aspekter av matematiken, från geometri till kalkyl, trigonometri, algebra och talteori, och kunde hitta oväntade kopplingar mellan de olika områdena. Han bevisade många satser, banade väg för nya metoder, standardiserade matematisk notation och skrev många inflytelserika läroböcker under sitt långa akademiska liv.

I ett brev till Euler 1742 föreslog den tyske matematikern Christian Goldbach Goldbachs gissning, som säger att varje jämnt heltal större än 2 kan uttryckas som summan av två primtal (e.t.ex. 4 = 2 + 2; 8 = 3 + 5; 14 = 3 + 11 = 7 + 7; etc) eller, i en annan likvärdig version, att varje heltal större än 5 kan uttryckas som summan av tre primtal. Ytterligare en annan version är den så kallade ”svaga” Goldbachkonjekturen, att alla udda tal större än 7 är summan av tre udda primtal. De är fortfarande bland de äldsta olösta problemen i talteori (och i hela matematiken), även om den svaga formen av gissningen tycks vara närmare en lösning än den starka. Goldbach bevisade också andra satser inom talteori, till exempel Goldbach-Eulers sats om perfekta potenser.

Trots Eulers och Bernoullis dominans i 1700-talets matematik var många av de andra viktiga matematikerna från Frankrike. I början av seklet är Abraham de Moivre kanske mest känd för de Moivres formel, (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx), som kopplar samman komplexa tal och trigonometri. Men han generaliserade också Newtons berömda binomialsats till multinomialsatsen, var pionjär i utvecklingen av analytisk geometri och hans arbete med normalfördelningen (han gav det första uttalandet av formeln för normalfördelningskurvan) och sannolikhetsteorin var av stor betydelse.

Frankrike blev ännu mer framträdande mot slutet av århundradet och en handfull franska matematiker från slutet av 1700-talet förtjänar särskilt att nämnas i det här sammanhanget, med början med ”de tre L:na”.

Joseph Louis Lagrange samarbetade med Euler i ett viktigt gemensamt arbete om variationskalkylen, men han bidrog också till differentialekvationer och talteori, och han brukar tillskrivas ursprunget till gruppteorin, som skulle komma att bli så viktig i matematiken på 1800- och 1900-talet. Hans namn har gett upphov till en tidig sats inom gruppteorin, som säger att antalet element i varje undergrupp till en ändlig grupp delas jämnt med antalet element i den ursprungliga ändliga gruppen.

Lagranges medelvärdesats

Lagranges medelvärdesats

Lagrange är också krediterad för fyrkantsatsen, att alla naturliga tal kan representeras som summan av fyra kvadrater (e.t.ex. 3 = 12 + 12 + 12 + 12 + 02; 31 = 52 + 22 + 12 + 12 + 12; 310 = 172 + 42 + 22 + 12; etc.), samt en annan sats, som förvirrande nog också kallas Lagranges sats eller Lagranges medelvärdessats, som säger att det, givet en sektion av en jämn kontinuerlig (differentierbar) kurva, finns minst en punkt på den sektionen där kurvans derivata (eller lutning) är lika med (eller parallell med) sektionens genomsnittliga derivata (eller medelvärde). Lagranges avhandling om analytisk mekanik från 1788 erbjöd den mest omfattande behandlingen av klassisk mekanik sedan Newton och utgjorde en grund för utvecklingen av matematisk fysik på 1800-talet.

Pierre-Simon Laplace, ibland kallad ”den franske Newton”, var en viktig matematiker och astronom, vars monumentala arbete ”Celestial Mechanics” översatte det geometriska studiet av klassisk mekanik till ett som baserades på kalkylering, vilket öppnade upp för ett mycket bredare spektrum av problem. Även om hans tidiga arbete främst handlade om differentialekvationer och finita differenser, började han redan på 1770-talet fundera över de matematiska och filosofiska begreppen sannolikhet och statistik, och han utvecklade sin egen version av den så kallade Bayesianska tolkningen av sannolikhet oberoende av Thomas Bayes. Laplace är välkänd för sin tro på fullständig vetenskaplig determinism, och han hävdade att det borde finnas en uppsättning vetenskapliga lagar som skulle göra det möjligt för oss – åtminstone i princip – att förutsäga allt om universum och hur det fungerar.

De sex första Legendre-polynomierna

De sex första Legendre-polynomierna (lösningar till Legendres differentialekvation)

Adrien-Marie Legendre har också gjort viktiga bidrag till statistik, talteori, abstrakt algebra och matematisk analys i slutet av 1700-talet och början av 1800-talet, även om mycket av hans arbete (t.ex. minsta kvadratmetoden för kurvanpassning och linjär regression, den kvadratiska reciprocitetslagen, primtalssatsen och hans arbete med elliptiska funktioner) först fulländades – eller åtminstone uppmärksammades allmänt – av andra, särskilt Gauss. Hans ”Elements of Geometry”, en omarbetning av Euklides bok, blev den ledande läroboken i geometri i nästan 100 år, och hans extremt exakta mätning av den jordiska meridianen inspirerade skapandet av det metriska mått- och viktsystemet och dess nästan universella antagande.

En annan fransman, Gaspard Monge, uppfann den beskrivande geometrin, en smart metod för att representera tredimensionella objekt genom projektioner på det tvådimensionella planet med hjälp av en särskild uppsättning förfaranden, en teknik som senare skulle komma att bli viktig inom teknik, arkitektur och design. Hans ortografiska projektion blev den grafiska metod som används i nästan all modern mekanisk ritning.

Efter många århundraden av allt noggrannare approximationer levererade Johann Lambert, en schweizisk matematiker och framstående astronom, slutligen 1761 ett rigoröst bevis på att π är irrationellt, dvs. att det inte kan uttryckas som ett enkelt bråk som endast använder heltal eller som en avslutande eller repeterande decimal. Detta bevisade definitivt att det aldrig kommer att bli möjligt att beräkna π exakt, även om besattheten av att få fram mer och mer exakta approximationer fortsätter än i dag. (Mer än hundra år senare, 1882, skulle Ferdinand von Lindemann bevisa att π också är transcendentalt, dvs. att det inte kan vara roten till någon polynomisk ekvation med rationella koefficienter). Lambert var också den förste som införde hyperboliska funktioner i trigonometrin och gjorde några förutseende gissningar om icke-euklidiska rum och egenskaperna hos hyperboliska trianglar.

.