nLab Yang-Mills teori

Idea

YangâMills teori är en gauge teori på en given 4-dimensionell (pseudo-)Riemannsk mångtal XX vars fält är YangâMills fältet â en cocykel ââH(X,B¯U(n))\nabla \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}U(n)) i differentiell ickeabelisk kohomologi som representeras av ett vektorbunt med anslutning â och vars aktionsfunktion är

för

• F âF_\nabla fältstyrkan, lokalt den krökta ð²(n)\mathfrak{u}(n)-Lie algebra värderade differentialformen på XX ( med ð²(n)\mathfrak{u}(n) Lie algebra av den enhetliga gruppen U(n)U(n));

• â\star Hodge-stjärnoperatorn för den metriska gg;

• 1g 2\frac{1}{g^2} Yang-Mills-kopplingskonstanten och θ\theta thetavinkeln, några reella tal (se S-dualitet).

(Se detta exempel på En första idé om kvantfältteori.)

Egenskaper

Klassificering av lösningar

• Narasimhan-Seshadri-sats

• Donaldson-Uhlenbeck-Yau-sats

Kvantisering

Trots dess fundamentala roll i partikelfysikens standardmodell, är olika detaljer om kvantiseringen av Yang-Mills teorin fortfarande öppna. Se på kvantisering av Yang-Mills teori.

Användningar

Alla gaugefält i partikelfysikens standardmodell samt i GUT-modeller är YangâMills-fält.

Materiafälten i standardmodellen är spinorer som är laddade under Yang-Mills-fältet. Se

• spinorer i YangâMills teori

Historia

Från Jaffe-Witten:

Under 1950-talet, när YangâMills teorin upptäcktes, visste man redan att kvantversionen av Maxwellteorin â känd som kvantelektrodynamik eller QED â ger en extremt noggrann redogörelse för elektromagnetiska fält och krafter. Faktum är att QED förbättrade noggrannheten för vissa tidigare kvantteoretiska förutsägelser med flera storleksordningar, och förutspådde även nya uppdelningar av energinivåer.

Det var därför naturligt att fråga sig om den icke-abeliska gauge-teorin beskrev andra krafter i naturen, särskilt den svaga kraften (som bland annat är ansvarig för vissa former av radioaktivitet) och den starka kraften eller kärnkraften (som bland annat är ansvarig för att protoner och neutroner binds samman till atomkärnor). Den masslösa karaktären hos de klassiska YangâMills-vågorna var ett allvarligt hinder för att tillämpa YangâMills-teorin på de andra krafterna, eftersom den svaga kraften och kärnkraften har kort räckvidd och många av partiklarna är massiva. Därför verkade dessa fenomen inte vara förknippade med fält med lång räckvidd som beskriver masslösa partiklar.

Under 1960- och 1970-talen övervann fysikerna dessa hinder för den fysikaliska tolkningen av den icke-abeliska gauge-teorin. När det gäller den svaga kraften åstadkoms detta genom GlashowâSalamâWeinbergs elektrosvaga teori med gauge group H=H = SU(2) Ã\times U(1). Genom att utveckla teorin med ett ytterligare âHiggs-fältâ undvek man de klassiska YangâMills-vågornas masslösa karaktär. Higgsfältet transformeras i en tvådimensionell representation av HH; dess icke-noll och ungefärligt konstanta värde i vakuumtillståndet reducerar strukturgruppen från HH till en U(1)U(1)-undergrupp (diagonalt inbäddad i SU(2)ÃU(1)SU(2) \times U(1). Denna teori beskriver både den elektromagnetiska och den svaga kraften på ett mer eller mindre enhetligt sätt; på grund av reduktionen av strukturgruppen till U(1)U(1) är de långväga fälten enbart elektromagnetiska fält, i enlighet med vad vi ser i naturen.

Lösningen på problemet med masslösa YangâMills-fält för de starka växelverkningarna har en helt annan karaktär. Den lösningen kom inte genom att lägga till fält till YangâMills teorin, utan genom att upptäcka en anmärkningsvärd egenskap hos själva kvant YangâMills teorin, det vill säga hos den kvantteori vars klassiska lagrangian har givits ]. Denna egenskap kallas âasymptotisk frihetâ. Grovt sett innebär detta att fältet på korta avstånd uppvisar ett kvantbeteende som är mycket likt dess klassiska beteende; men på långa avstånd är den klassiska teorin inte längre en bra vägledning för fältets kvantbeteende.

Asymptotisk frihet, tillsammans med andra experimentella och teoretiska upptäckter som gjordes på 1960- och 1970-talen, gjorde det möjligt att beskriva kärnkraften genom en icke-abelsk gauge-teori där gaugegruppen är G=G = SU(3). De ytterligare fälten beskriver, på klassisk nivå, âquarkar â som är spinn 1/2-objekt som i viss mån är analoga med elektronen, men som transformeras i den grundläggande representationen SU(3)SU(3). Den icke-abeliska gauge-teorin för den starka kraften kallas kvantkromodynamik (QCD).

Användningen av QCD för att beskriva den starka kraften motiverades av en hel rad experimentella och teoretiska upptäckter som gjordes på 1960- och 1970-talen och som gällde symmetrierna och de starka växelverkningarnas beteende vid höga energier. Men den klassiska icke-abeliska gauge-teorin skiljer sig mycket från den observerade världen av starka växelverkningar; för att QCD ska kunna beskriva den starka kraften på ett framgångsrikt sätt måste den på kvantnivå ha följande tre egenskaper, som var och en skiljer sig dramatiskt från den klassiska teorins beteende:

(1) Den måste ha ett âmass-gap;â det vill säga att det måste finnas en viss konstant Î>0\Delta \gt 0 så att varje excitering av vakuumet har en energi på minst Î\Delta.

(2) Den måste ha âquark confinement,â det vill säga, även om teorin beskrivs i termer av elementära fält, såsom kvarkfälten, som transformeras icke-trivialt under SU(3), är de fysiska partikeltillstånden â såsom proton, neutron och pion â SU(3)-invarianta.

(3) Den måste ha âchiral symmetribrytning,â vilket innebär att vakuumet är potentiellt invariant (i gränsen, att kvarkarnas obetydliga massor försvinner) endast under en viss undergrupp av den fullständiga symmetrigrupp som verkar på kvarkfälten.

Den första punkten är nödvändig för att förklara varför kärnkraften är stark men kortsiktig; den andra behövs för att förklara varför vi aldrig ser enskilda kvarkar; och den tredje behövs för att redogöra för âcurrent algebraâ-teorin om mjuka pioner som utvecklades på 1960-talet.

Både experiment â eftersom QCD har många framgångar i konfrontationen med experiment â och datorsimuleringar, som har utförts sedan slutet av 1970-talet, har gett stark uppmuntran till att QCD verkligen har de egenskaper som nämns ovan. Dessa egenskaper kan i viss utsträckning ses i teoretiska beräkningar som utförs i en mängd mycket förenklade modeller (som starkt kopplad gittermåttteori). Men de förstås inte fullt ut teoretiskt; det finns ingen övertygande, vare sig matematiskt fullständig eller inte, teoretisk beräkning som visar någon av de tre egenskaperna i QCD, i motsats till en starkt förenklad trunkering av den.

Detta är problemet med icke-perturbativ kvantisering av Yang-Mills-teorin. Se där för mer information.

• D=5 Yang-Mills teori

• massiv Yang-Mills teori

• självduell Yang-Mills teori

• super Yang-.Mills teori

• minimal koppling

• ’t Hooft dubbel linje notation

• Einstein-Yang-Mills teori

  • Einstein-Maxwellteori

  • Einstein-Yang-Mills-Dirac-teori

  • Einstein-Maxwell-Yang-Mills-Dirac-Higgs-teori

• Yang-Mills ekvation

• standardmodell för partikelfysik

  • elektromagnetism

  • spindlar i Yang-Mills teori

  • QED, QCD,

  • elektrosvagt fält

• Yang-monopol, ’t Hooft-Polyakov-monopol

• S-dualitet, Montonen-Olive-dualitet

  • elektrisk-magnetisk dualitet

  • geometrisk Langlands-dualitet

• Chern-Simons teori

• Yang-Mills instanton

  • konfinement

• asymptotisk frihet

Allmän

Yang-Mills-teori är uppkallad efter artikeln

• Chen Ning Yang, Robert Mills, bevarande av isotopiskt spinn och isotopisk mätarvarians. Physical Review 96 (1): 191â 195. (1954) (web)

som var den första som generaliserade principen om elektromagnetism till en icke-abalisk mätgrupp. Detta blev accepterat som formulering av QCD och svag växelverkan (endast) efter att spontan symmetribrytning (Higgs-mekanismen) förstods på 1960-talet.

Moderna genomgångar av grunderna

• Arthur Jaffe, Edward Witten, Quantum Yang-Mills theory (pdf)

• Simon Donaldson, Yang-Mills theory and geometry (2005) pdf

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory

• Karen Uhlenbeck, anteckningar av Laura Fredrickson, Equations of Gauge Theory, föreläsning vid Temple University, 2012 (pdf, pdf)

• Simon Donaldson, Gauge Theory: Mathematical Applications, Encyclopedia of Mathematical Physics, Academic Press, Pages 468-481, 2006 (doi:10.1016/B0-12-512666-2/00075-4, author pdf, pdf)

• Mikio Nakahara, Section 10.5.4 of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Se även referenserna till QCD, gauge theory, Yang-Mills monopole, Yang-Mills instanton och super Yang-Mills theory.

Klassisk diskussion om YM-teorin över Riemannytor (som är nära besläktad med Chern-Simons-teorin, se även vid moduli space of flat connections) finns i

• Michael Atiyah, Raoul Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences

  Vol. 308, No. 1505 (17 mars 1983), pp. 523-615 (jstor, lighning summary)

som granskas i föreläsningsanteckningarna

• Jonathan EvansAspects of Yang-Mills theory, (web)

För relationen till instanton Floer homology se även

• Simon Donaldson, Floer homology groups in Yang-Mills theory Cambridge University Press (2002) (pdf)

För relationen till Tamagawa-talen se

• Aravind Asok, Brent Doran, Frances Kirwan, Yang-Mills theory and Tamagawa numbers (arXiv:0801.4733)

Klassiska lösningar

Wu och Yang (1968) hittade en statisk lösning till de källfria SU(2)SU(2) Yang-Mills ekvationerna. Nya referenser inkluderar

• J. A. O. Marinho, O. Oliveira, B. V. Carlson, T. Frederico, Revisiting the Wu-Yang Monopole: classical solutions and conformal invariance

Det finns en gammal översikt,

• Alfred Actor, Classical solutions of SU(2)SU(2) YangâMills theories, Rev. Mod. Phys. 51, 461â525 (1979),

som ger några av de kända lösningarna av SU(2)SU(2)-måttteorin i Minkowski (monopoler, plana vågor osv.) och euklidisk rymd (instantoner och deras kusiner). För allmänna mätgrupper kan man få lösningar genom att bädda in SU(2)SU(2)âs.

För Yang-Mills instantoner är den mest allmänna lösningen känd, först utarbetad av

• Michael Atiyah, Nigel Hitchin, Vladimir Drinfeld, Yuri Manin, Construction of instantons, Physics Letters 65 A, 3, 185â187 (1978) pdf

för de klassiska grupperna SU, SO , Sp, och sedan av

• C. Bernard, N. Christ, A. Guth, E. Weinberg, Pseudoparticle Parameters for Arbitrary Gauge Groups, Phys. Rev. D16, 2977 (1977)

för exceptionella Lie-grupper. Den senaste vändningen i Yang-Mills instantonhistorien är konstruktionen av lösningar med icke-trivial holonomi:

• Thomas C. Kraan, Pierre van Baal, Periodic instantons with non-trivial holonomy, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659, hep-th/9805168

Det finns en fin uppsättning föreläsningsanteckningar

• David Tong, TASI Lectures on Solitons (hep-th/0509216),

om topologiska lösningar med olika co-dimension (instantoner, monopoler, virvlar, domänväggar). Observera dock att förutom instantoner kräver dessa lösningar vanligtvis extra skalarer och brutna U(1)âs, vilket man kan finna i super Yang-Mills teorier.

En del av det material som används här har hämtats från

• TP.SE, Vilka exakta lösningar av de klassiska Yang-Mills ekvationerna är kända?

En annan modell med Yang-Mills-fält har föreslagits av Curci och Ferrari, se Curci-Ferrari-modellen.

Se även

• DispersiveWiki, Yang-Mills ekvationer

.