En percentil är en plats i en fördelning som har en viss mängd (eller procentandel) av fördelningen ”under sig” (till vänster). Med andra ord, om #n^”th ”# percentil är #x#, och vi drar ett slumpmässigt tal #X# från fördelningen, så är chansen att #X# är mindre än #x# #n %#:
#n^”th” ” percentil” = x” ”P(X x)=n%.#
I en standardnormalkurva (med #mu = 0# och #sigma = 1#) är t.ex. punkten där #x=0# (dvs. #y#-axeln) är den 50:e percentilen, eftersom 50 % av kurvans yta faller till vänster om #x=0#:
Standardnormalfördelningen #Z# är en så bra baslinje att vi faktiskt har en värdetabell som är utformad speciellt för att leta upp percentiler för denna kurva. Den kallas #z#-tabell och ser ut ungefär så här:
Hur använder vi den? Låt oss säga att vi vill ha den 25:e percentilen för standardnormalfördelningen. Vi hittar det värde som ligger närmast 0,25 i tabellen (vilket råkar vara 0,2514) och ser att det finns i rad #”-”0,6# och kolumn #0,07#. För den här tabellen betyder det att den 25:e percentilen är (ungefär) #”-”0,67#.
Men vänta – hur hjälper det när vi vill ha en percentil för vilken normalfördelning som helst #X#? Vi måste hitta ett samband mellan vilken kurva som helst och standardnormalkurvan. Det sambandet hittar vi genom att flytta fördelningen #X# från vänster till höger så att den är centrerad vid #0# och sedan sträcka/kväva den så att dess standardavvikelse är #1#. Formeln för detta är:
#Z=(X-mu)/sigma#
där #mu# är medelvärdet för #X# och #sigma# är s.d. för #X#.
Om vi vet vilken percentil vi vill ha från fördelningen #Z# kan vi lösa #X# genom att omorganisera ekvationen till
#X=sigma Z + mu#.
Som exempel kan vi använda den första frågan du ställde, där #X# är normalfördelad med #mu = 81,2# och #sigma = 12,4#, och vi söker den 16:e percentilen.
Utifrån tabellen ovan är den 16:e percentilen från #Z#-fördelningen ungefär #”-”0,99#. Den motsvarande platsen i vår #X#-fördelning är då:
#X=(12.4)(”-”0.99)+81.2#
#color(white)X=”-”12.276+81.2#
#color(white)X=68.924#
Vad detta säger är: om #X# är en normal kurva med #mu=81.2 ” feet ”# och #sigma = 12.4 ” fot ”#, så är det 16 % chans att en observation från #X# är mindre än #68,924 ” fot ”#.
Jag lämnar resten till dig som en övning; med formlerna ovan borde det inte vara så svårt.
Hoppas att detta hjälper!