Principala tröghetsmoment
Som visas i Tröghetstenor uttrycks vridmomentet för en stel kropp med avseende på den lokala referensramens ursprung som
Om, av en slump, alla de off-diagonala termerna i tröghetstensorn som visas i blir noll, kan det förenklas ytterligare till
Detta kan hända när man ställer in den lokala referensramens axlar på ett sådant sätt att kroppens massa fördelas jämnt runt axlarna, vilket innebär att tröghetstermerna i produkten av tröghetstermerna alla försvinner. De icke-noll diagonala termerna i tröghetstensorn som visas i kallas föremålets huvudtröghetsmoment.
Top
Huvudaxlar
Som visas i , finns det ingen garanti för att vridmomentvektorn har samma riktning som vridmomentvektorns vridhastighetsvektor. Detta orsakar ett problem: om riktningen för vinkelmomentet fortsätter att ändras utvecklar det ett vridmoment som så småningom tvingar rotationsaxeln att röra på sig. Detta är den främsta orsaken som orsakar slitage och vibrationer i maskiner med roterande delar.
Men i vissa specialfall kan följande villkor gälla så att vridmoment- och hastighetsvektorerna visar samma riktning:
där I = kroppens ekvivalenta skalära tröghetsmoment kring rotationsaxeln. Varje rotationsaxel för kroppen som är tillräcklig kallas huvudaxel. Det finns en grupp huvudaxlar (teoretiskt sett 3) i en tredimensionell kropp. Till exempel finns det tre vinkelräta huvudaxlar för det system som visas i figur 1.
Figur 1
säger i princip att tröghetstensorn kan ersättas med ett enda skalärt tröghetsmoment när rotationsaxeln är en huvudaxel.
Top
Diagonalisering av tröghetstensorn
Från :
Och kan förenklas till
där 1 = identitetsmatrisen. I som visas i kallas ett egenvärde medan w är egenvektorn. är egenvärdesekvationen.
För att få en icke-trivial lösning bör koefficienternas determinant försvinna:
leder till den sekulära ekvationen som i princip är kubisk och därmed ger tre rötter (egenvärden): I1, I2 & I3. Varje rot motsvarar ett tröghetsmoment kring en huvudaxel. I själva verket är de tre rötterna huvudtröghetsmomenten för den stela kropp som infördes i :
När egenvärdena är kända kan huvudaxlarna beräknas. Låt
varvid n = enhetsvektorn för huvudaxeln, alltså,
Från & :
För varje egenvärde kan man beräkna motsvarande nx, ny & nz från & . Man måste vara uppmärksam på egenvektorns riktning i denna process.
I rörelseanalysen kan de huvudsakliga tröghetsmomenten erhållas från kroppssegmentens tröghetsegenskaper. I1, I2 & I3 för varje segment är i allmänhet kända. Uppgifterna finns tillgängliga i form av gyrationsradieförhållanden (förhållandet mellan gyrationsradien och segmentlängden), regressionsekvationer och skalningskoefficienter. Man kan också beräkna kroppssegmentens huvudsakliga tröghetsmoment genom modellering med hjälp av vissa geometriska former. Se Individualized BSP Estimation för detaljer.
Top