Då triangeln 30-60-90 är baserad på en liksidig triangel, triangeln 45-45-90 är baserad på en fyrkant, trianglarna 18-72-90 och 36-54-90 är baserade på den reguljära femhörningen (se https://robertlovespi.wordpress.com/2013/03/12/the-18-72-90-and-36-54-90-triangles/), och den 22.5-67,5-90 triangeln är baserad på den regelbundna oktagonen (se tidigare inlägg), så 15-75-90 triangeln är baserad på den regelbundna dodekagon, som här visas med tre radier (röd) och en enda diagonal (lila). Triangeln 15-75-90 visas i gult. Ett argument från symmetri är tillräckligt för att visa att vinkel EFC är den rätvinkliga triangeln i denna triangel, och att den större av dess två spetsiga vinklar (vinkel FCE) är en halv inre vinkel i denna dodekodagon. Den inre vinkeln i en regelbunden decagon mäter 150 grader (beviset för detta är trivialt), och därför måste vinkeln FCE mäta hälften så mycket, eller 75 grader. Detta lämnar 15 grader för vinkel CEF, via triangelsummesatsen.
Hur är det med sidlängderna i triangeln 15-75-90? Betrakta först de rödmarkerade diagonalerna och låt dem vardera ha en längd på 2. Vinklarna DAF och FAE mäter vardera 30 grader, eftersom 360/12 = 30, och de är centrala vinklar mellan intilliggande radier. Detta gör att vinkeln DAE blir 60 grader genom vinkeladdition, och triangeln DAE är som bekant likbent, eftersom de två röda sidorna är radier i samma regelbundna dodekagon, och därför är kongruenta. Enligt teoremet om likbenta trianglar och teoremet om triangelsumma är alltså vinklarna ADE och AED också vardera (180-60)/2 = 60 grader, så triangeln ADE är därför liksidig, med den lila sidan, DE, som också har en längd på två. Symmetrin är tillräcklig för att se att DE är halverad av radien AC, vilket leder till slutsatsen att EF, det långa benet i triangeln 15-75-90, har längden 1.
Segmentet AF är en median, och därmed också en höjd, av den liksidiga triangeln ADE, och delar den i två trianglar 30-60-90, varav den ena är triangeln AEF. Det är redan känt att hypotenusan AE har längden 2, medan det är känt att det korta benet EF har längden 1. Segment AF är därför det långa benet i denna 30-60-90-triangel, med längden √3.
AF, med längden √3, och FC, det korta benet i triangeln 15-75-90, bildar tillsammans dodekagonradien AC, som redan har längden 2. Genom subtraktion av längden har FC, det korta benet i triangeln 15-75-90, alltså längden 2 – √3. Det är klokt att göra ett test här genom att ta tangenten till 15-gradersvinkeln FEC i den gula triangeln. Tan(15 grader) är lika med 0,26794919…, vilket också är den decimala approximationen för FC/EF, eller (2 – √3)/1.
Allt som återstår för att känna till längdförhållandena för sidorna i triangeln 15-75-90 är att bestämma längden på EC, hypotenusan, med hjälp av Pythagoras sats. Kvadraten av längden EC måste vara lika med kvadraten av 1 plus kvadraten av (2 – √3), så EC i kvadrat är lika med 1 + 4 – 4√3 + 3, eller 8 – 4√3. Hypotenusan (EC) måste därför vara kvadratroten av 8 – 4√3, vilket är √(8-4√3)) = 2√(2-√3)).
Kort ben:långt ben:hypotenusa i en 15-75-90 triangel är därför (2-√3):1:2√(2-√3)).