Modellering av ett vindkärlEdit
Vindkärlsfysiologi är fortfarande en relevant men daterad beskrivning av stort kliniskt intresse. Den historiska matematiska definitionen av systole och diastole i modellen är givetvis inte ny, men den är här elementärt stadieindelad i fyra grader. Att nå fem skulle vara ett originalarbete.
Två elementEdit
Det antas att förhållandet mellan tryck och volym är konstant och att utflödet från Windkessel är proportionellt mot vätsketrycket. Det volymmässiga inflödet måste vara lika med summan av den volym som lagras i det kapacitiva elementet och det volymmässiga utflödet genom det resistiva elementet. Detta förhållande beskrivs av en differentialekvation:
I ( t ) = P ( t ) R + C d P ( t ) d t {\displaystyle I(t)={P(t) \over R}+C{dP(t) \over dt}}}
I(t) är det volymetriska inflödet på grund av pumpen (hjärtat) och mäts i volym per tidsenhet, medan P(t) är trycket i förhållande till tiden mätt i kraft per ytenhet, C är förhållandet mellan volym och tryck för Windkessel och R är motståndet som relaterar utflödet till vätsketrycket. Denna modell är identisk med förhållandet mellan ström, I(t), och elektrisk potential, P(t), i en elektrisk krets som är likvärdig med Windkessel-modellen med två element.
I blodcirkulationen antas de passiva elementen i kretsen representera element i det kardiovaskulära systemet. Motståndet, R, representerar det totala perifera motståndet och kondensatorn, C, representerar den totala arteriella följsamheten.
Under diastole finns det inget blodinflöde eftersom aortaklaffen (eller lungklaffen) är stängd, så Windkessel kan lösas för P(t) eftersom I(t) = 0:
P ( t ) = P ( t d ) e – ( t – t d ) ( R C ) {\displaystyle P(t)=P(t_{d})e^{-(t-t_{d}) \over (RC)}}
där td är tidpunkten för diastolens början och P(td) är blodtrycket i början av diastolen. Denna modell är endast en grov approximation av den arteriella cirkulationen; mer realistiska modeller innehåller fler element, ger mer realistiska uppskattningar av blodtrycksvågformen och diskuteras nedan.
Three-elementEdit
Den treelementiga Windkessel förbättrar den tvåelementiga modellen genom att införliva ytterligare ett resistivt element för att simulera motståndet mot blodflödet på grund av det karakteristiska motståndet i aorta (eller lungartären). Differentialekvationen för modellen med tre element är:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + C R 1 d I ( t ) d t = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}})I(t)+CR_{1}{dI(t) \over dt}={P(t) \over R_{2}}+C{dP(t) \over dt}}
där R1 är det karakteristiska motståndet (detta antas vara likvärdigt med den karakteristiska impedansen), medan R2 representerar det perifera motståndet. Denna modell används allmänt som en godtagbar modell av cirkulationen. Den har t.ex. använts för att utvärdera blodtryck och flöde i aortan hos ett kycklingembryo och lungartären hos en gris samt som grund för konstruktion av fysiska modeller av cirkulationen som ger realistiska belastningar för experimentella studier av isolerade hjärtan.
Four-elementEdit
Den treelementiga modellen överskattar följsamheten och underskattar cirkulationens karakteristiska impedans. Fyraelementsmodellen innehåller en induktor, L, som har enheterna massa per längd, ( M l 4 {\displaystyle {M \over l^{{4}}}}
), i kretsens proximala komponent för att ta hänsyn till blodflödets tröghet. Detta försummas i modellerna med två och tre element. Den relevanta ekvationen är:
( 1 + R 1 R 2 ) I ( t ) + ( R 1 C + L R 2 ) d I ( t ) d t + L C d 2 I ( t ) d t 2 = P ( t ) R 2 + C d P ( t ) d t {\displaystyle (1+{R_{1} \over R_{2}}})I(t)+(R_{1}C+{L \over R_{2}}}){dI(t) \over dt}+LC{d^{2}I(t) \over dt^{2}}}={P(t) \over R_{2}}+C{dP(t) \over dt}}
