(född i Dordrecht, Nederländerna, 24 september 1625; död i Haag, Nederländerna, 20 augusti 1672)
matematik.
De Witt var son till Jacob de Witt, borgmästare i Dordrecht, och Anna van de Corput. Båda familjerna var framstående medlemmar av den regentklass som styrde städerna och provinserna i Nederländerna. Han började latinskolan i Dordrecht 1636 och gick till universitetet i Leiden 1641. Där studerade han juridik och reste till Frankrike 1645 för att ta sin examen i Angers. I Leiden studerade han matematik privat för Frans van Schooten den yngre och fick av honom en utmärkt utbildning i cartesiansk matematik. De Witt var en begåvad matematiker som hade lite tid att ägna åt matematik. Han blev pensionär i Dordrecht 1650 och storpensionär i Holland 1653, vilket gjorde honom till ledare för Ständerpartiet och i praktiken till Nederländernas premiärminister. Han var en statsman av ovanlig förmåga och karaktärsstyrka som ledde de förenade provinsernas angelägenheter under det tjugoåriga interregnumet i stadshövdingeämbetet under Vilhelm av Oranges minoritet. Detta var en av de mest kritiska perioderna i Nederländernas historia, med de tre anglo-holländska krigen; den oranga fraktionens fientlighet kulminerade i mordet på de Witt och hans bror Cornelis av en pöbel 1672.
De Witts viktigaste matematiska arbete var hans Elementa curvarum linearum, som skrevs före 1650 och som trycktes i Van Schootens andra latinska upplaga av Descartes Géométrie (1659-1661). Det består av två böcker: den första är en syntetisk behandling av den geometriska teorin som återfinns i de tidiga böckerna av Apollonius’ Koniska; och den andra är en av de första systematiska utvecklingar av den analytiska geometrin för den raka linjen och den koniska linjen. I den första boken härleds symptomen (uttryckta som proportioner) för parabeln, ellipsen och hyperbeln som plana loci, snarare än som sektioner av konen. Hans lokusdefinitioner av ellipsen är bekanta för oss idag: den excentriska vinkelkonstruktionen (en fast punkt i förhållande till ett roterande segment), trammelkonstruktionen (en fast punkt på ett givet segment som rör sig på två skärande linjer) och ”sträng”-konstruktionen, som bygger på definitionen med två fokus. För hyperbola och parabola konstrueras platsen som skärningspunkten mellan motsvarande delar av två linjeband, ett parallellt och ett parallellt. I moderna termer är detta intressanta oavsiktliga exempel på Steiner-Chasles projektiva definition av konikerna, där den ena pennans spets ligger vid oändligheten.
De Witt är krediterad för att ha introducerat termen ”direktrix” för parabeln, men det framgår tydligt av hans härledning att han inte använder termen för den fasta linjen i vår fokus-direktrix-definition. Givet fasta linjer DB och EF som skär varandra i D, med B som pol och EF som direktrix: för varje punkt H på EF, om ∠HBL konstrueras lika med ∠FDB, skär en linje genom H parallellt med BD BL i G, en punkt på lokus. AC dras genom B med ∠DBC = ∠BDF och skär HG i I, och GK dras parallellt med AC. Eftersom trianglarna BDH och GKB är likartade blir (BI)2 =(BD) (BK) eller y2 = px, en parabel med hörnet i B, abscissa BK = x och ordinata KG = y. Om EF är vinkelrätt mot DB blir resultatet ett rektangulärt koordinatsystem, men EF är inte vår riktlinje.
I Elementa Elementas första bok befriade de Witt inte bara konikerna från kotan med sina kinematiska konstruktioner, utan han uppfyllde också de kartesianska kriterierna för konstruerbarhet. Denna bok skrevs, som han rapporterade till van Schooten, för att ge en bakgrund till den nya analytiska utvecklingen i den andra boken. Han inledde den analytiska behandlingen genom att visa att ekvationer av första graden representerar raka linjer. Som det var vanligt vid den tiden använde han inte negativa koordinater, utan ritade endast segment eller strålar i den första kvadranten. Han förklarade noggrant den faktiska konstruktionen av linjerna för godtyckliga koefficienter
eftersom de skulle behövas i hans transformationer som reducerar allmänna kvadratiska ekvationer till typkoniska ekvationer. För varje konisk form började de Witt med förenklade ekvationer som motsvarade hans standardformer i bok I, och använde sedan översättningar och rotationer för att reducera mer komplicerade ekvationer till de kanoniska formerna. I hyperbola
låter han till exempel
och sedan
v = x + h
där h är koefficienten för den linjära termen i x efter den första substitutionen, vilket ger
en standardhyperbel som skär den nya v- eller z-axeln beroende på om hh är större än eller mindre än. Även om de Witt tycks vara medveten om den allmänna kvadratiska ekvationens egenskap när han väljer sina exempel, nämner han inte uttryckligen dess användning för att bestämma typen av koniska utom i fallet med parabeln. Där anger han att om termerna av andra graden är en perfekt kvadrat representerar ekvationen en parabel.
Det sista kapitlet är en sammanfattning av de olika transfomationerna som visar hur man konstruerar graferna för alla ekvationer av andra graden. Varje fall av positiva och negativa koefficienter måste hanteras separat i en ritning, men diskussionen för varje kurva är helt generell, och både ursprungliga och transformerade axlar ritas in.
Inom de algebraiska förenklingarna av kurvorna till normalform innehåller bok II den vanliga fokus-direktrix-egenskapen hos parabeln och de analytiska härledningarna av eilipse och hyperbel som platsen för punkter vars summa eller differens av avstånden från två fasta punkter är en konstant. Dessa görs på modernt sätt, genom att kvadrera två gånger, med uttrycklig användning av Pythagoras sats i stället för den nyare avståndsformeln.
De Witts Elementa och John Wallis’ Tractatus de sectionibus conicis (1655) anses vara de första läroböckerna i analytisk geometri. Även om Wallis tog upp frågan om prioritet var deras tillvägagångssätt olika och helt oberoende. Wallis definierade först konikerna som andra gradens ekvationer och härledde kurvornas egenskaper från ekvationerna, medan de Witt definierade dem geometriskt i planet och sedan visade att kvadratiska ekvationer kunde reduceras till hans normalformer.
Christiaan Huygens skrev en gång till John Wallis om de Witt: ”Om han hade kunnat spara alla sina krafter på matematiska arbeten skulle han ha överträffat oss alla”. Hans geometri var hans enda bidrag till den rena matematiken, men han kopplade sina matematiska intressen till provinsen Hollands ekonomiska problem under hela sin långa tid som storpensionär. Det främsta sättet att samla in pengar till Statres var genom livräntor eller fasta livräntor. År 1665 lyckades de Witt sänka räntan från 5 till 4 procent och inrättade en avbetalningsfond med den ränta som sparades genom den omvandling som ackumulerades med sammansatt ränta och som skulle användas till Hollands skuld, som på så sätt kunde betalas på fyrtioen år. Det andra engelsk-holländska kriget(1665-1667) omintetgjorde dock denna plan. De engelska krigen var en evig ekonomisk dränering och mer än hälften av utgifterna (nästan enbart kostnaderna för kriget) slukades i räntebetalningar.
I april 1671 beslutades det att förhandla fram medel genom livräntor, för att på så sätt begränsa skulden till en generation. De Witt utarbetade en avhandling för de holländska staterna som matematiskt visade att livräntorna erbjöds till en alltför hög ränta i jämförelse med fasta annuiteter. Under många år hade man i regel använt dubbla räntesatser för livräntor, men Holland hade nyligen sänkt räntesatsen till 25 års köpeskilling (4 procent) och sålde livräntor till 14 års köpeskilling (7 procent). De Witt ville höja priset till sexton årsköp (6¼ procent). Hans Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (juli 1671) är säkert ett av de första försöken att tillämpa sannolikhetsteorin på ekonomiska problem. Den skrevs som ett politiskt dokument och förblev begravd i arkiven i nästan tvåhundra år. Sedan den upptäcktes och publicerades av Frederick Hendriks 1852 har det funnits många artiklar (varav några finns förtecknade i bibliografin) som förklarar eller kritiserar den på grundval av den moderna försäkringstekniska vetenskapen. Det är i själva verket en mycket enkel och genial avhandling som endast bygger på användningen av principen om matematisk förväntan för att bilda likvärdiga kontrakt.
De Witt listade nuvärdena till 4 procent av livränteutbetalningar på 10 000 000 stuyvers (för att undvika decimaler) per halvår och summerade de matematiska förväntningarna med hjälp av hypotetiska dödlighetssiffror för olika åldrar. Han förutsatte först att det är lika troligt att en man dör under det första eller sista halvåret av ett år och utvidgade sedan, eftersom livräntor i allmänhet köptes för unga liv, detta till att omfatta varje halvår under ”åren av full vitalitet” från tre till femtiotre års ålder. För enkelhetens skull betraktade han de första hundra halva åren som lika destruktiva eller dödliga, även om han konstaterade att sannolikheten att avlida faktiskt är mindre under de första åren. Så slutade han också vid åttio års ålder, även om många lever längre än så. Under de följande tio åren, femtiotre till sextiotre, överstiger chansen att dö inte mer än i förhållandet 3 till 2 chansen att dö under den första perioden; från sextiotre till sjuttiotre är chansen att dö inte mer än 2 till 1; och från sjuttiotre till åttio inte mer än 3 till 1.
De Witt ger många exempel för att förklara användningen av begreppet matematisk förväntan. Följande exempel är grundläggande för hans senare beräkningar och har förbisetts av många kommentatorer. Tänk på en man på fyrtio år och en man på femtioåtta år. Enligt hans förutsättningar är chansen att den äldre mannen dör jämfört med den yngre mannen 3 till 2. Ett likvärdigt kontrakt skulle kunna utformas: om personen på 58 år dör inom sex månader ärver den yngre mannen 2 000 floriner, men om mannen på fyrtio år dör inom sex månader ärver den äldre mannen 3 000 floriner. Det vill säga, chansen att mannen på 58 år får 3 000 floriner är som 2 till 3, eller, enligt de Witts annuitetsberäkningar, chansen att få en viss annuitetsutbetalning under den andra perioden är två tredjedelar av den under den första perioden.
Utifrån detta resonemang är de Witts beräkningar enkla: han summerar nutidsvärdena för de första hundra halvåren, två tredjedelar av nutidsvärdena för de följande tjugo halvåren, för de följande tjugo hälften av nutidsvärdena och en tredjedel för de sista fjorton åren. Alla dessa summeras och genomsnittet tas fram, vilket ger lite mer än 16 floriner som nuvärde av en florin i livränta för ett ungt och friskt liv. Om metoden hade tillämpats på faktiska dödlighetstabeller skulle arbetet ha varit formidabelt. Senare, 1671, korresponderade de Witt och Jan Hudde om problemet med efterlevande livräntor på mer än ett liv, och här använde båda faktiska dödlighetssiffror hämtade från annuitetsregistren i Holland. Genom att arbeta med flera grupper med minst hundra personer i en viss ålder utvecklade de Witt lämpliga räntesatser för livräntor på två liv. Dessa utvidgades i efterhand till ett valfritt antal liv genom en Pascal-triangel, med ett löfte till Hudde att fastställa resultaten i förväg. Detta var kulmen på de Witts arbete med annuiteter, men av politiska skäl föreslog han Hudde att allmänheten inte skulle informeras om resultaten av deras studie, eftersom de var villiga att köpa annuiteter på mer än ett liv till den nuvarande räntan, som var gynnsam för regeringen.
BIBLIOGRAFI
I. Originalverk. Elementa curvarum linearum, i Frans van Schootens latinska utgåva av Descartes Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Haag, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Sex brevvolymer i Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser, XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Volym XXXIII innehåller brev till och från matematiker, inklusive brev till Jan Hudde om annuiteter på mer än ett liv.
II. Sekundärlitteratur. Av de många biografier om de Witt är Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), oumbärlig. Ytterligare värdefullt är G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vol. (Paris, 1884); engelsk översättning, S. F. Stephenson och A. Stephenson (London, 1885). För en tillförlitlig diskussion om perioden och relationerna mellan de Witt och Vilhelm III, se Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (London, 1964), och hans Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), engelsk översättning, Arnold Pomerans (London, 1969). För geometrin se P. van Geer, ”Johan de Witt als Wiskundige”, i Nieuw Archief voor Wiskundige, 2nd ser, 11 (1915), 98-126, och C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
En engelsk översättning av arbetet om livränta finns i Frederick Hendricks, ”Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities”, i The Assurance Magazine (numera Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Volymer. 3 (1901), 10 (1908) och 11 (1909) av Archief voor Verzekeringe Wetenschap innehåller artiklar med varierande kritik och förklaringar av de Witts skrifter om livräntor.
Joy B. Easton