Pre-scriptum (din 26 iunie 2020): Aceste postări despre matematica și fizica elementară nu au suferit prea mult atacul forței întunecate – ceea ce este bine pentru că încă îmi plac. În timp ce părerile mele despre adevărata natură a luminii, a materiei și a forței sau forțelor care acționează asupra lor au evoluat semnificativ ca parte a explorărilor mele pentru o explicație mai realistă (clasică) a mecanicii cuantice, cred că cea mai mare parte (dacă nu toată) analiza din această postare rămâne valabilă și plăcută de citit. De fapt, consider că lucrurile cele mai simple sunt adesea cele mai bune. 🙂
Post original:
Primul meu titlu de lucru pentru acest post a fost Music and Moduri. Da. Modes. Nu stări de spirit. Relația dintre muzică și stări de spirit este și ea un subiect de cercetare interesant, dar deci nu despre asta voi scrie. 🙂
A început cu gândul că ar trebui să scriu ceva despre moduri, într-adevăr, pentru că conceptul de mod al unei unde, sau al oricărui oscilator de fapt, este destul de central în fizică, atât în fizica clasică, cât și în fizica cuantică (sistemele cuantico-mecanice sunt analizate și ele ca oscilatoare!). Dar mă întrebam cum să îl abordez, deoarece este un subiect destul de plictisitor dacă te uiți doar la matematică. Dar apoi mă întorceam cu avionul din Europa, în Asia, unde locuiesc și, cum cânt și eu puțin la chitară, am vrut brusc să știu de ce ne place muzica. Și apoi m-am gândit că este o întrebare pe care poate v-ați pus-o și voi la un moment dat! Și atunci m-am gândit că ar trebui să scriu despre moduri ca parte a unei povești mai interesante: o poveste despre muzică – sau, mai exact, o poveste despre fizica din spatele muzicii. Așa că… Să-i dăm drumul.
Filosofie versus fizică
Există, desigur, un răspuns foarte simplu la întrebarea de ce ne place muzica: ne place muzica pentru că este muzică. Dacă nu ar fi muzică, nu ne-ar plăcea. Acesta este un răspuns mai degrabă filozofic și, probabil, îi satisface pe majoritatea oamenilor. Cu toate acestea, pentru cineva care studiază fizica, acest răspuns cu siguranță nu poate fi suficient. Care este fizica din spatele acestui răspuns? Am revăzut Prelegerea lui Feynman despre undele sonore în plan, am combinat-o cu alte lucruri pe care le-am căutat pe Google când am ajuns și apoi am scris această postare, care vă oferă un răspuns mult mai puțin filozofic. 🙂
Observația din centrul discuției este înșelător de simplă: de ce se întâmplă că corzi similare (de ex. corzi fabricate din același material, cu aceeași grosime etc.), aflate sub aceeași tensiune, dar diferite ca lungime, sună „plăcut” atunci când se aud împreună dacă – și numai dacă – raportul dintre lungimile corzilor este de genul 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5 etc. (adică de genul oricărui alt raport dintre două numere întregi mici)?
Probabil că vă întrebați: oare asta este întrebarea, de fapt? Este. Întrebarea este înșelător de simplă, într-adevăr, deoarece, după cum veți vedea imediat, răspunsul este destul de complicat. Atât de complicat, de fapt, încât pitagoreicii nu au avut niciun răspuns. Și nici altcineva, de altfel – până în secolul al XVIII-lea sau cam așa ceva, când muzicienii, fizicienii și matematicienii deopotrivă au început să realizeze că o coardă (a unei chitare, a unui pian sau a oricărui instrument la care se gândea Pitagora la acea vreme), sau o coloană de aer (într-o orgă sau o trompetă, de exemplu), sau orice alt lucru care creează de fapt tonul muzical, oscilează de fapt la numeroase frecvențe simultan.
Pitagorienii nu bănuiau că o coardă, în sine, este un lucru destul de complicat – ceva la care fizicienii se referă ca la un oscilator armonic – și că sunetul său, prin urmare, este de fapt produs de mai multe frecvențe, în loc de una singură. Conceptul de notă pură, adică un sunet lipsit de armonici (adică lipsit de toate celelalte frecvențe, cu excepția frecvenței fundamentale), de asemenea, nu exista la acea vreme. Și dacă ar fi existat, oricum nu ar fi fost capabili să producă un ton pur: producerea tonurilor pure – sau a notelor, cum le voi numi, oarecum inexact (ar trebui să spun: o înălțime pură) – este remarcabil de complicată, iar acestea nu există în natură. Dacă pitagorienii ar fi fost capabili să producă tonuri pure, ar fi observat că tonurile pure nu dau nicio senzație de consonanță sau disonanță dacă frecvențele lor relative respectă aceste raporturi simple. Într-adevăr, experimentele repetate, în care se produc astfel de tonuri pure, au arătat că ființele umane nu pot spune cu adevărat dacă este un sunet muzical sau nu: este doar un sunet, și nu este nici plăcut (sau consonant, ar trebui să spunem), nici neplăcut (adică disonant).
Observația pitagoreică este valabilă, totuși, pentru tonurile muzicale reale (adică nepurii). Pe scurt, trebuie să facem o distincție între tonuri și note (adică tonuri pure): sunt două lucruri foarte diferite, iar esența întregului argument este că tonurile muzicale care ies din una (sau mai multe) coardă(e) tensionată(e) sunt pline de armonici și, așa cum voi explica imediat, asta este ceea ce explică relația observată între lungimile acelor coarde și fenomenul de consonanță (i.e.adică sunetul „plăcut”) sau disonanță (adică sunetul „neplăcut”).
Desigur, este ușor să spui ceea ce am spus mai sus: suntem în 2015 acum, și deci avem beneficiul retrospectivului. Pe atunci – deci acum mai bine de 2.500 de ani! – simplul, dar remarcabilul fapt că lungimile unor corzi asemănătoare ar trebui să respecte un raport simplu pentru ca ele să sune „frumos” împreună, a declanșat o fascinație pentru teoria numerelor (de fapt, pitagoreicii au pus de fapt bazele a ceea ce astăzi este cunoscut sub numele de teoria numerelor). Într-adevăr, Pitagora a considerat că relații similare ar trebui să fie valabile și pentru alte fenomene naturale! Pentru a menționa doar un singur exemplu, pitagorienii credeau, de asemenea, că și orbitele planetelor ar respecta astfel de relații numerice simple, motiv pentru care au vorbit despre „muzica sferelor” (Musica Universalis).
Acum știm că pitagorienii s-au înșelat. Proporțiile din mișcările planetelor în jurul Soarelui nu respectă raporturi simple și, beneficiind încă o dată de retrospectivă, este regretabil că a fost nevoie de mulți oameni curajoși și străluciți, cum ar fi Galileo Galilei și Copernic, pentru a convinge Biserica de acest fapt. 😦 De asemenea, în timp ce observațiile lui Pitagora în ceea ce privește sunetele care ieșeau din orice coarde la care se uita erau corecte, concluziile sale erau greșite: observația nu implică faptul că frecvențele notelor muzicale ar trebui să fie toate într-un raport simplu unele față de altele.
Lăsați-mă să repet ceea ce am scris mai sus: frecvențele notelor muzicale nu se află într-un raport simplu unele față de altele. Scara de frecvențe pentru toate tonurile muzicale este logaritmică și, deși asta implică faptul că putem, efectiv, să facem unele trucuri cu rapoarte bazate pe proprietățile scalei logaritmice (așa cum voi explica imediat), așa-numitul sistem de acordaj „pitagoreic”, care se bazează pe rapoarte simple, era pur și simplu greșit, chiar dacă acesta – sau o variantă a lui (în loc de raportul 3:2, muzicienii au folosit raportul 5:4 începând cu aproximativ 1510) – a fost utilizat în general până în secolul al XVIII-lea! Pe scurt, Pitagora s-a înșelat într-adevăr – cel puțin în această privință: nu putem face mare lucru cu acele rapoarte simple.
După ce am spus asta, intuiția de bază a lui Pitagora a fost corectă, iar acea intuiție este încă foarte mult ceea ce conduce fizica în ziua de azi: este ideea că Natura poate fi descrisă, sau explicată (orice ar însemna asta), doar prin relații cantitative. Să aruncăm o privire la modul în care funcționează de fapt pentru muzică.
Tone, zgomot și note
Să definim și să distingem mai întâi tonurile și notele. Un ton muzical este opusul zgomotului, iar diferența dintre cele două este că tonurile muzicale sunt forme de undă periodice, deci au o perioadă T, așa cum este ilustrat mai jos. În schimb, zgomotul este o formă de undă neperiodică. Este cât se poate de simplu.
Acum, din postările anterioare, știți că putem scrie orice funcție cu perioadă ca sumă a unui număr potențial infinit de funcții armonice simple, și că această sumă este denumită serie Fourier. Eu doar o notez aici, așa că nu vă faceți griji ca deocamdată. Voi reveni la ea mai târziu.
Știți, de asemenea, că avem șapte note muzicale: Do-Re-Mi-Fa-Fa-Sol-La-Si sau, mai frecvent în lumea anglofonă, A-B-C-D-E-F-F-G. Și apoi se începe din nou cu A (sau Do). Așadar, avem două note, separate de un interval care este denumit octavă (de la grecescul octo, adică opt), cu șase note între ele, deci opt note în total. Cu toate acestea, știți, de asemenea, că există și note intermediare, cu excepția celei dintre Mi și Fa și a celei dintre Si și Do. Acestea sunt denumite semitonuri sau jumătăți de treaptă. Prefer termenul de „semiton” în locul celui de „semiton”, pentru că vorbim de fapt de note, nu de tonuri.
Avem, de exemplu, Fa diez (notat cu Fa#), pe care îl putem numi și Sol bemol (notat cu Gb). Este același lucru: un # ascuțit ridică o notă cu un semiton (aka jumătate de treaptă), iar un b bemol o coboară cu aceeași valoare, deci F# este Gb. Este ceea ce se arată mai jos: într-o octavă, avem opt note, dar douăsprezece jumătăți de treaptă.
Să ne uităm acum la frecvențe. Scara de frecvențe de mai sus (exprimată în oscilații pe secundă, deci aceasta este unitatea hertz) este o scară logaritmică: frecvențele se dublează pe măsură ce trecem de la o octavă la alta: frecvența notei C4 de mai sus (așa-numitul do de mijloc) este de 261,626 Hz, în timp ce frecvența următoarei note C (C5) este dublă: 523,251 Hz.
Acum, dacă echivalăm intervalul dintre C4 și C5 cu 1 (deci octava este „unitatea” noastră muzicală), atunci intervalul dintre cele douăsprezece jumătăți de treaptă este, evident, 1/12. De ce? Pentru că avem 12 jumătăți de trepte în unitatea noastră muzicală. De asemenea, puteți verifica cu ușurință că, datorită modului în care funcționează logaritmii, raportul dintre frecvențele a două note care sunt separate de o jumătate de treaptă (între Re# și Mi, de exemplu) va fi egal cu 21/12. De asemenea, raportul dintre frecvențele a două note care sunt separate de n jumătăți de treaptă este egal cu 2n/12.
Acum, pentru că frecvențele diverselor note de Do sunt exprimate ca un număr care implică o fracție zecimală (cum ar fi 523,251 Hz, iar 0,251 este de fapt doar o aproximație) și pentru că sunt, prin urmare, un pic mai greu de citit și/sau de lucrat cu ele, voi ilustra următoarea idee – i.adică conceptul de armonice – cu La în loc de Do. 🙂
Harmonice
La cel mai mic La de pe un pian este notat cu A0, iar frecvența sa este de 27,5 Hz. Note de La mai mici există (avem una la 13,75 Hz, de exemplu), dar nu le folosim, deoarece sunt aproape (sau chiar dincolo) de limita celor mai joase frecvențe pe care le putem auzi. Așadar, să rămânem la pianul nostru cu coadă și să începem cu acea frecvență de 27,5 Hz. Următoarea notă La este A1, iar frecvența sa este de 55 Hz. Apoi avem A2, care este ca nota A de la chitara mea (sau a ta): frecvența sa este egală cu 2×55 = 110 Hz. Următoarea este A3, pentru care dublăm din nou frecvența: acum suntem la 220 Hz. Următorul este La din ilustrația scalei de Do de mai sus: A4, cu o frecvență de 440 Hz.
Acum, notele despre care vorbim aici sunt toate așa-numitele tonuri pure. De fapt, când spun că nota A de pe chitara noastră este denumită A2 și că are o frecvență de 110 Hz, atunci fac de fapt o simplificare uriașă. Mai rău, mint atunci când spun asta: atunci când cântați la o coardă la chitară sau când bateți o tastă la pian, tot felul de alte frecvențe – așa-numitele armonice – vor rezona și ele, iar asta este ceea ce conferă calitate sunetului: este ceea ce îl face să sune frumos. Așadar, frecvența fundamentală (cunoscută și ca prima armonică) este de 110 Hz, dar vom avea și a doua, a treia, a patra, etc. armonici cu frecvențe de 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz, etc. În muzică, frecvența de bază sau frecvența fundamentală este denumită înălțimea tonului și, după cum puteți vedea, folosesc adesea termenul „notă” (sau ton pur) ca sinonim pentru înălțime – ceea ce este mai mult sau mai puțin în regulă, dar nu este chiar corect de fapt.
Ce este în spatele fizicii? Priviți ilustrația de mai jos (am împrumutat-o de pe site-ul Physics Classroom). Linia neagră groasă este coarda, iar lungimea de undă a frecvenței sale fundamentale (adică prima armonică) este de două ori mai mare decât lungimea sa, așa că scriem λ1 = 2-L sau, invers, L = (1/2)-λ1. Acesta este așa-numitul prim mod al coardei.
Avem, de asemenea, un al doilea, al treilea, etc. mod, reprezentat mai jos, iar aceste moduri corespund armonicii a doua, a treia, etc., respectiv.
Pentru al doilea, al treilea, etc. mod, relația dintre lungimea de undă și lungimea coardei este, evident, următoarea: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = L = (3/2)-λ3, etc. Mai în general, pentru al n-lea mod, L va fi egală cu L = (n/2)-λn, cu n = 1, 2, etc. De fapt, deoarece se presupune că L este o anumită lungime fixă, ar trebui să o scriem invers: λn = (2/n)-L.
Ce implică aceasta pentru frecvențe? Știm că viteza undei – să o notăm cu c – în timp ce se deplasează în sus și în jos pe coardă, este o proprietate a coardei, și este o proprietate doar a coardei. Cu alte cuvinte, ea nu depinde de frecvență. Acum, viteza undei este egală cu frecvența înmulțită cu lungimea de undă, întotdeauna, deci avem c = f-λ. Să luăm exemplul coardei de chitară (clasică): lungimea acesteia este de 650 mm, adică 0,65 m. Prin urmare, identitățile λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L etc. devin λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433.. m și așa mai departe. Acum, combinând aceste lungimi de undă cu frecvențele menționate mai sus, obținem viteza undei c = (110 Hz)-(1,3 m) = (220 Hz)-(0,65 m) = (330 Hz)-(0,433… m) = 143 m/s.
Lasă-mă acum să revin la coarda lui Pitagora. Ar trebui să observați că frecvențele armonicilor produse de o simplă coardă de chitară sunt legate între ele prin rapoarte simple de numere întregi. Într-adevăr, frecvențele primei și celei de-a doua armonice se află într-un raport simplu de 2 la 1 (2:1). A doua și a treia armonică au un raport de frecvență de 3:2. A treia și a patra armonică un raport de 4:3. A cincea și a patra armonică 5:4, și așa mai departe și așa mai departe. Ele trebuie să fie. De ce? Pentru că armonicele sunt multipli simpli ai frecvenței de bază. Acum, asta este ceea ce se află cu adevărat în spatele observației lui Pitagora: atunci când suna corzi similare cu aceeași tensiune, dar cu lungimi diferite, el scotea sunete cu aceleași armonice. Nimic mai mult, nimic mai puțin.
Dă-mi voie să fiu destul de explicit aici, pentru că ideea pe care încerc să o exprim aici este oarecum subtilă. Coarda lui Pitagora este coarda lui Pitagora: el a vorbit despre coarde similare. Deci nu vorbim de o chitară reală sau de un pian sau de orice alt instrument cu coarde. Coardele de pe instrumentele cu coarde (moderne) nu sunt similare și nu au aceeași tensiune. De exemplu, cele șase corzi ale unei chitare nu diferă ca lungime (toate au 650 mm), dar sunt diferite ca tensiune. Cele șase corzi ale chitarei clasice au, de asemenea, un diametru diferit, iar primele trei corzi sunt corzi simple, spre deosebire de corzile inferioare, care sunt înfășurate. Așadar, corzile nu sunt similare, ci chiar foarte diferite. Pentru a ilustra acest lucru, am copiat valorile de mai jos pentru doar unul dintre numeroasele seturi de corzi de chitară disponibile în comerț. 
Este la fel pentru corzile de pian. Deși sunt ceva mai simple (toate sunt făcute din sârmă de pian, care este, practic, sârmă de oțel de foarte bună calitate), ele diferă de asemenea – nu numai în lungime, ci și în diametru, variind de obicei de la 0,85 mm pentru cele mai înalte corzi înalte până la 8,5 mm (deci de zece ori 0,85 mm) pentru cele mai joase note grave.
În concluzie, Pitagora nu cânta la chitară sau la pian (sau la orice alt instrument cu coarde mai sofisticat pe care grecii cu siguranță trebuie să fi avut și ei) când se gândea la aceste relații armonice. Explicația fizică din spatele faimoasei sale observații este, prin urmare, destul de simplă: tonurile muzicale care au aceleași armonice sună plăcut, sau consonant, ar trebui să spunem – de la latinescul con-sonare, care, literalmente, înseamnă „a suna împreună” (de la sonare = a suna și con = cu). Iar în caz contrar… Ei bine… Atunci ele nu sună plăcut: sunt disonante.
Pentru a ne lămuri, permiteți-mi să subliniez faptul că, atunci când ciupim o coardă, producem un sunet format din mai multe frecvențe, toate dintr-o singură lovitură. Se poate vedea acest lucru în practică: dacă loviți o coardă A mai mică de la un pian – să zicem coarda A2 de 110 Hz – atunci a doua sa armonică (220 Hz) va face să vibreze și coarda A3, pentru că are aceeași frecvență! Apoi, a patra sa armonică va face să vibreze și coarda A4, pentru că ambele au o frecvență de 440 Hz. Bineînțeles, intensitatea acestor alte vibrații (sau amplitudinea lor, ar trebui să spunem) va depinde de intensitatea celorlalte armonici și ar trebui, desigur, să ne așteptăm ca frecvența fundamentală (adică prima armonică) să absoarbă cea mai mare parte a energiei. Așadar, ciupim o singură coardă și astfel avem un singur sunet, un singur ton, dar numeroase note în același timp!
În acest sens, ar trebui să observați, de asemenea, că a treia armonică a coardei noastre A2 de 110 Hz corespunde cu frecvența fundamentală a tonului E4: ambele sunt de 330 Hz! Și, bineînțeles, armonicele lui Mi, cum ar fi a doua sa armonică (2-330 Hz = 660 Hz) corespund și ele armonicelor superioare ale lui La! Mai exact, a doua armonică a corzii Mi este egală cu a șasea armonică a corzii A2. Dacă chitara dvs. este bună și dacă și corzile dvs. sunt de o calitate rezonabilă, veți vedea de fapt acest lucru: corzile (inferioare) Mi și La covibrează dacă cântați acordul La major, dar lovind doar cele patru corzi superioare. Așadar, energia – de fapt, mișcarea – este transferată de la cele patru corzi pe care le atingeți la cele două corzi pe care nu le atingeți! Veți spune: și ce dacă? Ei bine… Dacă aveți vreo dovadă mai bună a actualității (sau realității) prezenței mai multor frecvențe în același timp, vă rog să-mi spuneți! 🙂
De aceea La și Mi sună foarte bine împreună (La, Mi și Do#, cântate împreună, alcătuiesc așa-numitul acord de La major): urechii noastre îi plac armonicele potrivite. Și iată de ce ne plac tonurile muzicale – sau de ce definim aceste tonuri ca fiind muzicale! 🙂 Permiteți-mi să rezum încă o dată: tonurile muzicale sunt unde sonore compuse, formate dintr-o frecvență fundamentală și așa-numitele armonice (deci avem mai multe note sau tonuri pure în total într-un singur ton muzical). Acum, atunci când alte tonuri muzicale au armonici care sunt împărtășite, iar noi sunăm și acele note, obținem senzația de armonie, adică combinația sună consonant.
Acum, nu este greu de văzut că vom avea întotdeauna astfel de armonici împărtășite dacă avem corzi similare, cu aceeași tensiune, dar cu lungimi diferite, care sunt sunate împreună. Pe scurt, ceea ce a observat Pitagora nu prea are legătură cu notele, ci cu tonurile. Haideți să mergem puțin mai departe în analiză acum, introducând ceva mai multă matematică. Și, da, îmi pare foarte rău: este vorba, într-adevăr, de temuta analiză Fourier! 🙂
Analiză Fourier
Știți că putem descompune orice funcție periodică într-o sumă a unei serii (potențial infinite) de funcții sinusoidale simple, așa cum este ilustrat mai jos. Am preluat ilustrația de pe Wikipedia: funcția roșie s6(x) este suma a șase funcții sinusoidale de amplitudini și frecvențe diferite (legate armonic). Așa-numita transformată Fourier S(f) (în albastru) pune în relație cele șase frecvențe cu amplitudinile respective.
În lumina discuției de mai sus, este ușor de înțeles ce înseamnă acest lucru pentru sunetul provenit de la o coardă ciupită. Folosind notația frecvenței unghiulare (deci scriem totul folosind ω în loc de f), știm că modurile normale sau naturale de oscilație au frecvențele ω = 2π/T = 2πf (deci aceasta este frecvența fundamentală sau prima armonică), 2ω (a doua armonică), 3ω (a treia armonică), și așa mai departe și tot așa.
Acum, nu există niciun motiv să presupunem că toate funcțiile sinusoidale care alcătuiesc tonul nostru ar trebui să aibă aceeași fază: poate exista o anumită defazaj Φ și, prin urmare, ar trebui să scriem funcția noastră sinusoidală nu ca cos(ωt), ci ca cos(ωt + Φ) pentru a ne asigura că analiza noastră este suficient de generală. Acum, de la orele de geometrie, știm că putem rescrie cos(ωt + Φ) sub forma
cos(ωt + Φ) =
Avem o mulțime de astfel de funcții, bineînțeles – una pentru fiecare armonică, de fapt – și, prin urmare, ar trebui să folosim indicele, ceea ce facem în formula de mai jos, care spune că orice funcție f(t) care este periodică cu perioada T poate fi scrisă matematic ca:
S-ar putea să vă întrebați: ce este acea perioadă T? Este perioada modului fundamental, adică a primei armonice. Într-adevăr, perioada celei de-a doua, a treia etc. armonice va fi doar o jumătate, o treime etc. din perioada primei armonice. Într-adevăr, T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1, iar T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1, și așa mai departe. Cu toate acestea, este ușor de observat că aceste funcții se repetă, de asemenea, după două, trei, etc. perioade, respectiv. Deci totul este în regulă, iar ideea generală din spatele analizei Fourier este ilustrată mai jos.
Voi spune: Ce naiba! De ce avem nevoie de această gimnastică matematică aici? Este doar pentru a înțelege acea altă caracteristică a unui ton muzical: calitatea sa (spre deosebire de înălțimea sa). Un așa-numit ton bogat va avea armonici puternice, în timp ce un ton pur va avea doar prima armonică. Toate celelalte caracteristici – diferența dintre un ton produs de o vioară față de un pian – sunt apoi legate de „amestecul” tuturor acelor armonice.
Acum le avem pe toate, cu excepția intensității sonore, care este, bineînțeles, legată de magnitudinea schimbărilor de presiune a aerului pe măsură ce forma noastră de undă se deplasează prin aer: înălțime, intensitate și calitate. asta este ceea ce face un ton muzical. 🙂
Disonanță
Cum am menționat mai sus, dacă sunetele nu sunt consonante, ele sunt disonante. Dar ce este de fapt disonanța? Ce se întâmplă? Răspunsul este următorul: atunci când două frecvențe sunt apropiate de o fracțiune simplă, dar nu exactă, obținem așa-numitele bătăi, care nu sunt pe placul urechii noastre.
Huh? Relaxați-vă. Ilustrația de mai jos, pe care am copiat-o din articolul din Wikipedia despre acordarea pianului, ilustrează fenomenul. Unda albastră este suma dintre unda roșie și cea verde, care sunt inițial identice. Dar apoi frecvența undei verzi este mărită, astfel că cele două unde nu mai sunt în fază, iar interferența are ca rezultat un model de bătaie. Desigur, tonul nostru muzical implică frecvențe diferite și, prin urmare, perioade diferite T1,T2, T3 etc., dar ați prins ideea: și armonicele superioare oscilează cu perioada T1, iar dacă frecvențele nu sunt într-un raport exact, atunci vom avea o problemă similară: bătăi, iar urechii noastre nu-i va plăcea sunetul.
Desigur, vă veți întreba: de ce nu ne plac bătăile în tonuri? Ne putem întreba asta, nu-i așa? E ca și cum ne-am întreba de ce ne place muzica, nu-i așa? Ei bine… Este și nu este. Este ca și cum ne-am întreba de ce urechii noastre (sau creierului nostru) îi plac armonicele. Noi nu știm. Așa suntem cablați. Explicația „fizică” a ceea ce este muzical și ceea ce nu este nu merge decât până la un punct, cred eu. 😦
Pitagora versus Bach
Din tot ceea ce am scris mai sus, este evident că frecvențele armonicilor unui ton muzical sunt, într-adevăr, legate prin raporturi simple de numere întregi mici: frecvențele primei și celei de-a doua armonice sunt într-un raport simplu de 2 la 1 (2:1); a doua și a treia armonică au un raport de frecvență de 3:2; a treia și a patra armonică au un raport de 4:3; a cincea și a patra armonică 5:4, etcetera. Asta este tot. Nimic mai mult, nimic mai puțin.
Cu alte cuvinte, Pitagora observa tonurile muzicale: el nu putea observa tonurile pure din spate, adică notele propriu-zise. Cu toate acestea, estetica l-a determinat pe Pitagora și pe toți muzicienii de după el – până la mijlocul secolului al XVIII-lea – să creadă că și raportul dintre frecvențele notelor din cadrul unei octave ar trebui să fie tot rapoarte simple. Din ceea ce am explicat mai sus, este evident că nu ar trebui să funcționeze astfel: raportul dintre frecvențele a două note separate de n jumătăți de treaptă este 2n/12, iar, pentru majoritatea valorilor lui n, 2n/12 nu este un raport simplu.
Deci – am spus-o deja – Pitagora a greșit – nu numai în acest sens, ci și în alte privințe, cum ar fi atunci când și-a expus părerile despre sistemul solar, de exemplu. Din nou, îmi pare rău că trebuie să spun asta, dar este ceea ce este: pitagorienii păreau într-adevăr să prefere ideile matematice în detrimentul experimentului fizic. 🙂 Acestea fiind spuse, muzicienii nu cunoșteau în mod evident nicio alternativă la Pitagora, și cu siguranță nu auziseră niciodată de scările logaritmice la acea vreme. Așa că… Ei bine… Ei au folosit așa-numitul sistem de acordaj pitagoreic. Mai exact, ei își acordau instrumentele prin echivalarea raportului de frecvență dintre primul și al cincilea ton din scara do (adică do și sol, deoarece nu includeau semitonurile do#, re# și fa# la numărare) cu raportul 3/2, iar apoi foloseau alte așa-numite rapoarte armonice pentru notele intermediare.
Acum, raportul 3/2 este de fapt aproape corect, deoarece raportul real de frecvență este de 27/12 (avem șapte tonuri, inclusiv semitonurile – nu cinci!), și deci asta înseamnă 1,4983, aproximativ. Acum, asta e destul de aproape de 3/2 = 1,5, aș zice. 🙂 Folosind această aproximație (care, recunosc, este într-adevăr destul de precisă), acordajul celorlalte corzi s-ar face apoi și el presupunând că ar trebui respectate anumite rapoarte, precum cele de mai jos.
Așa că totul a fost destul de bine. Acestea fiind spuse, buni muzicieni și unii mari matematicieni au simțit că ceva nu era în regulă – fie și numai pentru că existau mai multe așa-numite sisteme de intonație justă (pentru o privire de ansamblu, consultați articolul din Wikipedia despre intonația justă). Mai important, ei au simțit că era destul de dificil să transpună muzica folosind sistemul de acordaj pitagoreic. Transpunerea muzicii echivalează cu schimbarea așa-numitei tonalități a unei piese muzicale: ceea ce se face, practic, este să se mute întreaga piesă în sus sau în jos în ton cu un interval constant care nu este egal cu o octavă. Astăzi, transpunerea muzicii este floare la ureche – cel puțin în cazul muzicii occidentale. Dar asta doar pentru că toată muzica occidentală este cântată pe instrumente care sunt acordate folosind această scală logaritmică (din punct de vedere tehnic, se numește sistemul de temperament egal în 12 tonuri (12-TET)). Atunci când ai folosi unul dintre sistemele pitagoreice pentru acordaj, o piesă transpusă nu sună tocmai bine.
Primul matematician care părea să știe cu adevărat ce este în neregulă (și, prin urmare, care știa și ce să facă) a fost Simon Stevin, care a scris un manuscris bazat pe „principiul rădăcinii a 12-a din 2” în jurul anului 1600 d.Hr. Nu ar trebui să ne surprindă: gândirea acestui matematician din Bruges avea să inspire munca lui John Napier asupra logaritmilor. Din nefericire, deși manuscrisul respectiv descrie principiile de bază care stau la baza sistemului 12-TET, nu a fost publicat (Stevin a trebuit să fugă din Bruges, în Olanda, deoarece era protestant, iar conducătorilor spanioli de la acea vreme nu le plăcea acest lucru). Prin urmare, muzicienii, deși nu prea înțelegeau matematica (sau fizica, ar trebui să spun) din spatele propriei muzici, au continuat să încerce alte sisteme de acordaj, deoarece simțeau că le face muzica să sune într-adevăr mai bine.
Unul dintre aceste „alte sisteme” este așa-numitul temperament „bun”, despre care ați auzit cu siguranță, deoarece este menționat în celebra compoziție a lui Bach, Das Wohltemperierte Klavier, pe care a finalizat-o în prima jumătate a secolului al XVIII-lea. Ce este de fapt acest temperament „bun”? Ei bine… Este ceea ce este: este unul dintre acele sisteme de acordaj care i-a făcut pe muzicieni să se simtă mai bine în legătură cu muzica lor din mai multe motive, toate acestea fiind bine descrise în articolul din Wikipedia despre el. Dar motivul principal este că sistemul de acordaj recomandat de Bach era mult mai bun atunci când venea vorba de interpretarea aceleiași piese în altă tonalitate. Cu toate acestea, tot nu era destul de corect, deoarece nu era sistemul de temperament egal (adică sistemul 12-TET) care este în vigoare acum (cel puțin în Occident – scara muzicală indiană, de exemplu, se bazează încă pe rapoarte simple).
De ce menționez această piesă a lui Bach? Motivul este simplu: probabil că ați auzit de ea pentru că este unul dintre principalele puncte de referință într-o carte destul de celebră: Gödel, Escher și Bach- o veșnică împletitură de aur. Dacă nu, atunci uitați de ea. Îl menționez pentru că unul dintre frații mei îl adoră. Este despre inteligența artificială. Nu am citit-o, dar trebuie să presupun că piesa de maestru a lui Bach este analizată acolo din cauza structurii sale, nu din cauza sistemului de acordaj pe care se presupune că trebuie să-l folosești atunci când o cânți. Așa că… Ei bine… Aș spune: nu faceți această compoziție mai mistică decât este deja. 🙂 „Magia” din spatele ei este legată de ceea ce am spus despre faptul că A4 este „punctul de referință” în muzică: din moment ce acum folosim o scală logaritmică universală, nu mai există un punct de referință absolut: odată ce definim „unitatea” noastră muzicală (deci așa-numita octavă în muzica occidentală) și, de asemenea, definim câte trepte dorim să avem între ele (deci 12 – în muzica occidentală, desigur), obținem tot restul. Așa funcționează logaritmii.
Deci, pe scurt, muzica se referă la structură, adică la relații matematice, și numai la relații matematice. Din nou, concluziile lui Pitagora au fost greșite, dar intuiția sa a fost corectă. Și, bineînțeles, intuiția sa este cea care a dat naștere științei: „modelele” simple pe care le-a făcut – despre modul în care notele ar trebui să fie legate între ele, sau despre sistemul nostru solar – au fost, evident, doar începutul a tot. Și ce început grozav a fost! Privind din nou în urmă, este destul de trist că forțele conservatoare (cum ar fi Biserica) au stat adesea în calea progresului. De fapt, mă întreb brusc: dacă oamenii de știință nu ar fi fost deranjați de aceste forțe conservatoare, ar fi putut omenirea să trimită oameni în jurul timpului în care s-a născut Carol al V-lea, adică în jurul anului 1500 d.Hr. deja? 🙂
Post scriptum: Exemplul meu despre covibrarea corzilor de chitară Mi și La (inferioare) atunci când se cântă acordul La major lovind doar pe cele patru corzi superioare, este oarecum complicat. Corzile Mi și La (mai joase) sunt asociate cu tonalități mai joase, iar noi am spus că supratonurile (adică armonicele a doua, a treia, a patra, etc.) sunt multipli ai frecvenței fundamentale. Atunci de ce covibrează corzile joase? Răspunsul este simplu: ele oscilează doar la frecvențele mai înalte. Dacă aveți o chitară: încercați. Cele două corzi pe care nu le ciupiți vibrează – și foarte vizibil, dar frecvențele fundamentale joase care ies din ele atunci când le-ați lovi, nu sunt audibile. Pe scurt, ele rezonează doar la frecvențele mai înalte. 🙂
Exemplul pe care îl dă Feynman este mult mai simplu: exemplul său menționează că notele de do (sau la, si, etc.) mai joase de la un pian provoacă vibrații în corzile de do mai înalte (sau, respectiv, de la, si, etc.). De exemplu, lovirea tastei C2 (și, prin urmare, a coardei C2 din interiorul pianului) va face să vibreze și coarda C3 (mai înaltă). Dar puțini dintre noi au acasă un pian cu coadă, cred. De aceea prefer exemplul meu cu chitara 🙂
.