Witt, Jan De

(n. Dordrecht, Țările de Jos, 24 septembrie 1625; d. Haga, Țările de Jos, 20 august 1672)

matematician.

De Witt a fost fiul lui Jacob de Witt, burgomeister de Dordrecht, și al Annei van de Corput. Ambele familii erau membri proeminenți ai clasei regente care guverna orașele și provinciile din Țările de Jos. A intrat la școala latină din Dordrecht în 1636 și a mers la Universitatea din Leiden în 1641. Acolo a studiat dreptul, plecând în Franța în 1645 pentru a-și lua licența la Angers. La Leiden a studiat matematica în particular cu Frans van Schooten cel Tânăr și a primit de la acesta o pregătire excelentă în matematica carteziană. De Witt a fost un matematician talentat care a avut puțin timp pentru a se dedica matematicii. A devenit pensionar de Dordrecht în 1650 și mare pensionar al Olandei în 1653, ceea ce l-a făcut lider al Partidului Statelor și, de fapt, prim-ministru al Țărilor de Jos. A fost un om de stat de o abilitate și o tărie de caracter neobișnuite, care a condus afacerile Provinciilor Unite în timpul interregnului de douăzeci de ani de la conducerea statului, în timpul minorității lui William de Orange. Aceasta a fost una dintre cele mai critice perioade din istoria Olandei, cu cele trei războaie anglo-olandeze; ostilitatea facțiunii Orange a culminat cu asasinarea lui de Witt și a fratelui său Cornelis de către o gloată în 1672.

Cea mai importantă lucrare matematică a lui de Witt a fost lucrarea sa Elementa curvarum linearum, scrisă înainte de 1650 și tipărită în cea de-a doua ediție latină a lui Van Schooten a lucrării Géométrie a lui Descartes (1659-1661). Ea este alcătuită din două cărți: prima, o tratare sintetică a teoriei geometrice care se găsește în primele cărți ale Conicelor lui Apollonius ; iar a doua, una dintre primele dezvoltări sistematice ale geometriei analitice a dreptei și a conicelor. În prima carte, simptomele (exprimate ca proporții) ale parabolei, elipsei și hiperbolei sunt derivate ca locuri plane, mai degrabă decât ca secțiuni ale conului. Definițiile sale de locus ale elipsei ne sunt familiare astăzi: construcția unghiului excentric (un punct fix în raport cu un segment în rotație); construcția trambulinei (un punct fix pe un segment dat care se deplasează pe două drepte care se intersectează); și construcția „șirului”, bazată pe definiția celor două focare. Pentru hiperbolă și parabolă, locul se construiește ca intersecție a membrilor corespunzători a două creioane de drepte, una paralelă și una concurentă. În termeni moderni, acestea sunt exemple interesante și neintenționate ale definiției proiective Steiner-Chasles a conicelor, în care vârful unui creion se află la infinit.

De Witt este creditat cu introducerea termenului „directoare” pentru parabolă, dar este clar din derivarea sa că el nu folosește acest termen pentru linia fixă din definiția noastră focar-directorială. Fiind date dreptele fixe DB și EF care se intersectează în D, cu B polul și EF directoarea: pentru orice punct H pe EF, dacă ∠HBL este construit egal cu ∠FDB, o dreaptă prin H paralelă cu BD taie BL în G, un punct de pe locus. Se trasează AC prin B cu ∠DBC = ∠BDF, tăind HG în I, iar GK se trasează paralel cu AC. Deoarece triunghiurile BDH și GKB sunt asemănătoare, (BI)2 =(BD) (BK) sau y2 = px, o parabolă cu vârful în B, abscisa BK = x și ordonata KG = y. Dacă EF este perpendiculară pe DB, rezultă un sistem de coordonate dreptunghiulare, dar EF nu este directoarea noastră.

În prima carte a Elementelor, de Witt nu numai că a eliberat conicele de conuri prin construcțiile sale cinematice, dar a satisfăcut criteriile carteziene de construibilitate. Această carte a fost scrisă, după cum i-a raportat lui van Schooten, pentru a oferi un fundal pentru noua dezvoltare analitică din cea de-a doua carte. El a început tratamentul analitic arătând că ecuațiile de gradul întâi reprezintă linii drepte. Așa cum era obișnuit la acea vreme, el nu a folosit coordonate negative, reprezentând grafic doar segmente sau raze în primul cadran. El a explicat cu atenție construcția propriu-zisă a dreptelor pentru coeficienți arbitrari

din moment ce acestea vor fi necesare în transformările sale care reduc ecuațiile pătratice generale la conice de tip. Pentru fiecare conică, de Witt a început cu ecuații simplificate echivalente cu formele sale standard din cartea I, iar apoi a folosit translații și rotații pentru a reduce ecuațiile mai complicate la formele canonice. De exemplu, în hiperbolă

el lasă

și apoi

v = x + h

unde h este coeficientul termenului liniar în x după prima substituție, obținând

o hiperbolă standard care taie noile axe v sau z după cum hh este mai mare sau mai mic decât. Deși de Witt pare să fie conștient de caracteristica ecuației pătratice generale în alegerea exemplelor sale, el nu menționează în mod explicit utilizarea acesteia pentru a determina tipul de conică decât în cazul parabolei. Acolo el afirmă că, dacă termenii de gradul al doilea sunt un pătrat perfect, ecuația reprezintă o parabolă.

Ultimul capitol este un rezumat al diferitelor transfomări care arată cum se construiesc graficele tuturor ecuațiilor de gradul al doilea. Fiecare caz de coeficienți pozitivi și negativi trebuie tratat separat într-un desen, dar discuția pentru fiecare curbă este complet generală și sunt desenate atât axele originale, cât și cele transformate.

În plus față de simplificările algebrice ale curbelor la forma normală, cartea a II-a conține obișnuita proprietate focar-directorială a parabolei și derivatele analitice ale eilipsei și hiperbolei ca loc al punctelor a căror sumă sau diferență a distanțelor de la două puncte fixe este o constantă. Acestea sunt realizate în manieră modernă, prin ridicarea la pătrat de două ori, cu utilizarea explicită a teoremei lui Pitagora în locul formulei mai recente a distanței.

Elementa lui De Witt și Tractatus de sectionibus conicis (1655) a lui John Wallis sunt considerate primele manuale de geometrie analitică. Deși Wallis a ridicat problema priorității, abordările lor au fost diferite și complet independente. Wallis a definit mai întâi conicele ca ecuații de gradul al doilea și a dedus proprietățile curbelor din ecuații, în timp ce de Witt le-a dedus geometric în plan, iar apoi a arătat că ecuațiile pătratice pot fi reduse la formele sale normale.

Christiaan Huygens i-a scris odată lui John Wallis despre de Witt: „Dacă și-ar fi cruțat toate puterile pentru lucrări matematice, ne-ar fi depășit pe toți”. Geometria sa a fost singura sa contribuție la matematica pură, dar el și-a legat interesele matematice de problemele financiare ale provinciei Olanda de-a lungul lungului său mandat de mare pensionar. Principalul mijloc de a strânge bani pentru Statres era prin anuități viagere sau fixe. În 1665, de Witt a reușit să reducă rata dobânzii de la 5 la 4 la sută și a înființat un fond de amortizare cu dobânda economisită prin conversia acumulată cu dobândă compusă pentru a fi aplicată la datoria Olandei, care putea fi astfel plătită în patruzeci și unu de ani. Cu toate acestea, cel de-al doilea război anglo-olandez(1665-1667) a înfrânt acest plan. Războaiele englezești au fost o perpetuă scurgere financiară, și nu mai mult de jumătate din cheltuieli (aproape numai costurile războiului) au fost înghițite de plata dobânzilor.

În aprilie 1671 s-a hotărât să se negocieze fondurile prin anuități viagere, limitând astfel datoria la o singură generație. De Witt a pregătit un tratat pentru statele Olandei, demonstrând matematic faptul că anuitățile viagere erau oferite la o rată a dobânzii prea mare în comparație cu anuitățile fixe. Timp de mulți ani, ratele de regulă pentru anuitățile viagere au fost de două ori mai mari decât rata standard a dobânzii. Olanda a redus recent rata dobânzii la douăzeci și cinci de ani de achiziție (4%) și vindea anuități viagere la paisprezece ani de achiziție (7%). De Witt dorea să crească prețul la șaisprezece ani de cumpărare (6¼ la sută). Lucrarea sa Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (iulie 1671) se numără cu siguranță printre primele încercări de aplicare a teoriei probabilităților la problemele economice. A fost scrisă ca document politic și a rămas îngropată în arhive timp de aproape două sute de ani. De la descoperirea și publicarea sa de către Frederick Hendriks, în 1852, au existat numeroase articole (dintre care unele sunt enumerate în bibliorgaphie)care au explicat-o sau au criticat-o pe baza științei actuariale moderne. Este, de fapt, o disertație foarte simplă și ingenioasă, bazată doar pe utilizarea principiului așteptării matematice pentru a forma contracte egale.

De Witt a enumerat valorile prezente la 4 la sută ale plăților de anuități de 10.000.000 de stuyvers (pentru a evita zecimalele) pe jumătate de an și a însumat așteptările matematice folosind rate de mortalitate ipotetice pentru diferite vârste. El a presupus mai întâi că este la fel de probabil ca un om să moară în prima sau în ultima jumătate a oricărui an, iar apoi, având în vedere că anuitățile erau în general cumpărate pentru vieți tinere, a extins acest lucru la orice jumătate de an din „anii de vigoare deplină” de la vârsta de trei la cincizeci și trei de ani. Pentru simplificare, el a considerat prima sută de jumătăți de ani la fel de distructivă sau mortală, deși a afirmat că probabilitatea de deces este de fapt mai mică în primii ani. De asemenea, el s-a oprit la vârsta de optzeci de ani, deși mulți trăiesc dincolo de această vârstă. În următorii zece ani, de la cincizeci și trei la șaizeci și trei de ani, șansa de a muri nu depășește mai mult decât în proporție de 3 la 2 șansa de a muri în prima perioadă; de la șaizeci și trei la șaptezeci și trei de ani, șansa de a muri nu este mai mare de 2 la 1; iar de la șaptezeci și trei la optzeci de ani, nu mai mare de 3 la 1.

De Witt dă multe exemple pentru a explica utilizarea conceptului de așteptare matematică. Următorul este de bază pentru calculele sale ulterioare și a fost trecut cu vederea de mulți comentatori. Luați în considerare un om de patruzeci de ani și un om de cincizeci și opt de ani. Conform presupozițiilor sale, șansele ca bărbatul mai în vârstă să moară în comparație cu cel mai tânăr sunt de 3 la 2. Ar putea fi conceput un contract egal: dacă persoana de 58 de ani moare în șase luni, cel mai tânăr moștenește 2.000 de florini, dar dacă bărbatul de 40 de ani moare în șase luni, cel mai în vârstă moștenește 3.000 de florini. Adică, șansa ca bărbatul de cincizeci și opt de ani să câștige 3.000 de florini. este de 2 la 3, sau, în termenii calculelor de rentă viageră ale lui de Witt, șansa de a primi o anumită plată de rentă viageră în a doua perioadă este de două treimi din cea din prima perioadă.

Din acest raționament, calculele lui de Witt sunt simple: el însumează valorile prezente pentru prima sută de jumătăți de ani; două treimi din valorile prezente pentru următoarele douăzeci de jumătăți de ani; pentru următoarele douăzeci, o jumătate din valorile prezente; și o treime pentru ultimele paisprezece. Toate acestea sunt însumate și se ia media, rezultând ceva mai mult de șaisprezece florini ca valoare actuală a unei rente de un florin pentru o viață tânără și sănătoasă. Dacă această metodă ar fi fost aplicată la tabelele de mortalitate reale, munca ar fi fost formidabilă. Mai târziu, în 1671, de Witt și Jan Hudde au corespondat cu privire la problema anuităților de supraviețuire pe mai multe vieți, iar aici amândoi au folosit cifre reale de mortalitate luate din registrele de anuități din Olanda. Lucrând cu mai multe grupuri de cel puțin o sută de persoane de o anumită vârstă, de Witt a elaborat rate adecvate pentru anuitățile pe două vieți. Acestea au fost extinse a posteriori la orice număr de vieți printr-un triunghi Pascal, cu promisiunea către Hudde de a stabili rezultatele a priori. Acesta a fost punctul culminant al activității lui de Witt cu privire la anuități, dar, din motive politice, i-a sugerat lui Hudde ca publicul să nu fie informat de rezultatele studiului lor, deoarece acesta era dispus să cumpere anuități pe mai multe vieți la rata actuală, care era favorabilă guvernului.

BIBLIOGRAFIE

I. Lucrări originale. Elementa curvarum linearum, în ed. latină a lui Frans van Schooten’ de Descartes’s Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (The Hague, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Șase volume de scrisori în Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Volumul XXXIII conține scrisori către și de la matematicieni, inclusiv scrisorile către Jan Hudde cu privire la anuitățile pe mai multe vieți.

II. Literatură secundară. Dintre numeroasele biografii ale lui de Witt, Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), este indispensabilă. Încă mai valoroasă este G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vol., Ed. (Paris, 1884); traducere în limba engleză, S. F. Stephenson și A. Stephenson (Londra, 1885). Pentru o discuție fiabilă a perioadei și a relațiilor dintre de Witt și și William al III-lea , vezi Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Londra, 1964), și cartea sa Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), trad. engleză, Arnold Pomerans (Londra. 1969). Pentru geometrie, a se vedea P. van Geer, „Johan de Witt als Wiskundige”, în Nieuw Archief voor Wiskundige, 2nd ser, 11 (1915), 98-126; și C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (History of Analytic Geometry) (New York, 1956).

O traducere în limba engleză a lucrării despre rentele viagere poate fi găsită în Frederick Hendricks, „Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities”, în The Assurance Magazine (acum Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908) și 11 (1909) din Archief voor Verzekeringe Wetenschap conțin articole care oferă diferite critici și explicații ale scrierilor lui de Witt’ despre anuități.

Joy B. Easton

Joy B. Easton

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.