Du bist wahrscheinlich schon hunderte Male in deinem täglichen Leben einseitigen Objekten begegnet – wie dem universellen Symbol für Recycling, das man auf der Rückseite von Aluminiumdosen und Plastikflaschen findet.
Dieses mathematische Objekt wird Mobiusband genannt. Es fasziniert Umweltschützer, Künstler, Ingenieure, Mathematiker und viele andere seit seiner Entdeckung im Jahr 1858 durch August Möbius, einen deutschen Mathematiker, der vor 150 Jahren, am 26. September 1868, starb.
Möbius entdeckte den einseitigen Streifen 1858, während er als Lehrstuhlinhaber für Astronomie und höhere Mechanik an der Universität Leipzig tätig war. (Ein anderer Mathematiker namens Listing beschrieb ihn bereits einige Monate zuvor, veröffentlichte seine Arbeit aber erst 1861.) Möbius scheint auf das Möbiusband gestoßen zu sein, als er an der geometrischen Theorie von Polyedern arbeitete, massiven Figuren, die aus Ecken, Kanten und ebenen Flächen bestehen.
Ein Möbiusband kann erstellt werden, indem man einen Papierstreifen nimmt, ihn eine ungerade Anzahl von Halbdrehungen macht und dann die Enden mit Klebeband wieder zusammenklebt, um eine Schleife zu bilden. Wenn du einen Bleistift nimmst und eine Linie entlang der Mitte des Streifens ziehst, wirst du sehen, dass die Linie anscheinend an beiden Seiten der Schleife entlang läuft.
Das Konzept eines einseitigen Objekts inspirierte Künstler wie den holländischen Grafiker M.C. Escher, dessen Holzschnitt „Möbiusband II“ rote Ameisen zeigt, die eine nach der anderen auf einem Möbiusband entlangkrabbeln.
Das Möbiusband hat mehr als nur eine überraschende Eigenschaft. Nimm zum Beispiel eine Schere und schneide das Band entlang der Linie, die du gerade gezeichnet hast, in zwei Hälften. Sie werden erstaunt feststellen, dass Sie nicht zwei kleinere einseitige Möbiusstreifen erhalten, sondern eine lange zweiseitige Schleife. Wenn du kein Blatt Papier zur Hand hast, zeigt Eschers Holzschnitt „Möbiusband I“, was passiert, wenn ein Möbiusband entlang seiner Mittellinie durchgeschnitten wird.
Das Band hat zwar einen visuellen Reiz, aber seine größte Wirkung hatte es in der Mathematik, wo es zur Entwicklung eines ganzen Bereichs namens Topologie beitrug.
Ein Topologe untersucht die Eigenschaften von Objekten, die erhalten bleiben, wenn sie bewegt, gebogen, gedehnt oder verdreht werden, ohne dass Teile zerschnitten oder zusammengeklebt werden. Ein verworrenes Paar Ohrstöpsel zum Beispiel ist in einem topologischen Sinn dasselbe wie ein unverworrenes Paar Ohrstöpsel, denn um das eine in das andere zu verwandeln, muss man es nur bewegen, biegen und verdrehen. Es ist kein Schneiden oder Kleben erforderlich, um zwischen ihnen zu wechseln.
Ein anderes Paar von Objekten, die topologisch gleich sind, sind eine Kaffeetasse und ein Donut. Da beide Objekte nur ein Loch haben, kann das eine durch einfaches Dehnen und Biegen in das andere verformt werden.
Die Anzahl der Löcher in einem Objekt ist eine Eigenschaft, die nur durch Schneiden oder Kleben verändert werden kann. Diese Eigenschaft – die „Gattung“ eines Objekts genannt wird – erlaubt es uns zu sagen, dass ein Paar Ohrstöpsel und ein Donut topologisch unterschiedlich sind, da ein Donut ein Loch hat, während ein Paar Ohrstöpsel keine Löcher hat.
Unglücklicherweise scheinen ein Möbiusband und eine zweiseitige Schleife, wie ein typisches Silikonarmband, beide ein Loch zu haben, so dass diese Eigenschaft nicht ausreicht, um sie zu unterscheiden – zumindest aus der Sicht eines Topologen.
Die Eigenschaft, die ein Möbiusband von einer zweiseitigen Schleife unterscheidet, heißt Orientierbarkeit. Wie die Anzahl der Löcher kann auch die Orientierbarkeit eines Objekts nur durch Schneiden oder Kleben verändert werden.
Stellen Sie sich vor, Sie schreiben eine Notiz auf eine durchsichtige Fläche und gehen dann auf dieser Fläche spazieren. Die Oberfläche ist orientierbar, wenn Sie, wenn Sie von Ihrem Spaziergang zurückkommen, die Notiz immer lesen können. Auf einer nicht ausrichtbaren Fläche kann es vorkommen, dass Sie von Ihrem Spaziergang zurückkommen und feststellen, dass die von Ihnen geschriebenen Worte sich scheinbar in ihr Spiegelbild verwandelt haben und nur von rechts nach links gelesen werden können. Auf einer zweiseitigen Schleife ist der Zettel immer von links nach rechts zu lesen, egal wohin die Reise ging.
Da das Möbiusband nicht orientierbar ist, während die zweiseitige Schleife orientierbar ist, bedeutet das, dass das Möbiusband und die zweiseitige Schleife topologisch unterschiedlich sind.
Das Konzept der Orientierbarkeit hat wichtige Auswirkungen. Nehmen wir Enantiomere. Diese chemischen Verbindungen haben die gleiche chemische Struktur, mit einem entscheidenden Unterschied: Sie sind Spiegelbilder des jeweils anderen. Die Chemikalie L-Methamphetamin ist zum Beispiel ein Bestandteil von Vicks Vapor Inhalers. Sein Spiegelbild, D-Methamphetamin, ist eine illegale Droge der Klasse A. Würden wir in einer nicht orientierbaren Welt leben, wären diese Chemikalien nicht zu unterscheiden.
Die Entdeckung von August Möbius eröffnete neue Wege zur Untersuchung der natürlichen Welt. Die Erforschung der Topologie bringt weiterhin verblüffende Ergebnisse hervor. Letztes Jahr zum Beispiel hat die Topologie Wissenschaftler dazu gebracht, seltsame neue Materiezustände zu entdecken. Die diesjährige Fields-Medaille, die höchste Auszeichnung in der Mathematik, wurde an Akshay Venkatesh verliehen, einen Mathematiker, der dazu beigetragen hat, die Topologie mit anderen Gebieten wie der Zahlentheorie zu verbinden.