Es muy probable que te hayas encontrado con objetos de una sola cara cientos de veces en tu vida cotidiana, como el símbolo universal del reciclaje, que se encuentra impreso en el reverso de las latas de aluminio y las botellas de plástico.
Este objeto matemático se llama banda de Mobius. Ha fascinado a ecologistas, artistas, ingenieros, matemáticos y muchos otros desde su descubrimiento en 1858 por August Möbius, un matemático alemán que murió hace 150 años, el 26 de septiembre de 1868.
Möbius descubrió la tira de un solo lado en 1858 mientras ocupaba la cátedra de astronomía y mecánica superior en la Universidad de Leipzig. (Otro matemático llamado Listing la describió en realidad unos meses antes, pero no publicó su trabajo hasta 1861). Möbius parece haber encontrado la banda de Möbius mientras trabajaba en la teoría geométrica de los poliedros, figuras sólidas compuestas por vértices, aristas y caras planas.
Una banda de Möbius puede crearse tomando una tira de papel, dándole un número impar de medias vueltas, y luego pegando los extremos para formar un bucle. Si tomas un lápiz y dibujas una línea a lo largo del centro de la tira, verás que la línea aparentemente corre a lo largo de ambos lados del bucle.
El concepto de objeto unilateral inspiró a artistas como el diseñador gráfico holandés M.C. Escher, cuyo grabado en madera «Tira de Möbius II» muestra hormigas rojas arrastrándose una tras otra a lo largo de una tira de Möbius.
La banda de Möbius tiene más de una propiedad sorprendente. Por ejemplo, prueba a coger unas tijeras y cortar la tira por la mitad a lo largo de la línea que acabas de dibujar. Te sorprenderá ver que no te quedan dos tiras de Möbius más pequeñas de un solo lado, sino un bucle largo de dos lados. Si no tienes un trozo de papel a mano, el grabado en madera de Escher «Tira de Möbius I» muestra lo que ocurre cuando se corta una tira de Möbius a lo largo de su línea central.
Aunque la tira tiene ciertamente un atractivo visual, su mayor impacto ha sido en las matemáticas, donde ayudó a estimular el desarrollo de todo un campo llamado topología.
Un topólogo estudia las propiedades de los objetos que se conservan cuando se mueven, se doblan, se estiran o se retuercen, sin cortar ni pegar las partes. Por ejemplo, un par de auriculares enredados es, en un sentido topológico, lo mismo que un par de auriculares sin enredar, porque cambiar uno por otro sólo requiere moverlo, doblarlo y retorcerlo. No es necesario cortar ni pegar para transformarlos.
Otro par de objetos que son topológicamente iguales son una taza de café y un donut. Como ambos objetos tienen un solo agujero, uno puede deformarse en el otro con sólo estirarlo y doblarlo.
El número de agujeros de un objeto es una propiedad que sólo puede modificarse cortando o pegando. Esta propiedad -llamada «género» de un objeto- nos permite decir que un par de auriculares y un donut son topológicamente diferentes, ya que un donut tiene un agujero, mientras que un par de auriculares no tiene agujeros.
Desgraciadamente, una tira de Möbius y un bucle de dos lados, como una típica pulsera de silicona para la concienciación, parecen tener ambos un agujero, por lo que esta propiedad es insuficiente para diferenciarlos, al menos desde el punto de vista de un topólogo.
En cambio, la propiedad que distingue una banda de Möbius de un bucle de dos lados se llama orientabilidad. Al igual que su número de agujeros, la orientabilidad de un objeto sólo puede modificarse mediante el corte o el pegado.
Imagina que escribes una nota en una superficie transparente y luego das un paseo por ella. La superficie es orientable si, cuando vuelves de tu paseo, siempre puedes leer la nota. En una superficie no orientable, es posible que al volver del paseo te encuentres con que las palabras que has escrito se han convertido aparentemente en su imagen especular y sólo se pueden leer de derecha a izquierda. En el bucle de dos caras, la nota siempre se leerá de izquierda a derecha, sin importar a dónde te haya llevado tu viaje.
Como la banda de Möbius es no orientable, mientras que el bucle de dos lados es orientable, eso significa que la banda de Möbius y el bucle de dos lados son topológicamente diferentes.
El concepto de orientabilidad tiene importantes implicaciones. Por ejemplo, los enantiómeros. Estos compuestos químicos tienen las mismas estructuras químicas excepto por una diferencia clave: Son imágenes especulares la una de la otra. Por ejemplo, la sustancia química L-metaanfetamina es un ingrediente de los inhaladores de vapor Vicks. Su imagen especular, la D-metanfetamina, es una droga ilegal de clase A. Si viviéramos en un mundo no orientable, estas sustancias químicas serían indistinguibles.
El descubrimiento de August Möbius abrió nuevas formas de estudiar el mundo natural. El estudio de la topología sigue produciendo resultados sorprendentes. Por ejemplo, el año pasado, la topología llevó a los científicos a descubrir nuevos y extraños estados de la materia. La Medalla Fields de este año, el más alto honor en matemáticas, se concedió a Akshay Venkatesh, un matemático que ayudó a integrar la topología con otros campos como la teoría de los números.