En 2017, Quercus a lancé une nouvelle série Little Ways to Live a Big Life qui consiste en des livrets de petit format d’environ 60 pages de type « comment faire ». En 2017, cinq titres ont été mis à disposition : Comment jouer du piano, Comment dessiner n’importe quoi, Comment faire atterrir un avion et dans le domaine plus technico-scientifique : Comment comprendre $E=mc^2$ et le présent texte.
Marcus Du Sautoy commence par une introduction formulant le problème suivant . Si l’on veut compter à l’infini par énumération : 1,2,3,…, vous ne pourrez jamais atteindre l’infini, quelle que soit la vitesse à laquelle vous allez compter. Est-il donc possible de compter à l’infini ? Commençons par le commencement : le comptage est l’une des plus anciennes activités « mathématiques » de l’homme. Cependant, une somme de nombres infiniment nombreux peut toujours être finie. Supposons que vous comptiez les dix premiers nombres à un rythme lent, mais qu’à chaque dizaine de nombres suivants, vous comptiez deux fois plus vite, alors il prouve que vous atteindrez l’infini en un temps fini. Mais cela exige que vous finissiez par compter infiniment vite. Certaines langues primitives ont des mots pour un, deux et trois, mais tout ce qui va au-delà est « beaucoup ». Ces personnes peuvent néanmoins déterminer si un ensemble de plus de trois éléments est plus grand ou plus petit qu’un autre ensemble. La méthode consiste à apparier les éléments un par un et le plus grand ensemble aura des éléments qui ne peuvent pas être appariés avec des éléments du plus petit ensemble. Cette idée d’appariement est utilisée dans la métaphore de l’hôtel de Hilbert pour illustrer qu’il y a autant de nombres rationnels que de nombres naturels. Du Sautoy illustre ensuite que les gens avaient besoin de nombres irrationnels comme par exemple la racine carrée de 2 et pi. Avec le principe de la diagonale de Cantor, il peut illustrer qu’il y a plus de nombres irrationnels que de rationnels. Et voilà, nous avons atteint l’infini et même dépassé un niveau supérieur. Du Sautoy conclut : « L’astuce n’était pas de commencer à compter, ‘1,2,3’, puis d’espérer atteindre l’infini. Au contraire, un changement de perspective nous a permis de penser à l’infini en une seule fois et, ce faisant, de montrer que l’infini est une bête à plusieurs têtes. Étonnamment, il ne nous a fallu que 48 pages pour arriver à l’infini. C’est le pouvoir de la pensée mathématique. En utilisant notre équipement fini dans notre tête, nous pouvons transcender notre environnement fini et toucher l’infini », une ode poétique aux mathématiques.
Si vous voulez savoir ce que les mathématiciens veulent dire quand ils parlent de l’infini. Pourquoi l’infini plus un ou même deux fois l’infini n’est pas plus grand que l’infini ? Comment comparer deux ensembles qui ont tous deux une infinité d’éléments ? Est-il alors encore possible que l’un d’eux soit plus grand que l’autre ? Si vous êtes confronté à ce genre de questions et que vous ignorez les réponses, alors vous n’avez plus d’excuse. Cette petite brochure contient toutes les réponses, et la bonne nouvelle, c’est que vous n’avez besoin d’aucune connaissance en mathématiques pour cela, et qu’il ne faut pas plus d’un instant pour la terminer. Alors, qu’attendez-vous ?