S jednostrannými předměty jste se v každodenním životě nejspíš setkali stokrát – například s univerzálním symbolem pro recyklaci, který najdete vytištěný na zadní straně hliníkových plechovek a plastových lahví.
Tento matematický objekt se nazývá Möbiova páska. Fascinuje ekology, umělce, inženýry, matematiky a mnoho dalších od doby, kdy ji v roce 1858 objevil August Möbius, německý matematik, který zemřel před 150 lety, 26. září 1868.
Möbius objevil jednostranný pás v roce 1858, když působil jako vedoucí katedry astronomie a vyšší mechaniky na univerzitě v Lipsku. (Jiný matematik jménem Listing ji ve skutečnosti popsal o několik měsíců dříve, ale svou práci publikoval až v roce 1861.) Zdá se, že Möbius se s Möbiovou páskou setkal při práci na geometrické teorii mnohostěnů, těles složených z vrcholů, hran a plochých stěn.
Möbiovu pásku lze vytvořit tak, že vezmeme proužek papíru, uděláme z něj lichý počet půlzávitů a pak konce slepíme k sobě, aby vznikla smyčka. Pokud vezmete tužku a nakreslíte podél středu proužku čáru, uvidíte, že čára zřejmě vede po obou stranách smyčky.
Koncept jednostranného objektu inspiroval umělce, jako byl holandský grafik M. C. Escher, jehož dřevoryt „Möbiův proužek II“ zobrazuje červené mravence plazící se jeden po druhém podél Möbiova proužku.
Möbiův pás má více než jen jednu překvapivou vlastnost. Zkuste si například vzít nůžky a rozstřihnout proužek na polovinu podél právě nakreslené čáry. Možná s údivem zjistíte, že vám nezůstaly dva menší jednostranné Möbiovy proužky, ale jedna dlouhá oboustranná smyčka. Pokud nemáte po ruce kus papíru, Escherův dřevoryt „Möbiův proužek I“ ukazuje, co se stane, když Möbiův proužek rozřízneme podél jeho středové čáry.
Ačkoli má proužek jistě vizuální přitažlivost, největší vliv měl v matematice, kde pomohl podnítit rozvoj celého oboru zvaného topologie.
Topolog zkoumá vlastnosti objektů, které se zachovávají při přemísťování, ohýbání, natahování nebo kroucení, aniž by se jejich části řezaly nebo lepily k sobě. Například zamotaný pár špuntů do uší je v topologickém smyslu stejný jako nezamotaný pár špuntů, protože změna jednoho v druhý vyžaduje pouze přemístění, ohnutí a zkroucení. K přeměně mezi nimi není třeba žádné stříhání ani lepení.
Další dvojicí objektů, které jsou topologicky stejné, jsou šálek kávy a kobliha. Protože oba objekty mají jen jeden otvor, lze jeden z nich deformovat do druhého pouhým natažením a ohnutím.
Počet otvorů v objektu je vlastnost, kterou lze změnit pouze řezáním nebo lepením. Tato vlastnost – nazývaná „rod“ objektu – nám umožňuje říci, že pár špuntů do uší a kobliha se topologicky liší, protože kobliha má jeden otvor, zatímco pár špuntů do uší žádné otvory nemá.
Naneštěstí se zdá, že Möbiův proužek a oboustranná smyčka, jako je typický silikonový náramek na uvědomění, mají oba jeden otvor, takže tato vlastnost k jejich rozlišení nestačí – alespoň z pohledu topologa.
Naopak vlastnost, která odlišuje Möbiův proužek od oboustranné smyčky, se nazývá orientovatelnost. Stejně jako počet otvorů lze orientovatelnost objektu měnit pouze řezáním nebo lepením.
Představte si, že si napíšete poznámku na průhledný povrch a pak se po tomto povrchu projdete. Povrch je orientovatelný, pokud po návratu z procházky můžete poznámku vždy přečíst. Na neorientovatelném povrchu můžete po návratu z procházky zjistit, že slova, která jste napsali, se zřejmě změnila ve svůj zrcadlový obraz a lze je přečíst pouze zprava doleva. Na oboustranné smyčce bude vzkaz vždy čitelný zleva doprava, ať už vás cesta zavedla kamkoli.
Protože Möbiův pás je neorientovatelný, zatímco oboustranná smyčka je orientovatelná, znamená to, že Möbiův pás a oboustranná smyčka jsou topologicky odlišné.
Koncept orientovatelnosti má důležité důsledky. Vezměme si enantiomery. Tyto chemické sloučeniny mají stejnou chemickou strukturu až na jeden klíčový rozdíl: Jsou to zrcadlové obrazy jeden druhého. Například chemická látka L-metamfetamin je složkou inhalátorů Vicks Vapor. Její zrcadlový obraz, D-metamfetamin, je zakázanou drogou třídy A. Kdybychom žili v neorientovaném světě, tyto chemické látky by byly nerozlišitelné.
Objev Augusta Möbia otevřel nové možnosti studia světa přírody. Studium topologie nadále přináší ohromující výsledky. Například v loňském roce vedla topologie vědce k objevu zvláštních nových stavů hmoty. Letošní Fieldsovu medaili, nejvyšší ocenění v matematice, získal Akshay Venkatesh, matematik, který pomohl integrovat topologii s dalšími obory, jako je teorie čísel.