Pre-scriptum (päivätty 26. kesäkuuta 2020): Nämä alkeismatematiikkaa ja -fysiikkaa käsittelevät viestit eivät ole juurikaan kärsineet pimeän voiman hyökkäyksestä – mikä on hyvä, koska pidän niistä edelleen. Vaikka näkemykseni valon, aineen ja niihin vaikuttavan voiman tai voimien todellisesta luonteesta ovatkin kehittyneet merkittävästi osana tutkimuksiani realistisemman (klassisen) selityksen löytämiseksi kvanttimekaniikalle, uskon, että suurin osa (ellei kaikki) tämän viestin analyysistä on edelleen pätevää ja hauskaa luettavaa. Itse asiassa minusta yksinkertaisimmat asiat ovat usein parhaita. 🙂
Original post:
Ensimmäinen työnimeni tälle viestille oli Music and Moodit. Niin. Modes. Ei tunnelmia. Musiikin ja mielialojen suhde on myös mielenkiintoinen tutkimusaihe, mutta en siis aio kirjoittaa siitä. 🙂
Alkoi siitä, että ajattelin, että minun pitäisi tosiaan kirjoittaa jotain moodeista, koska aallon tai oikeastaan minkä tahansa oskillaattorin moodin käsite on aika keskeinen fysiikassa, niin klassisessa fysiikassa kuin kvanttifysiikassakin (kvanttimekaanisia systeemejä analysoidaan myös oskillaattoreina!). Mietin kuitenkin, miten lähestyä asiaa, koska se on melko tylsä aihe, jos tarkastelee vain matematiikkaa. Mutta sitten lensin takaisin Euroopasta Aasiaan, jossa asun, ja koska soitan myös vähän kitaraa, halusin yhtäkkiä tietää, miksi pidämme musiikista. Ja sitten ajattelin, että tuon kysymyksen olet ehkä sinäkin joskus esittänyt itsellesi! Sitten ajattelin, että minun pitäisi kirjoittaa moodeista osana mielenkiintoisempaa tarinaa: tarinaa musiikista – tai tarkemmin sanottuna tarinaa musiikin taustalla olevasta fysiikasta. Joten… Mennäänpäs sitten.
Filosofia vastaan fysiikka
Kysymykseen siitä, miksi pidämme musiikista, on tietysti hyvin yksinkertainen vastaus: pidämme musiikista, koska se on musiikkia. Jos se ei olisi musiikkia, emme pitäisi siitä. Tuo on melko filosofinen vastaus, ja se luultavasti tyydyttää useimpia ihmisiä. Fysiikkaa opiskelevalle tuo vastaus ei kuitenkaan varmasti voi olla riittävä. Mitä fysiikka on taustalla? Kävin läpi Feynmanin luennon ääniaalloista tasossa, yhdistin sen joihinkin muihin juttuihin, joita googlasin saapuessani, ja sitten kirjoitin tämän postauksen, joka antaa paljon vähemmän filosofisen vastauksen. 🙂
Keskustelun keskipisteessä oleva havainto on petollisen yksinkertainen: miksi samankaltaiset jouset (ts. jouset, jotka on tehty samasta materiaalista, samanpaksuiset jne.), jotka ovat saman jännityksen alaisina, mutta joiden pituus on erilainen, kuulostavat ”miellyttäviltä”, kun niitä soitetaan yhdessä, jos – ja vain jos – jousien pituussuhde on kuten 1:2, 2:3, 3:4, 3:5, 4:5 jne. (eli kuten mikä tahansa muu kahden pienen kokonaisluvun suhdeluku onkaan)?
Väität varmaan ihmettelevän: onko tämä oikeasti se kysymys? Se on. Kysymys on tosiaan petollisen yksinkertainen, koska, kuten kohta näet, vastaus on varsin monimutkainen. Itse asiassa niin monimutkainen, että pythagoralaisilla ei ollut vastausta. Eikä kenelläkään muullakaan – kunnes noin 1700-luvulla muusikot, fyysikot ja matemaatikot alkoivat tajuta, että jousi (kitarassa, pianossa tai missä tahansa soittimessa, jota Pythagoras tuolloin ajattelikin) tai ilmapatsas (esimerkiksi uruissa tai trumpetissa) tai mikä tahansa muukin asia, joka itse asiassa synnyttää musiikillisen äänensävyn, itse asiassa värähtelee useilla taajuuksilla samanaikaisesti.
Pythagoraanit eivät aavistaneet, että jousi itsessään on varsin monimutkainen asia – jotakin, jota fyysikot kutsuvat harmoniseksi oskillaattoriksi – ja että sen ääni siis itse asiassa syntyy monilla taajuuksilla, eikä vain yhdellä. Tuolloin ei myöskään ollut olemassa käsitettä puhdas sävel eli ääni, jossa ei ole harmonisia taajuuksia (eli joka on vapaa kaikista muista taajuuksista paitsi perustaajuudesta). Ja jos olisi ollut, he eivät olisi kuitenkaan pystyneet tuottamaan puhdasta ääntä: puhtaan äänen – tai nuottien, kuten kutsun niitä hieman epätarkasti (sanoisin: puhtaan sävelkorkeuden) – tuottaminen on huomattavan monimutkaista, eikä niitä ole luonnossa. Jos pythagoralaiset olisivat kyenneet tuottamaan puhtaita ääniä, he olisivat havainneet, että puhtaat äänet eivät aiheuta mitään konsonanssin tai dissonanssin tuntemusta, jos niiden suhteelliset taajuudet noudattavat näitä yksinkertaisia suhteita. Toistuvat kokeet, joissa tuotetaan tällaisia puhtaita ääniä, ovatkin osoittaneet, että ihminen ei oikeastaan osaa sanoa, onko kyseessä musiikillinen ääni vai ei: se on vain ääni, eikä se ole miellyttävä (tai konsonanttinen, sanoisimmeko) eikä epämiellyttävä (eli dissonanttinen).
Pythagoralaisten havainto pätee kuitenkin todellisiin (eli ei-puhtaisiin) musiikillisiin ääniin. Lyhyesti sanottuna meidän on erotettava toisistaan sävelet ja nuotit (ts. puhtaat sävelet): ne ovat kaksi hyvin erilaista asiaa, ja koko väitteen ydin on se, että musiikilliset sävelet, jotka tulevat yhdestä (tai useammasta) jousesta (tai useammista jousista) jännityksen alaisena, ovat täynnä harmonisia sävyjä, ja kuten selitän hetken kuluttua, tämä selittää havaitun suhteen noiden jousien pituuksien ja konsonanssin ilmiön välillä (i.eli kuulostaa ”miellyttävältä”) tai dissonanssin (eli kuulostaa ”epämiellyttävältä”) välillä.
On tietysti helppo sanoa, mitä sanoin edellä: olemme nyt vuonna 2015, ja meillä on siis jälkikäteisnäkökulman etu. Silloin – siis yli 2500 vuotta sitten! – yksinkertainen mutta merkittävä tosiasia, että samankaltaisten jousien pituuksien pitäisi noudattaa jotakin yksinkertaista suhdetta, jotta ne kuulostaisivat ”mukavasti” yhdessä, herätti kiinnostuksen numeroteoriaan (itse asiassa pythagoralaiset itse asiassa loivat perustan sille, mitä nykyään kutsutaan numeroteoriaksi). Pythagoraan mielestä samanlaisten suhteiden pitäisi päteä myös muihin luonnonilmiöihin! Esimerkkinä mainittakoon, että pythagoralaiset uskoivat myös planeettojen kiertoratojen noudattavan tällaisia yksinkertaisia numeerisia suhteita, minkä vuoksi he puhuivat ”sfäärien musiikista” (Musica Universalis).
Me tiedämme nyt, että pythagoralaiset olivat väärässä. Suhteet planeettojen liikkeissä Auringon ympäri eivät noudata yksinkertaisia suhdelukuja, ja jälleen kerran jälkikäteen ajateltuna on valitettavaa, että tarvittiin monia rohkeita ja nerokkaita ihmisiä, kuten Galileo Galilei ja Kopernikus, vakuuttamaan kirkko tästä tosiasiasta. 😦 Lisäksi, vaikka Pythagoraan havainnot koskien ääniä, jotka tulivat mistä tahansa jousista, joita hän katseli, olivat oikeita, hänen johtopäätöksensä olivat vääriä: havainnosta ei seuraa, että kaikkien nuottien taajuuksien pitäisi olla jossakin yksinkertaisessa suhteessa toisiinsa.
Toisitan vielä sen, mitä kirjoitin edellä: nuottien taajuudet eivät ole jossakin yksinkertaisessa suhteessa toisiinsa. Kaikkien musiikkisävelten taajuusasteikko on logaritminen, ja vaikka tämä tarkoittaakin sitä, että voimme tehokkaasti tehdä joitakin temppuja suhteilla, jotka perustuvat logaritmisen asteikon ominaisuuksiin (kuten selitän hetken kuluttua), niin sanottu ”pythagoralainen” viritysjärjestelmä, joka perustuu yksinkertaisiin suhteisiin, oli yksinkertaisesti väärässä, vaikka sitä – tai jotakin sen muunnelmaa (3:2-suhteen sijasta muusikot käyttivät 5:4-suhdetta n. 1510-luvulta alkaen) – käytettiinkin yleisesti 1700-luvulle asti! Lyhyesti sanottuna Pythagoras oli todellakin väärässä – ainakin tässä suhteessa: emme voi tehdä paljoakaan noilla yksinkertaisilla suhdeluvuilla.
Tästä huolimatta Pythagoraan perusintuitio oli oikeassa, ja tämä intuitio ohjaa fysiikkaa vielä nykyäänkin: ajatus siitä, että luontoa voidaan kuvata tai selittää (mitä ikinä se sitten tarkoittaakin) vain kvantitatiivisten suhteiden avulla. Katsotaanpa, miten se itse asiassa toimii musiikin kohdalla.
Sävelet, kohina ja nuotit
Määritellään ja erotellaan ensin sävelet ja nuotit. Musiikillinen ääni on kohinan vastakohta, ja näiden kahden ero on se, että musiikilliset äänet ovat jaksollisia aaltomuotoja, joten niillä on jakso T, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Kohina sen sijaan on epäjaksollinen aaltomuoto. Näin yksinkertaista se on.
Nyt aiemmista viesteistä tiedät, että voimme kirjoittaa minkä tahansa jaksollisen funktion potentiaalisesti äärettömän määrän yksinkertaisten harmonisten funktioiden summana, ja että tätä summaa kutsutaan Fourier-sarjaksi. Totean sen vain tässä, joten älä välitä siitä kuin toistaiseksi. Palaan siihen myöhemmin.
Tiedätte myös, että meillä on seitsemän nuottiesimerkkiä: Do-Re-Mi-Fa-Fa-Sol-La-Si tai, yleisemmin englanninkielisessä maailmassa, A-B-C-D-E-F-G. Ja sitten se alkaa taas A:sta (tai Do). Meillä on siis kaksi nuottia, joita erottaa toisistaan väli, jota kutsutaan oktaaviksi (kreikankielisestä sanasta octo eli kahdeksan), ja niiden välissä on kuusi nuottia, eli yhteensä kahdeksan nuottia. Tiedät kuitenkin myös, että niiden välissä on nuotteja, paitsi E:n ja F:n sekä B:n ja C:n välillä. Niitä kutsutaan puolisäveliksi tai puoliaskeleiksi. Käytän mieluummin termiä ”puoliaskel” kuin ”puolisävel”, koska puhumme oikeastaan nuotteista, emme sävyistä.
Meillä on esimerkiksi Fis (jota merkitään F#), jota voidaan kutsua myös G-ääneksi (Gb). Kyse on samasta asiasta: terävä # nostaa sävelen puolisävelaskeleella (eli puoliaskeleella), ja tasainen b laskee sitä saman verran, joten F# on Gb. Tämä näkyy alla: oktaavissa on kahdeksan säveltä, mutta kaksitoista puoliaskelta.
Katsotaan nyt taajuuksia. Yllä oleva taajuusasteikko (ilmaistuna värähtelyinä sekunnissa, eli hertz-yksikkönä) on logaritminen asteikko: taajuudet kaksinkertaistuvat siirryttäessä oktaavilta toiselle: yllä olevan C4-sävelen (ns. keskimmäinen C) taajuus on 261,626 Hz, kun taas seuraavan C-sävelen (C5) taajuus on kaksinkertainen: 523,251 Hz.
Nyt, jos rinnastamme C4:n ja C5:n välin 1:een (eli oktaavi on musiikillinen ”yksikkömme”), niin kahdentoista puolen askeleen väli on ilmeisesti 1/12. Miksi? Koska musiikillisessa yksikössämme on 12 puoliaskelta. Voit myös helposti todentaa, että logaritmien toimintatavan vuoksi kahden yhden puoliaskeleen päässä toisistaan olevan sävelen (esimerkiksi D#:n ja E:n välillä) taajuuksien suhde on yhtä suuri kuin 21/12. Vastaavasti kahden n puoliaskeleen päässä toisistaan olevan n sävelen taajuuksien suhde on 2n/12.
Nyt, koska eri C-sävelten taajuudet ilmaistaan lukuna, johon sisältyy jokin desimaaliluku (kuten 523,251 Hz, ja 0,251 on itse asiassa vain likiarvo), ja koska ne ovat siksi hieman hankalia lukea ja/tai käsitellä, havainnollistan seuraavaa ajatusta – i.eli harmonioiden käsitettä – A:lla C:n sijasta. 🙂
Harmoniat
Pianon alinta A:ta merkitään A0:lla, ja sen taajuus on 27,5 Hz. Alempia A-säveliä on olemassa (meillä on yksi esimerkiksi 13,75 Hz:n taajuudella), mutta emme käytä niitä, koska ne ovat lähellä (tai itse asiassa yli) niiden alimpien taajuuksien rajaa, jotka voimme kuulla. Pitäydytään siis flyygelissämme ja aloitetaan tuosta 27,5 Hz:n taajuudesta. Seuraava A-sävel on A1, ja sen taajuus on 55 Hz. Sitten on A2, joka on kuin kitarani (tai sinun) A: sen taajuus on 2×55 = 110 Hz. Seuraava on A3, jonka taajuus kaksinkertaistuu jälleen kerran: nyt taajuus on 220 Hz. Seuraava on yllä olevassa C-asteikon kuvassa oleva A: A4, jonka taajuus on 440 Hz.
Nyt nuotit, joista tässä puhutaan, ovat kaikki niin sanottuja puhtaita ääniä. Itse asiassa, kun sanon, että kitarassamme olevaa A:ta kutsutaan A2:ksi ja että sen taajuus on 110 Hz, teen itse asiassa valtavan yksinkertaistuksen. Vielä pahempaa on se, että valehtelen sanoessani näin: kun soitat kitaran jousella tai isket pianon näppäintä, myös kaikenlaiset muut taajuudet – niin sanotut harmoniat – resonoivat, ja juuri se antaa äänelle laadun: se saa sen kuulostamaan kauniilta. Perustaajuus (eli ensimmäinen harmoninen) on 110 Hz, mutta meillä on myös toinen, kolmas, neljäs jne. harmoninen taajuus, jonka taajuus on 220 Hz, 330 Hz, 440 Hz ja niin edelleen. Musiikissa perus- tai perustaajuuteen viitataan äänenkorkeutena, ja kuten huomaatte, käytän usein termiä ”nuotti” (tai puhdas ääni) äänenkorkeuden synonyyminä – mikä on enemmän tai vähemmän OK, mutta ei oikeastaan aivan oikein.
Mitä fysiikkaa on taustalla? Katso alla olevaa kuvaa (lainasin sen Physics Classroom -sivustolta). Paksu musta viiva on jousi, ja sen perustaajuuden (eli ensimmäisen harmonisen) aallonpituus on kaksi kertaa sen pituus, joten kirjoitetaan λ1 = 2-L tai toisinpäin L = (1/2)-λ1. Tämä on siis jousen ns. ensimmäinen moodi.
Meillä on myös toinen, kolmas jne. moodi, jotka on kuvattu alla, ja nämä moodit vastaavat vastaavasti toista, kolmatta jne. harmonista.
Kakkos-, kolmos-, jne. moodin osalta jousen aallonpituuden ja jousen pituuden suhde on ilmeisesti seuraava: L = (2/2)-λ2 = λ2, L = L = (3/2)-λ3 jne. Yleisemmin n:nnen moodin osalta L on yhtä suuri kuin L = (n/2)-λn, kun n = 1, 2 ja niin edelleen. Itse asiassa, koska L:n oletetaan olevan jokin kiinteä pituus, meidän pitäisi kirjoittaa se toisinpäin: λn = (2/n)-L.
Mitä se tarkoittaa taajuuksille? Tiedämme, että aallon nopeus – merkitään sitä c:llä – kun se kulkee jousessa ylös ja alas, on jousen ominaisuus, ja se on vain jousen ominaisuus. Toisin sanoen se ei riipu taajuudesta. Aallon nopeus on aina yhtä suuri kuin taajuus kertaa aallonpituus, joten c = f-λ. Otetaan esimerkki (klassisesta) kitarajousesta: sen pituus on 650 mm eli 0,65 m. Näin ollen identiteetit λ1 = (2/1)-L, λ2 = (2/2)-L, λ3 = (2/3)-L jne. muuttuvat λ1 = (2/1)-0,65 = 1,3 m, λ2 = (2/2)-0,65 = 0,65 m, λ3 = (2/3)-0,65 = 0,433… m ja niin edelleen. Kun nyt yhdistetään nämä aallonpituudet edellä mainittuihin taajuuksiin, saadaan aaltonopeudeksi c = (110 Hz)-(1,3 m) = (220 Hz)-(0,65 m) = (330 Hz)-(0,433.. m) = 143 m/s.
Palaamme nyt Pythagoraan janaan. Kannattaa huomata, että yksinkertaisen kitarajousen tuottamien yliaaltojen taajuudet liittyvät toisiinsa yksinkertaisilla kokonaislukusuhteilla. Itse asiassa ensimmäisen ja toisen harmonisen taajuudet ovat yksinkertaisessa 2:1-suhteessa (2:1). Toisen ja kolmannen harmonisen taajuuden suhde on 3:2. Kolmannen ja neljännen harmonisen taajuuden suhde on 4:3. Viidennen ja neljännen harmonisen 5:4, ja niin edelleen ja niin edelleen. Niiden on oltava. Miksi? Koska harmoniat ovat perustaajuuden yksinkertaisia kertalukuja. Juuri tämä on Pythagoraan havainnon taustalla: kun hän soitti samankaltaisia jousia, joilla oli sama kireys mutta eri pituudet, hän sai aikaan ääniä, joilla oli samat harmoniset taajuudet. Ei enempää, ei vähempää.
Sallikaa minun olla tässä varsin selväsanainen, koska pointti, jonka yritän tässä esittää, on hieman hienovarainen. Pythagoraan jousi on Pythagoraan jousi: hän puhui samanlaisista jousista. Emme siis puhu mistään varsinaisesta kitarasta tai pianosta tai mistä tahansa muusta jousisoittimesta. (Nykyaikaisten) jousisoittimien jouset eivät ole samanlaisia, eikä niissä ole samanlaista kireyttä. Esimerkiksi kitarajousien kuudella jousella ei ole eroa pituudessa (ne ovat kaikki 650 mm), mutta niiden kireys on erilainen. Klassisen kitaran kuuden jousen halkaisija on myös erilainen, ja kolme ensimmäistä jousta ovat tavallisia jousia, kun taas alimmat jouset ovat kierrettyjä. Jouset eivät siis ole samanlaisia vaan hyvin erilaisia. Asian havainnollistamiseksi kopioin alla olevat arvot vain yhdestä monista kaupallisesti saatavilla olevista kitarajousisarjoista. 
Se on sama asia pianon jousille. Vaikka ne ovatkin jonkin verran yksinkertaisempia (ne on kaikki tehty pianolangasta, joka on periaatteessa erittäin laadukasta teräslankaa), myös ne eroavat toisistaan – eivät ainoastaan pituudeltaan vaan myös halkaisijaltaan, joka tyypillisesti vaihtelee 0,85 mm:stä korkeimmille diskanttijousille 8,5 mm:iin (eli kymmenkertaisesti 0,85 mm:iin) matalimmille bassosävelille.
Lyhyesti sanottuna Pythagoras ei soittanut kitaraa tai pianoa (tai mitä tahansa muuta kehittyneempää jousisoitinta, joka kreikkalaisillakin on varmasti myös ollut käytössään) miettiessään näitä harmonisia suhdesuhteita. Hänen kuuluisan havaintonsa taustalla oleva fysikaalinen selitys on siis varsin yksinkertainen: musiikilliset äänet, joilla on samat harmoniset sävelet, kuulostavat miellyttäviltä, tai sanoisimmeko konsonanteilta – latinankielisestä sanasta con-sonare, joka kirjaimellisesti tarkoittaa ”kuulostaa yhdessä” (sanoista sonare = kuulostaa ja con = kanssa). Ja muuten… No… Silloin ne eivät kuulosta miellyttäviltä: ne ovat dissonantteja.”
Voittaakseni asian selväksi korostan, että kun nyppimme jousella, tuotamme äänen, joka koostuu monista taajuuksista, kaikki yhdellä kertaa. Sen näkee käytännössä: jos lyö pianon alempaa A-jousta – vaikkapa 110 Hz:n A2-jousta – niin sen toinen harmoninen (220 Hz) saa myös A3-jousen värähtelemään, koska sillä on sama taajuus! Ja sitten sen neljäs harmoninen saa myös A4-jousen värähtelemään, koska niiden molempien taajuus on 440 Hz. Näiden muiden värähtelyjen voimakkuus (tai pitäisi sanoa niiden amplitudi) riippuu tietenkin muiden harmonisten voimakkuudesta, ja meidän pitäisi tietenkin odottaa, että perustaajuus (eli ensimmäinen harmoninen) absorboi suurimman osan energiasta. Me siis nypläämme yhtä jousijohtoa, ja näin meillä on yksi ääni, vain yksi sävy, mutta samanaikaisesti lukuisia säveliä!
Tältä osin on myös huomattava, että 110 Hz:n A2-äänijousemme kolmas harmoninen vastaa E4-äänen perustaajuutta: molemmat ovat 330 Hz! Ja tietysti E:n harmoniset, kuten sen toinen harmoninen (2-330 Hz = 660 Hz) vastaavat myös A:n korkeampia harmonisia! Tarkemmin sanottuna E-jousen toinen harmoninen vastaa A2-jousen kuudetta harmonista. Jos kitarasi on hyvä ja jos myös jousesi ovat kohtuullisen laadukkaita, näet sen itse asiassa: (alemmat) E- ja A-kiinnitysjouset värähtelevät yhdessä, jos soitat A-duuri-soinnun, mutta lyömällä vain neljää ylempää jousta. Energiaa – oikeastaan liikettä – siirretään siis neljästä lyömästäsi jousesta kahteen lyömättömään jouseen! Sanotte: entä sitten? No… Jos sinulla on parempia todisteita eri taajuuksien samanaikaisesta läsnäolosta (tai todellisuudesta), kerro minulle! 🙂
Sentähden A ja E kuulostavat hyvin yhdessä (A, E ja C# muodostavat yhdessä soitettuna niin sanotun A-duuri soinnun): korvamme pitää yhteensopivista harmonioista. Ja siksi siis pidämme musiikillisista äänistä – tai siksi määrittelemme nämä äänet musiikillisiksi! 🙂 Tiivistän vielä kerran: musiikilliset äänet ovat koostettuja ääniaaltoja, jotka koostuvat perustaajuudesta ja ns. harmonisista äänistä (yhdessä musiikillisessa äänessä on siis yhteensä monta säveltä tai puhdasta ääntä). Nyt, kun muilla musiikillisilla äänillä on jaettuja harmonisia sävyjä, ja soitamme myös näitä ääniä, saamme tunteen harmoniasta, eli yhdistelmä kuulostaa konsonantilta.
Ei ole vaikeaa nähdä, että meillä on aina tällaisia jaettuja harmonisia sävyjä, jos meillä on samankaltaisia jousia, joilla on sama kireys, mutta jotka ovat eri pituisia, ja joita soitetaan yhdessä. Lyhyesti sanottuna sillä, mitä Pythagoras havaitsi, ei ole paljonkaan tekemistä nuottien kanssa, vaan sävelten kanssa. Mennään nyt hieman pidemmälle analyysissä ottamalla käyttöön lisää matematiikkaa. Ja kyllä, olen hyvin pahoillani: se on todellakin pelätty Fourier-analyysi! 🙂
Fourier-analyysi
Tiedättehän, että voimme hajottaa minkä tahansa jaksollisen funktion yksinkertaisten sinimuotoisten funktioiden (mahdollisesti äärettömän) sarjan summaksi, kuten alla on esitetty. Otin kuvan Wikipediasta: punainen funktio s6(x) on kuuden eri amplitudin ja (harmonisesti toisiinsa liittyvän) taajuuden omaavan sinifunktion summa. Niin sanottu Fourier-muunnos S(f) (sinisellä) suhteuttaa kuusi taajuutta vastaaviin amplitudeihin.
Ylläolevan keskustelun valossa on helppo nähdä, mitä tämä tarkoittaa nyplätystä jousesta tulevan äänen kannalta. Käyttämällä kulmataajuusmerkintää (kirjoitamme siis kaiken f:n sijasta ω:lla) tiedämme, että normaali- tai ominaistilojen värähtelytaajuudet ovat ω = 2π/T = 2πf (se on siis perustaajuus eli ensimmäinen harmoninen), 2ω (toinen harmoninen), 3ω (kolmas harmoninen) ja niin edelleen ja niin edelleen.
Nyt ei ole mitään syytä olettaa, että kaikilla sinimuotoisilla funktioilla, jotka muodostavat äänemme, pitäisi olla sama vaihe: jonkinlainen vaiheensiirtymä Φ voi olla olemassa, ja siksi meidän pitäisi kirjoittaa sinimuotoinen funktiomme ei cos(ωt), vaan cos(ωt + Φ), jotta analyysimme olisi riittävän yleinen. Geometriatunneilta tiedämme, että voimme kirjoittaa cos(ωt + Φ) uudelleen muotoon
cos(ωt + Φ) =
Meillä on tietysti paljon näitä funktioita – itse asiassa yksi jokaiselle harmoniselle – ja siksi meidän pitäisi käyttää alaindeksejä, kuten teemme alla olevassa kaavassa, joka sanoo, että mikä tahansa funktio f(t), joka on jaksollinen jaksolla T, voidaan kirjoittaa matemaattisesti muotoon:
Voi ihmetellä: mikä on tuo jakso T? Se on perusmoodin eli ensimmäisen harmonisen jakso. Toisen, kolmannen jne. harmonisen periodi on nimittäin vain puolet, kolmannes jne. ensimmäisen harmonisen periodista. Itse asiassa T2 = (2π)/(2ω) = (1/2)-(2π)/ω = (1/2)-T1, ja T3 = (2π)/(3ω) = (1/3)-(2π)/ω = (1/3)-T1 jne. On kuitenkin helppo nähdä, että nämä funktiot toistuvat myös kahden, kolmen jne. jakson jälkeen. Kaikki on siis kunnossa, ja Fourier-analyysin yleistä ideaa havainnollistetaan tarkemmin jäljempänä.
Sanotaan: Mitä hittoa! Miksi tässä tarvitaan matemaattista voimistelua? Ihan vain siksi, että ymmärtäisimme musiikkisävelen toisen ominaisuuden: sen laadun (vastakohtana sävelkorkeudelle). Niin sanotussa rikkaassa äänessä on voimakkaita harmonisia, kun taas puhtaassa äänessä on vain ensimmäinen harmoninen. Kaikki muut ominaisuudet – ero viulun tuottaman äänen ja pianon tuottaman äänen välillä – liittyvät sitten kaikkien näiden harmoonisten ”sekoitukseen”.
Siten meillä on nyt kaikki, paitsi äänenvoimakkuus, joka tietenkin liittyy ilmanpaineen muutosten suuruuteen, kun aaltomuodostelmamme liikkuu ilmassa: sävelkorkeus, äänenvoimakkuus ja laatu. siitä muodostuu musiikillinen ääni. 🙂
Dissonanssi
Kuten edellä mainittiin, jos äänet eivät ole konsonantteja, ne ovat dissonantteja. Mutta mitä dissonanssi oikeastaan on? Mistä on kyse? Vastaus on seuraava: kun kaksi taajuutta ovat lähellä yksinkertaista murto-osaa, mutta eivät täsmällisesti, saadaan niin sanottuja lyöntejä, joista korvamme ei pidä.
Häh? Rentoudu. Alla oleva kuva, jonka kopioin Wikipedian artikkelista pianon virittämisestä, havainnollistaa ilmiötä. Sininen aalto on alun perin identtisten punaisen ja vihreän aallon summa. Mutta sitten vihreän aallon taajuutta nostetaan, jolloin nämä kaksi aaltoa eivät ole enää samassa vaiheessa, ja interferenssi johtaa sykkivään kuvioon. Musiikkisävyissämme on tietysti eri taajuuksia ja siten eri jaksoja T1,T2, T3 ja niin edelleen, mutta ymmärrät idean: myös korkeammat harmoniset värähtelevät jaksolla T1, ja jos taajuudet eivät ole jossakin täsmällisessä suhteessa toisiinsa, meillä on samanlainen ongelma: sykintä, eikä korvamme pidä äänestä.
Tietysti ihmettelet: miksi emme pidä sykinnästä sävyissä? Sehän voidaan kysyä, eikö niin? Se on kuin kysyisi, miksi pidämme musiikista, eikö niin? No… Se on ja se ei ole. Se on kuin kysyisi, miksi korvamme (tai aivomme) pitävät harmoniasta. Me emme tiedä. Niin meidät on johdotettu. ”Fysikaalinen” selitys sille, mikä on musiikillista ja mikä ei, menee kai vain niin pitkälle. 😦
Pythagoras vs. Bach
Kaiken edellä kirjoittamani perusteella on ilmeistä, että musiikillisen äänen harmonioiden taajuudet liittyvät tosiaan toisiinsa pienten kokonaislukujen yksinkertaisilla suhteilla: Ensimmäisen ja toisen harmonisen taajuudet ovat yksinkertaisessa 2:1-suhteessa (2:1); toisen ja kolmannen harmonisen taajuudet ovat 3:2-suhteessa; kolmannen ja neljännen harmonisen taajuudet ovat 4:3-suhteessa; viidennen ja neljännen harmonisen taajuudet ovat 5:4-suhteessa, ja niin edelleen. Siinä kaikki. Ei enempää, ei vähempää.
Toisin sanoen Pythagoras havainnoi musiikillisia sävyjä: hän ei voinut havainnoida niiden takana olevia puhtaita sävyjä eli varsinaisia nuotteja. Estetiikka sai kuitenkin Pythagoraan ja kaikki muusikot hänen jälkeensä – aina 1800-luvun puoliväliin asti – ajattelemaan myös, että oktaavin sisällä olevien sävelten taajuuksien suhteiden tulisi olla myös yksinkertaisia suhteita. Edellä selostamani perusteella on ilmeistä, että asian ei pitäisi toimia näin: kahden n puoliaskeleen päässä toisistaan olevan n sävelen taajuuksien suhde on 2n/12, ja useimmilla n:n arvoilla 2n/12 ei ole mikään yksinkertainen suhde.
Siten – sanoin sen jo – Pythagoras oli väärässä – ei vain tässä vaan myös muissa asioissa, kuten esimerkiksi silloin, kun hän esitti näkemyksiään aurinkokunnasta. Jälleen kerran olen pahoillani, että joudun sanomaan tuon, mutta asia on mitä on: Pythagoralaiset näyttivät tosiaan pitävän matemaattisia ideoita fysikaalisten kokeiden sijasta 🙂 Sanottuani sen, muusikot eivät ilmeisesti tienneet mistään vaihtoehdosta Pythagorakselle, eivätkä he varmastikaan olleet koskaan kuulleet logaritmisista asteikoista tuohon aikaan. Joten… No… He käyttivät niin sanottua Pythagoraan viritysjärjestelmää. Tarkalleen ottaen he virittivät soittimensa rinnastamalla C-asteikon ensimmäisen ja viidennen sävelen (eli C:n ja G:n, koska he eivät laskeneet C#-, D#- ja F#-puoliääniä mukaan laskiessaan) välisen taajuussuhteen suhdelukuun 3/2, ja sen jälkeen he käyttivät muita niin sanottuja harmonisia suhdelukuja niiden väliin jääville sävelille.
Nyt 3/2-suhde on itse asiassa melkein oikea, koska todellinen taajuussuhde on 27/12 (meillä on seitsemän säveltä, mukaan lukien puolisävelet – ei viisi!), ja se on siis 1,4983, suunnilleen. Se on aika lähellä 3/2 = 1,5, sanoisin. 🙂 Käyttämällä tuota approksimaatiota (joka, myönnettäköön, on tosiaan melko tarkka), muidenkin jousien viritys tehtäisiin sitten olettaen, että tiettyjä suhdelukuja pitäisi noudattaa, kuten alla olevia.
Se oli siis ihan hyvä. Tämän sanottuaan hyvät muusikot ja jotkut suuret matemaatikot tunsivat, että jotain oli vialla – jo pelkästään siksi, että oli olemassa useita niin sanottuja just intonaatiojärjestelmiä (yleiskatsauksen saat Wikipedian artikkelista just intonaatio). Vielä tärkeämpää oli se, että heidän mielestään oli melko vaikeaa transponoida musiikkia Pythagoraan viritysjärjestelmän avulla. Transponoimalla musiikkia muutetaan musiikkikappaleen niin sanottua avainta: periaatteessa koko kappaleen sävelkorkeutta siirretään ylös- tai alaspäin jollakin vakiovälillä, joka ei ole oktaavin suuruinen. Nykyään transponointi on helppoa – ainakin länsimaisessa musiikissa. Tämä johtuu kuitenkin vain siitä, että kaikkea länsimaista musiikkia soitetaan soittimilla, jotka on viritetty kyseisellä logaritmisella asteikolla (teknisesti sitä kutsutaan 12-ääniseksi tasaäänijärjestelmäksi (12-TET)). Kun käytettäisiin jotain pythagoraanista viritysjärjestelmää, transponoitu kappale ei kuulosta aivan oikealta.
Ensimmäinen matemaatikko, joka todella näytti tietävän, mikä oli pielessä (ja joka näin ollen myös tiesi, mitä tehdä), oli Simon Stevin, joka kirjoitti käsikirjoituksen, joka perustui ”12:nnen juuren 2:sta -periaatteeseen” noin 1600 jKr. Sen ei pitäisi yllättää meitä: tämän brysseliläisen matemaatikon ajattelu inspiroisi John Napierin logaritmeja koskevaa työtä. Vaikka kyseisessä käsikirjoituksessa kuvataan 12-TET-järjestelmän perusperiaatteet, sitä ei valitettavasti julkaistu (Stevin joutui pakenemaan Bruggesta Hollantiin, koska hän oli protestantti, eivätkä silloiset Espanjan hallitsijat pitäneet siitä). Näin ollen muusikot, jotka eivät oikein ymmärtäneet matematiikkaa (tai fysiikkaa, sanoisin) oman musiikkinsa taustalla, kokeilivat jatkuvasti muita viritysjärjestelmiä, koska he kokivat, että se sai heidän musiikkinsa kuulostamaan todellakin paremmalta.
Yksi näistä ”muista järjestelmistä” on niin sanottu ”hyvä” temperamentti, josta olet varmasti kuullut, koska siihen viitataan Bachin kuuluisassa sävellyksessä Das Wohltemperierte Klavier, jonka hän viimeisteli 1700-luvun alkupuoliskolla. Mitä tuo ”hyvä” temperamentti oikeastaan on? No… Se on mitä se on: se on yksi niistä viritysjärjestelmistä, jotka saivat muusikot tuntemaan itsensä paremmiksi musiikissaan monista syistä, jotka kaikki kuvataan hyvin Wikipedian artikkelissa siitä. Tärkein syy on kuitenkin se, että Bachin suosittelema viritysjärjestelmä oli paljon parempi soitettaessa samaa kappaletta toisessa sävellajissa. Se ei kuitenkaan ollut vieläkään aivan oikea, koska se ei ollut nykyisin (ainakin länsimaissa – esimerkiksi intialaisen musiikin asteikko perustuu edelleen yksinkertaisiin suhdelukuihin) käytössä oleva tasaäänijärjestelmä (eli 12-TET-järjestelmä).
Miksi mainitsen tämän Bachin kappaleen? Syy on yksinkertainen: olet luultavasti kuullut siitä, koska se on yksi tärkeimmistä viitekohdista melko kuuluisassa kirjassa: Gödel, Escher ja Bach – ikuinen kultainen punos. Jos et, niin unohda se. Mainitsen sen, koska yksi veljistäni rakastaa sitä. Se käsittelee tekoälyä. En ole lukenut sitä, mutta minun on oletettava, että Bachin mestariteosta analysoidaan siinä sen rakenteen vuoksi, ei sen viritysjärjestelmän vuoksi, jota pitäisi käyttää sitä soitettaessa. Joten… No… sanoisin: älkää tehkö tuosta sävellyksestä yhtään mystisempää kuin se jo on. 🙂 Sen takana oleva ”taika” liittyy siihen, mitä sanoin A4:stä, joka on musiikin ”viitepiste”: koska käytämme nykyään universaalia logaritmista asteikkoa, absoluuttista viitepistettä ei enää ole: kun olemme määritelleet musiikillisen ”yksikkömme” (eli länsimaisessa musiikissa niin sanotun oktaavin) ja määrittäneet myös, kuinka monta askelta haluamme olla välissä (eli 12 – länsimaisessa musiikissa), saamme kaiken muun. Näin logaritmit toimivat.
Lyhyesti sanottuna musiikissa on siis kyse rakenteesta, eli siinä on kyse matemaattisista suhteista, ja vain matemaattisista suhteista. Pythagoraan johtopäätökset olivat taas vääriä, mutta hänen intuitionsa oli oikea. Ja tietysti juuri hänen intuitionsa synnytti tieteen: hänen tekemänsä yksinkertaiset ”mallit” siitä, miten nuottien oletetaan olevan yhteydessä toisiinsa tai miten aurinkokuntamme on suhteutettu toisiinsa, olivat tietenkin vasta kaiken alku. Ja mikä loistava alku se olikaan! Kun katsomme vielä kerran taaksepäin, on melko surullista, että konservatiiviset voimat (kuten kirkko) olivat usein edistyksen tiellä. Itse asiassa ihmettelen yhtäkkiä: jos tiedemiehiä ei olisi häirinnyt nuo konservatiiviset voimat, niin olisiko ihmiskunta voinut lähettää ihmisiä jo Kaarle V:n syntymän aikoihin eli noin vuonna 1500 jKr. 🙂
Post scriptum: Esimerkkini (alempien) E- ja A-kitaran kielten yhteisvärähtelystä soitettaessa A-duurisointu lyömällä vain neljää ylempää kielijänteeseen, on hiukan hankala. (Alemmat) E- ja A-jouset liittyvät matalampiin sävelkorkeuksiin, ja sanoimme, että yläsävelet (eli toinen, kolmas, neljäs jne. harmoniat) ovat perustaajuuden kerrannaisia. Miksi siis alemmat jouset värähtelevät yhdessä? Vastaus on helppo: ne värähtelevät vain korkeammilla taajuuksilla. Jos sinulla on kitara: kokeile sitä. Ne kaksi kieltä, joita et nyppää, värähtelevät kyllä – ja hyvin näkyvästi, mutta matalat perustaajuudet, jotka tulevat niistä, kun niitä lyö, eivät ole kuultavissa. Lyhyesti sanottuna ne resonoivat vain korkeammilla taajuuksilla. 🙂
Feynmanin antama esimerkki on paljon suoraviivaisempi: hänen esimerkissään mainitaan, että pianon matalammat C- (tai A-, B- jne.) sävelet aiheuttavat värähtelyjä korkeammissa C- (tai vastaavasti korkeammissa A-, B- jne.) jousissa. Esimerkiksi C2-näppäimen lyöminen (ja siten C2-kiinnitys pianon sisällä) saa myös (korkeamman) C3-kiinnityksen värähtelemään. Mutta harvalla meistä taitaa olla kotona flyygeli. Siksi pidänkin enemmän kitaraesimerkistäni 🙂
.