フィルタードバックプロジェクションの技術は、この問題に対する最も確立されたアルゴリズム技術の1つである。 これは概念的に単純で、調整可能であり、決定論的である。 しかし、利用できる技術はこれだけではありません。最初のEMIスキャナは、線形代数によって断層像再構成問題を解決しましたが、このアプローチは、特に当時のコンピュータ技術を考えると、その高い計算複雑性によって制限されました。 最近では、物理モデルに基づく最尤法による期待値最大化の反復技法が開発されています。 これらの技術は、スキャナの物理的特性とX線相互作用の物理法則の内部モデルを使用する点で有利である。 フィルタードバックプロジェクションなどの初期の手法は、完全なスキャナーと高度に単純化された物理を前提としているため、多くのアーチファクト、高いノイズ、画像の解像度が損なわれることになる。 反復技法は、解像度の向上、ノイズの低減、アーチファクトの減少を実現し、特定の状況下では放射線量を大幅に低減することができる画像を提供します。 欠点は、計算量が非常に多いことであるが、コンピュータ技術の進歩と、高度に並列なGPUアルゴリズムの使用やFPGAやASICなどの専用ハードウェアの使用など、高性能計算技術の進歩により、今では実用化されている。
基本原理編集
本項では、特に平行ビーム照射光学系を利用したトモグラフィーを用いる場合の基本原理を説明する
トモグラフィーは、断層撮影光学系を用いてスキャン対象物の特定断面の仮想的な「スライス」（断層像）を得て、切断せずに対象物の内部を見ることができる技術である。 断層撮影用光学系には、パラレルビーム照射光学系をはじめ、いくつかの種類がある。 断層撮影用光学系の中で最も簡単で実用的なのは平行ビーム照射光学系であるため、本稿では「断層画像の得方」を「平行ビーム照射光学系」をベースに説明する。 図3：物体から全ての透過光までの角度がθとなる平行光照射光学系を考える。 ここで、図中の番号（括弧内の番号参照）はそれぞれを示す。 (は物体、②は平行光源、③はスクリーン、④は透過光、⑤はデータム円、⑥は原点、⑦は透視画像（一次元画像：pθ（s））をそれぞれ示す。 また、図中の(0)～(7)の位置関係や動きを説明するために、2つのデータム座標系xyとtsを想定している。 また、データム平面上には、前述の原点（6）を中心とする仮想の円が設定されている（以降、「データム円」と呼ぶ）。 このデータム円（6）は、平行光線照射光学系の軌道を表している。 上図では、”軌道（5）を通過する光源（2）とスクリーン（7）の相互の位置関係を保つように “X-Y平面が平面上の原点を中心に回転している。 この場合の回転角はθと定義される。 上記の図において、被写体の断面座標（x，y）における吸収係数はμ（x，y）としてモデル化される。
図3は、数学モデルを説明し、トモグラフィの原理を説明するためのものである。 図3において、被写体の断面座標（x，y）における吸収係数は、μ（x，y）としてモデル化される。 以上の仮定に基づく考察により、以下の項目が明らかになると思われる。 そこで、ここでは、＜178＞＜5805＞＜1791＞（1）測定結果、すなわち透過光によって得られた一連の画像を、μ（x，y）に対してラドン変換を行って得られる関数p（s，θ）として表現（モデル化）し、＜7071＞＜1791＞（2）測定結果に対して逆ラドン変換を行ってμ（x，y）を復元する、の順序に従って説明を進めることにする。
(1)平行光照射光学系の測定結果p(s,θ) 編集
各(x,y)における対象物の吸収係数をμ(x,y)で表し「透過ビームが対象物に吸収されても回折・拡散・反射せずに透過し、その減衰はビールランバート則に従って起こると想定された数学モデルで考えています」(菅原)。この場合、「知りたいこと」はμ(x,y)で、「測れること」はp(s,θ)に続く。
減衰がBeer-Lambert則に従う場合、I 0 {displaystyle {I}_{0}} の関係は、I 0 {displaystyle}{I}_{0}となる。
と I {displaystyle I} の組み合わせ
は次の（式1）のようになるので、光路（l（t））に沿った吸光度（p l {\displaystyle p_{l}}
） は次の（式2）のようになります。 ここで、I0{displaystyle {I}_{0}}は
は透過前の光ビームの強度 I {displaystyle I} 。
は透過後の強度。 I = I 0 exp ( – ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( – ∫ – ∞ μ ( l ( t ) ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {displaystyle I=I_{0}exp \left({-int \mu (x,y) \,dl}right)=I_{0}exp \left({-{int }_{-infty }^{infty }} (l(t))\.{dl}right} {displaystyle I=I_{0}{{it}exp}}{{it}{it}}{it}}{it}{it}}。|{dot {l}(t)|dt}right)}
(eq. 1） p l = ln ( I / I 0 ) = – ∫ μ ( x , y ) d l = – ∫ – ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t {displaystyle p_{l}=Thanki(I/I_{0})=-int \mu (x,y)\,dl=-{int }_{-intinfty }^{intinfty }}mu (l(t))|dt}｜{happydot {l} (t) {dt} {ddt}｜{happydot }{l} (t)|dt
(eq., et al. 2）
ここで、光源からスクリーンに向かう方向をt方向、t方向に垂直でスクリーンに平行な方向をs方向と定義する。 (t-s、x-y座標系とも鏡面反射変換せずに互いに反射するように設定されている)
平行光照射光学系を用いると、θごとに一連の透視画像(スキャン対象物の特定断面の一次元画像)pθ（s） を実験的に取得できる。 ここでθは対象物と透過光ビームとの間の角度を表す。 図3では、「軌跡（5）を通過する光源（2）とスクリーン（7）の相互の位置関係を保つ」ように、X-Y平面が平面上の原点を中心に反時計方向に回転している。 この場合の回転角は前述のθと同じである。
角度θ,を持つビームは、l ( t ) {displaystyle {l}_{}(t)} で表されるレイの集合となる。
の（式3）である。 l ( t ) = t + {displaystyle {l}_{}(t)=t{begin{bmatrix}-}sin \scos \theta }{end{bmatrix}}+{begin{bmatrix}scos \sin \theta}end{bmatrix}}} 。
（式中、(a)参照）。 3)
pθ(s)は次の(eq. 4)で定義される。 That p θ ( s ) {displaystyle p_{theta }(s)}.
は μ(x,y) along l ( t ) {displaystyle {l}_{}(t)} の線積分に等しくなる。
の（式3）も（式2）と同様である。 つまり、p ( s , θ ) {displaystyle p(s,\theta )}は、以下のようになる。
の次の（式5）は、μ(x,y)のラドン変換の結果である。 p θ ( s ) = – ∫ – ∞ μ ( s cos θ – t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {displaystyle p_{theta }(s)=-{{int }_{-thefty }^{int }mu (s}cos \theta -t}sin \theta ,s}sin \theta +t}cos \theta )\,dt} ｛displaystyle p_{theta }(s)=-{{int }_{-thefty }^{t}sin \theta +t}sin |t}sin
(eq 4)
以下の2変数の関数は定義可能です（eq 5）． ここでは、以下のp(s, θ)を「透視画像の集まり」と呼ぶことにする。 5）
(2)μ(x, y)は測定結果を逆ラドン変換して復元する編集
「知りたいこと（μ(x,y)）」は、逆ラドン変換により「測定したこと（p（s，θ））」から復元できる。 上記の記述では「測定したこと」はp（s，θ）であるが、逆ラドン変換により、「知りたいこと」は「測定したこと」である。 一方、「何を知りたいか」はμ(x,y)である。 そこで次は「p(s,θ)からμ(x,y)をどう復元するか」である
。